教科書(shū)提供教學(xué)素材瑕疵及矯正探析
——透過(guò)學(xué)生閱讀與教師施教的視點(diǎn)

張 昆，羅增儒

(1.淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000；2.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，陜西 西安 710061)

1 問(wèn)題的緣起

對(duì)于大多數(shù)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，教科書(shū)提供的教學(xué)素材，都能方便教師施教與學(xué)生學(xué)習(xí).但是，在具體教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施的實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，對(duì)于極少數(shù)具有統(tǒng)攝性的具體數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，教科書(shū)由于種種原因，造成了所選擇載入的數(shù)學(xué)教學(xué)素材，不能夠做到方便教師施教，同時(shí)也不太利于學(xué)生比較獨(dú)立地通過(guò)閱讀學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí).在對(duì)勾股定理與數(shù)軸概念教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行教材分析時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)教科書(shū)所提供的素材確實(shí)存在著具體瑕疵.

關(guān)于勾股定理，人教版教科書(shū)(上海科學(xué)技術(shù)出版社編制出版的教科書(shū)提供的素材也與人教版的大同小異)首先使用了畢達(dá)哥拉斯研究全等的四塊正方形鋪地方磚組合成的大正方形，得到了由相鄰兩個(gè)小正方形對(duì)角線與兩個(gè)小正方形邊長(zhǎng)之和這三條線段拼接成的等腰直角三角形，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這個(gè)等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；將等腰直角三角形轉(zhuǎn)化為一般直角三角形是否還具有這樣的結(jié)論呢?答案是肯定的.接著選擇使用趙爽所構(gòu)建的一組“勾股圓方圖”(八個(gè))之五的“并實(shí)圖”[1](又稱(chēng)“勾股弦圖”)作為素材，證明了這個(gè)結(jié)論成立，得到了勾股定理這一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn).

筆者從長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，在學(xué)習(xí)勾股定理的內(nèi)容以前，學(xué)生整天坐在鋪地方磚的教室中接受教育，卻沒(méi)有學(xué)生能夠像畢達(dá)哥拉斯那樣提出這個(gè)具體的問(wèn)題[2]；而教科書(shū)選擇使用趙爽的“勾股圓方圖”論證勾股定理成立，這個(gè)“勾股圓方圖”對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，更是神來(lái)之筆，用波利亞的話說(shuō)就是“從帽子里變出了兔子”[3].數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐告訴廣大數(shù)學(xué)教師，學(xué)生難以像趙爽這樣地構(gòu)造出“勾股圓方圖”.總之，即使在教師的啟發(fā)下，學(xué)生也難以提出畢達(dá)哥拉斯這樣的問(wèn)題，從而發(fā)現(xiàn)勾股定理這個(gè)命題，也難以構(gòu)造出“勾股圓方圖”證明勾股定理.

關(guān)于數(shù)軸概念，人教版教科書(shū)使用了“以一個(gè)公交車(chē)站(抽象為一個(gè)點(diǎn)——筆者注)為出發(fā)點(diǎn)，向這個(gè)公交車(chē)站的兩端每間隔5米，植一棵樹(shù)”的表述方式，幫助學(xué)生形成數(shù)軸概念；上海科學(xué)技術(shù)出版社編制的教科書(shū)使用了“一臺(tái)機(jī)器人從某直線上的一個(gè)定點(diǎn)出發(fā)，向兩端取物，以機(jī)器人走出的步數(shù)作為間隔(相等距離——筆者注)”的表達(dá)方式，幫助學(xué)生形成數(shù)軸概念；過(guò)去的人教版教材使用了“溫度計(jì)”作為類(lèi)比幫助學(xué)生發(fā)生數(shù)軸概念的認(rèn)識(shí)；等等.

構(gòu)造數(shù)軸概念的目的在于，將上一節(jié)課引入的有理數(shù)“可視化”.因?yàn)椋欣頂?shù)作為一種序列的數(shù)系統(tǒng)，這個(gè)數(shù)系統(tǒng)比小學(xué)學(xué)習(xí)的正有理數(shù)構(gòu)成的數(shù)系統(tǒng)要復(fù)雜得多，對(duì)于剛剛學(xué)習(xí)了有理數(shù)概念的學(xué)生而言，難以抽象地理解它、掌握它.通過(guò)構(gòu)建數(shù)軸概念，將有理數(shù)“可視化”以后，就能夠?qū)⒂欣頂?shù)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，實(shí)現(xiàn)將抽象地理解有理數(shù)概念轉(zhuǎn)化為使用感知直觀地理解有理數(shù)概念，從而極大地降低了思維的強(qiáng)度，有利于學(xué)生理解有理數(shù)概念，并為建立有理數(shù)的運(yùn)算法則創(chuàng)造條件.

為了幫助初學(xué)有理數(shù)的學(xué)生理解數(shù)軸概念本質(zhì)，必須找到理解數(shù)軸概念的關(guān)鍵性標(biāo)志，這些標(biāo)志在于理解構(gòu)成數(shù)軸概念中的“原點(diǎn)”“正方向”“單位長(zhǎng)度”的內(nèi)涵，簡(jiǎn)稱(chēng)“數(shù)軸三要素”.首先，要幫助學(xué)生各自獨(dú)立地理解“數(shù)軸三要素”各自?xún)?nèi)涵；其次，幫助學(xué)生理解數(shù)軸獨(dú)立的三項(xiàng)“要素”整合起來(lái)的認(rèn)識(shí)過(guò)程；最后，幫助學(xué)生從整體上理解數(shù)軸概念.

對(duì)于數(shù)軸概念，分析教科書(shū)所提供的內(nèi)容發(fā)現(xiàn)，剛剛學(xué)習(xí)數(shù)軸概念的學(xué)生難以理解“原點(diǎn)”“正方向”“單位長(zhǎng)度”各個(gè)要素的獨(dú)自?xún)?nèi)涵，進(jìn)而在理解“三要素”的基礎(chǔ)上理解數(shù)軸概念則更難以實(shí)現(xiàn).筆者對(duì)忠實(shí)地使用教科書(shū)提供的教學(xué)素材進(jìn)行課堂教學(xué)活動(dòng)的學(xué)生提問(wèn)，問(wèn)他們數(shù)軸“三要素”各具有什么作用?偶爾有極個(gè)別學(xué)生能夠給出正確答案，由此推測(cè)出大部分學(xué)生都不能從本質(zhì)上理解數(shù)軸概念.

關(guān)于勾股定理與數(shù)軸概念這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，從分析教科書(shū)所提供的教學(xué)素材的內(nèi)容、形式與數(shù)學(xué)教師忠實(shí)執(zhí)行這種素材的教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施所產(chǎn)生的結(jié)果中，可以提出問(wèn)題：對(duì)于少數(shù)具有統(tǒng)攝性的數(shù)學(xué)知識(shí)的表述，為什么數(shù)學(xué)教科書(shū)選擇使用的關(guān)鍵性教學(xué)素材存在這樣的瑕疵：學(xué)生難以通過(guò)獨(dú)立地閱讀教科書(shū)，取得本應(yīng)該能夠取得的學(xué)習(xí)進(jìn)展呢?

2 教科書(shū)編制極少數(shù)統(tǒng)攝性知識(shí)點(diǎn)的艱難處境的緣由

對(duì)于發(fā)生認(rèn)識(shí)的學(xué)生而言，極少數(shù)存在疑難且重要的、具有統(tǒng)攝性的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)入教科書(shū)時(shí)，由于教科書(shū)的編者所選擇使用的素材存在瑕疵，導(dǎo)致學(xué)生通過(guò)閱讀數(shù)學(xué)教科書(shū)的學(xué)習(xí)方式，通常只能體現(xiàn)為一種緩慢的、乏味的與艱辛的認(rèn)識(shí)與理解過(guò)程，造成他們難以獲得從本質(zhì)上理解具體的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的結(jié)果.為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢?通過(guò)分析認(rèn)識(shí)到，教科書(shū)的編者對(duì)于少數(shù)具有統(tǒng)攝性的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，選擇進(jìn)入數(shù)學(xué)教科書(shū)的素材所依據(jù)理念(教科書(shū)編制者未必能夠意識(shí)到)，存在幾方面特點(diǎn)：

其一，偏向邏輯化.依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性，少數(shù)統(tǒng)攝性的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)尤其如此[4]，這種結(jié)構(gòu)性主要體現(xiàn)在編制教科書(shū)時(shí)，對(duì)于某些難以處理的數(shù)學(xué)知識(shí)，編者不得不偏向于依據(jù)知識(shí)的邏輯過(guò)程，選擇教學(xué)素材.例如，人教版選擇“勾股定理”知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)素材，所使用的提出問(wèn)題、啟發(fā)發(fā)現(xiàn)命題的方式(具體表達(dá)成了勾股定理語(yǔ)言形式)雖然存在牽強(qiáng)的地方，但總體上能夠過(guò)得去的；然而，發(fā)現(xiàn)命題與推理論證這個(gè)命題之間的過(guò)渡卻無(wú)法銜接，致使學(xué)生只能接受“勾股圓方圖”所擬定的邏輯方式，如此，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法與趙爽一樣完成構(gòu)造出“勾股圓方圖”的心理活動(dòng)過(guò)程.其教學(xué)結(jié)果是，不能在完成證明命題過(guò)程中，相應(yīng)地提高自己的數(shù)學(xué)思維能力，特別是創(chuàng)造性能力.

由于數(shù)學(xué)家所寫(xiě)作的數(shù)學(xué)論文，通常都是經(jīng)由長(zhǎng)時(shí)間艱難的探究發(fā)現(xiàn)的成果，字斟句酌地推敲以后，所形成的最終文本，因此，探究數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的真實(shí)艱難火熱的發(fā)現(xiàn)活動(dòng)所得到的結(jié)果，自身被美化了的文字裝飾起來(lái)，發(fā)現(xiàn)過(guò)程本身從表達(dá)發(fā)現(xiàn)結(jié)果的描述中消除殆盡了[4]，教科書(shū)與數(shù)學(xué)家的表述無(wú)須提供關(guān)于發(fā)現(xiàn)某一知識(shí)點(diǎn)活動(dòng)的文獻(xiàn)記錄.最為典型的例子就是維爾斯特拉斯評(píng)價(jià)高斯的數(shù)學(xué)表達(dá)，“他(指高斯——引者注)像一只非常精明的老狐貍，在最終表述所發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)論時(shí)，總是用自己的尾巴抹去自己走過(guò)的路中所留下任何腳印的痕跡”[5].

對(duì)于極少數(shù)統(tǒng)攝性知識(shí)點(diǎn)，教科書(shū)編者也難以跳出高斯的這種表述方式，這其中的主要原因是，進(jìn)入數(shù)學(xué)課程的不少數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)都是出自歷代數(shù)學(xué)家的論文表述，這就不能輕易地排除教科書(shū)編者在沒(méi)有辦法處理的情況下，將原文不加變更地搬進(jìn)數(shù)學(xué)教科書(shū)，趙爽的“勾股圓方圖”就是一個(gè)較為典型的例子，如此，學(xué)生自然就不能從教科書(shū)的教學(xué)素材中徹底地弄清楚趙爽的“勾股圓方圖”是如何構(gòu)造出來(lái)的.

眾所周知，在長(zhǎng)期積累起來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)公庫(kù)中，數(shù)學(xué)家無(wú)論是通過(guò)哪種途徑和方法得到數(shù)學(xué)知識(shí)(定理及其證明)，總是選擇文字與數(shù)學(xué)符號(hào)表述這一內(nèi)容，并且按照邏輯演繹方式重新組織整理出來(lái).作為表述數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)論所要求的審美意向是如此；數(shù)學(xué)歷史表述的慣例——數(shù)學(xué)的古希臘傳統(tǒng)——要求也是如此；實(shí)際生活事實(shí)中的經(jīng)濟(jì)需要，例如，出版社的經(jīng)濟(jì)效益要求在最小的紙張中容納最大的文字信息量還是如此[6].

這就導(dǎo)致在編制教科書(shū)時(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)的表述趨向邏輯化的目標(biāo)狀態(tài).也就是說(shuō)，簡(jiǎn)潔與單純的邏輯表述，乃是表述數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)心智能力天賦的文采、美感、華章與靈魂，從而形成了數(shù)學(xué)表述的習(xí)慣或者說(shuō)數(shù)學(xué)表述的文化規(guī)范.反之，在書(shū)寫(xiě)數(shù)學(xué)結(jié)論時(shí)，過(guò)于詳細(xì)地解釋探究活動(dòng)的心理過(guò)程，被認(rèn)為是冗長(zhǎng)乏味的，也是浪費(fèi)的，從而被認(rèn)為是不符合數(shù)學(xué)美感的.如此，數(shù)學(xué)教科書(shū)編者在不知不覺(jué)中，就步入這種表述數(shù)學(xué)知識(shí)的心理準(zhǔn)備狀態(tài)之中了[7].

其二，傾向生活化.在新一輪義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程改革中，生活化作為數(shù)學(xué)教育教學(xué)理念，或許被數(shù)學(xué)教育教學(xué)專(zhuān)家強(qiáng)調(diào)得過(guò)分了，變成了時(shí)代數(shù)學(xué)教育教學(xué)的優(yōu)勢(shì)理念.這本質(zhì)上是對(duì)編制教科書(shū)依靠邏輯途徑的一種矯正，但是，在優(yōu)勢(shì)數(shù)學(xué)教育理念的強(qiáng)化下，形成了矯枉過(guò)正的結(jié)果.例如，關(guān)于數(shù)軸概念，教科書(shū)提供的這些生活情境的素材體現(xiàn)得淋漓盡致，學(xué)生通過(guò)閱讀這些素材，很難實(shí)現(xiàn)從本質(zhì)上理解數(shù)軸概念的目標(biāo).

對(duì)于數(shù)學(xué)概念，最終必然是精確的語(yǔ)辭表述(當(dāng)然受到了數(shù)學(xué)文化規(guī)范的限制)；對(duì)于數(shù)學(xué)原理(包括數(shù)學(xué)運(yùn)算法則、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)定理等)及其推導(dǎo)或論證，最終是使用邏輯三段論式的語(yǔ)辭表述，然而，這些數(shù)學(xué)本身的要求被數(shù)學(xué)課程的生活化優(yōu)勢(shì)理念銷(xiāo)蝕了，在編制教科書(shū)時(shí)，走入了生活化的一端.這種過(guò)度生活化的教科書(shū)編制必然會(huì)產(chǎn)生這樣的結(jié)果，將那么一點(diǎn)點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)，裹挾在鋪天蓋地的與這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)內(nèi)涵沒(méi)有多大關(guān)系的生活內(nèi)容中，學(xué)生難以理清這一堆亂麻，從中抽象出所要的本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)知識(shí).例如，上文引入的教科書(shū)提供的關(guān)于數(shù)軸概念的教學(xué)素材，就屬于過(guò)度生活化范圍.

從這些生活化素材中，學(xué)生在閱讀時(shí)，無(wú)論如何理解總是難以獲得數(shù)軸概念中關(guān)于“原點(diǎn)”“正方向”“單位長(zhǎng)度”本質(zhì)內(nèi)涵的，更談不上整合這“三要素”成為整體，從而理解數(shù)軸概念本身了.如果數(shù)學(xué)教師對(duì)于教科書(shū)提供的教學(xué)素材亦步亦趨之，那么無(wú)論如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施活動(dòng)，都難以取得較好的教學(xué)效果.

其三，文字量限制.一方面，盡管現(xiàn)代數(shù)學(xué)教科書(shū)使用的紙張?jiān)絹?lái)越多，版權(quán)頁(yè)越來(lái)越大，但是，由于過(guò)度生活化的文字量擠進(jìn)教科書(shū)，將發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的線索淹沒(méi)在泛濫的生活化的文字洪流中，如此，并沒(méi)有實(shí)現(xiàn)增加文字量所希望達(dá)到的教育教學(xué)效果.另一方面，在某些學(xué)生發(fā)生具有比較疑難的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)認(rèn)識(shí)時(shí)，例如，數(shù)軸概念，勾股定理等，教科書(shū)編者很難找到發(fā)生認(rèn)識(shí)的認(rèn)知出發(fā)點(diǎn)，并從這個(gè)認(rèn)知出發(fā)點(diǎn)出發(fā)，啟發(fā)鼓勵(lì)學(xué)生不斷探究活動(dòng)，得到知識(shí)點(diǎn)的結(jié)論[8].

總的來(lái)說(shuō)，編制數(shù)學(xué)教科書(shū)是一項(xiàng)體系化、并受到多元制約的活動(dòng)，涉及方方面面，既有時(shí)代優(yōu)勢(shì)數(shù)學(xué)教育教學(xué)理念的指導(dǎo)性因素；也有教科書(shū)編者對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的個(gè)性化理解，發(fā)現(xiàn)學(xué)生發(fā)生具體數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí)心理過(guò)程的因素；還有數(shù)學(xué)公庫(kù)中關(guān)于具體數(shù)學(xué)知識(shí)表述的因素；教科書(shū)的編者是否具有足夠數(shù)學(xué)課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的因素；文字量的絕對(duì)限制的因素等.但是，不變的規(guī)律是，進(jìn)入數(shù)學(xué)教科書(shū)中的教材素材，確實(shí)制約著一般數(shù)學(xué)教師的施教，制約著普通學(xué)生的學(xué)習(xí).這是教科書(shū)的編者必須深度思考的一項(xiàng)重要問(wèn)題，必須肩負(fù)起的一項(xiàng)重要任務(wù)[9].

3 對(duì)教師施教與學(xué)生學(xué)習(xí)影響及其處置

教科書(shū)由于很難處理少數(shù)具有統(tǒng)攝性的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的素材呈現(xiàn)問(wèn)題，常常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)比較好的學(xué)生身上，其原因可能是，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般的學(xué)生沒(méi)有教師的幫助往往難于獨(dú)立性閱讀.但是，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好的學(xué)生通過(guò)閱讀教科書(shū)內(nèi)容，要求自己馬上理解載入教科書(shū)上的具體數(shù)學(xué)知識(shí)(簡(jiǎn)稱(chēng)為“直接理解教科書(shū)”)，因?yàn)檫@批學(xué)生長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所形成的經(jīng)驗(yàn)是，數(shù)學(xué)對(duì)于他們來(lái)說(shuō)，總是容易理解的，理解數(shù)學(xué)知識(shí)所要求的直覺(jué)能力也比較容易獲得，例如，義務(wù)教育小學(xué)階段的大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)就是如此.

然而，隨著年級(jí)的不斷升高，進(jìn)入學(xué)習(xí)高層次(例如，從算術(shù)過(guò)渡到代數(shù))數(shù)學(xué)知識(shí)階段，這種在小學(xué)階段“直接理解教科書(shū)”式的閱讀活動(dòng)難以為繼，閱讀數(shù)學(xué)教科書(shū)就日益艱難起來(lái)，例如，學(xué)生在閱讀證明勾股定理的“勾股圓方圖”時(shí)，會(huì)感到理解這種精巧的構(gòu)造圖形的由來(lái)無(wú)能為力，思維會(huì)卡在“這個(gè)“勾股圓方圖”是如何構(gòu)造出來(lái)的?”的問(wèn)題上，此時(shí)，對(duì)于他們來(lái)說(shuō)，獨(dú)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)往往就會(huì)止于此了.于是，學(xué)生為了通過(guò)閱讀理解與掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，就會(huì)萌生出痛苦的厭惡情緒.

只要稍作思考，對(duì)于教科書(shū)所載的少數(shù)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)(例如，勾股定理或數(shù)軸概念)，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，曾經(jīng)是被幾十個(gè)乃至上百個(gè)優(yōu)秀數(shù)學(xué)家經(jīng)由相當(dāng)長(zhǎng)(數(shù)年乃至于幾百年)時(shí)間的接力思考活動(dòng)，從而意識(shí)到問(wèn)題進(jìn)而提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，得到了的所表述的數(shù)學(xué)知識(shí).現(xiàn)在卻要求學(xué)習(xí)這個(gè)具體數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生，在幾十分鐘、最長(zhǎng)幾個(gè)小時(shí)內(nèi)，像過(guò)去的數(shù)學(xué)家那樣地發(fā)生認(rèn)識(shí)，要想不經(jīng)歷學(xué)習(xí)的痛苦，就輕易地理解這個(gè)具體數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，那確實(shí)是一件絕難的事情[10].在這種情況下，希望很快地通過(guò)閱讀迅速理解具體數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生，就不得不忍受閱讀數(shù)學(xué)知識(shí)的心理痛苦，才能獲得超越.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好的學(xué)生，在通過(guò)閱讀具體的數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生認(rèn)識(shí)過(guò)程中，關(guān)鍵性數(shù)學(xué)觀念的萌生常常需要展開(kāi)卓越的思維活動(dòng)，思維卓越性是與理解這個(gè)具體數(shù)學(xué)點(diǎn)的困難成正比的，就是說(shuō)，越是發(fā)生困難的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)認(rèn)識(shí)，越需要卓越的數(shù)學(xué)思維的介入[11].沒(méi)有多少學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的成績(jī)優(yōu)異的學(xué)生，可能在心理上不愿意承認(rèn)這個(gè)世界上存在著超越他們自己的數(shù)學(xué)天才.

但是，在閱讀教科書(shū)時(shí)，學(xué)生可能突然發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)知識(shí)完全超出了他們理解與掌握的能力(例如，經(jīng)由閱讀“勾股圓方圖”而推測(cè)其心理構(gòu)造的來(lái)源)，這種心理上的落差，阻礙了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)活動(dòng)過(guò)程，幾經(jīng)掙扎，懷疑自己的數(shù)學(xué)天賦，磨滅了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，于是，不愿意花時(shí)間進(jìn)行鉆研，不愿意嘗試自己發(fā)現(xiàn)具體數(shù)學(xué)知識(shí)的心理活動(dòng)過(guò)程，等等.

在這種情況下，對(duì)于少數(shù)統(tǒng)攝性數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，就會(huì)產(chǎn)生不利于學(xué)生獨(dú)立地通過(guò)閱讀教科書(shū)展開(kāi)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).因此，作為數(shù)學(xué)教師，在教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中必須做出艱苦努力，否則學(xué)生就只能通過(guò)記誦的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng)，而這種方式很難提高數(shù)學(xué)能力.在教師選擇使用教科書(shū)提供的教學(xué)素材進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施時(shí)，其合適行為應(yīng)該是，引用新課程實(shí)施理念的一句話說(shuō)，“不能教教科書(shū)，而應(yīng)該使用教科書(shū)教”.

要實(shí)現(xiàn)“用教材教，而不是教教材”的目的，數(shù)學(xué)教師必須十分重視分析即將施教的那個(gè)具體數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其獨(dú)特的特點(diǎn)，以此判斷教科書(shū)所提供的教學(xué)素材是否合適，這又分為三種不同情況，如果是合適的，按照教科書(shū)提供的教學(xué)素材進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)就行了；如果很不合適(例如，教科書(shū)提供的關(guān)于數(shù)軸概念的教學(xué)素材)，就有必要拋開(kāi)教科書(shū)的內(nèi)容，另起爐灶，自己選擇教學(xué)素材進(jìn)入教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施環(huán)節(jié)；如果部分合適而部分不合適，教師可以視其具體情況，進(jìn)行酌情處理.

關(guān)于“勾股定理”與“數(shù)軸概念”的具體教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施的實(shí)踐過(guò)程，筆者都是直接否定了教科書(shū)所提供的教學(xué)素材，采用另起爐灶的途徑進(jìn)行了相應(yīng)地處理[9].

4 充分發(fā)揮教科書(shū)素材教學(xué)價(jià)值的努力

從編制教科書(shū)所羅列的幾項(xiàng)艱難處境中，能夠認(rèn)識(shí)到，期待或追求編制出至臻完善的數(shù)學(xué)教學(xué)素材的教科書(shū)，從實(shí)踐上來(lái)說(shuō)，幾乎是難以實(shí)現(xiàn)的目標(biāo).因此，這就需要教科書(shū)的編者與一線施教的數(shù)學(xué)教師，互通信息，互相靠近，各自吸收對(duì)方的訴求.筆者從關(guān)于具有統(tǒng)攝性疑難的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)活動(dòng)與作為編制教科書(shū)活動(dòng)實(shí)踐中，清晰地認(rèn)識(shí)到，教科書(shū)編者與廣大一線教師之間的親密接近，不僅能夠提高一線教師處理教科書(shū)素材的能力與水平，而且有助于完善教科書(shū)編者選擇素材，進(jìn)入教科書(shū)的結(jié)果.

教科書(shū)編者與一線數(shù)學(xué)教師接近產(chǎn)生的有利結(jié)果在于，教科書(shū)編者通過(guò)一線教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，理解學(xué)生發(fā)生具體知識(shí)認(rèn)識(shí)的心理活動(dòng)過(guò)程；一線教師通過(guò)教科書(shū)的編者理解那些極少數(shù)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)難以選擇合適的素材呈現(xiàn)于教科書(shū)中，從而促使一線教師將自己主要的注意力聚焦于教科書(shū)編者難以通過(guò)文字有效處理的知識(shí)點(diǎn)上，如此，在教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中，錨定這些疑難數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，展開(kāi)試驗(yàn)與研究，力爭(zhēng)突破教學(xué)中的疑難.一線教師在教學(xué)實(shí)踐中的研究成果，反過(guò)來(lái)能夠促使教科書(shū)編者從中吸收教益，得到尋獲完善教科書(shū)素材的活水源頭[12].

教科書(shū)的編者與廣大一線數(shù)學(xué)教師都要在以下幾個(gè)方面不懈努力：其一，理解知識(shí)結(jié)構(gòu)組成要素中的各項(xiàng)聯(lián)系線索.例如，數(shù)軸概念這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的“合適根據(jù)地”[13]是全體有理數(shù)，而不是溫度計(jì)、在筆直的馬路上植樹(shù)等具體實(shí)物情境所能承載的.其二，比照前述分析的結(jié)論，推測(cè)學(xué)生發(fā)生具體知識(shí)認(rèn)識(shí)時(shí)心理上的起承轉(zhuǎn)合的環(huán)節(jié)，判斷利用“合適根據(jù)地”接納新知識(shí)點(diǎn)的具體途徑.例如，在一條直線上表示所有有理數(shù)次第實(shí)現(xiàn)的心理環(huán)節(jié)在于，首先構(gòu)建“原點(diǎn)”，其次構(gòu)造“正方向”，最后構(gòu)造“單位長(zhǎng)度”[14].其三，找到合適的素材向?qū)W生呈現(xiàn)上述兩項(xiàng)分析的結(jié)果，以便于學(xué)生從比較獨(dú)立地閱讀中發(fā)生具體數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí).

如此，關(guān)于某個(gè)具有統(tǒng)攝性的疑難知識(shí)點(diǎn)，既有利于教科書(shū)的編者選擇與完善教學(xué)素材，又有利于一線數(shù)學(xué)教師在教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中處理具體的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，從而形成正向合力，最大限度地提升進(jìn)入教科書(shū)教學(xué)素材的有效性，從而發(fā)揮教科書(shū)的教學(xué)價(jià)值.

5 結(jié)束語(yǔ)

關(guān)于某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，教科書(shū)選擇載入的教學(xué)素材，肯定是為方便數(shù)學(xué)教師施教與學(xué)生學(xué)習(xí)服務(wù)的.但是，在編制數(shù)學(xué)教科書(shū)時(shí)，由于受到幾方面的限制，如進(jìn)入數(shù)學(xué)知識(shí)公庫(kù)的數(shù)學(xué)知識(shí)依據(jù)邏輯表述；體現(xiàn)時(shí)代數(shù)學(xué)教育教學(xué)理念，如強(qiáng)調(diào)生活化的數(shù)學(xué)情境等；教科書(shū)編制中的文字量的要求；編制專(zhuān)家親身數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)等[15].導(dǎo)致載入數(shù)學(xué)教科書(shū)中的關(guān)于少數(shù)統(tǒng)攝性的疑難知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)素材，不方便于教師施教，不利于學(xué)生通過(guò)比較獨(dú)立閱讀方式進(jìn)行學(xué)習(xí)的結(jié)果.教科書(shū)的編者與數(shù)學(xué)教師，必須進(jìn)行有效合作，做出合適處理，才能提高數(shù)學(xué)教學(xué)有效性，從而保質(zhì)保量地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo).