摘 "要 "以大學(xué)數(shù)學(xué)課程為載體,用實際數(shù)學(xué)案例分析在教學(xué)過程中如何滲透數(shù)學(xué)思想,拓展數(shù)學(xué)思維,掌握數(shù)學(xué)方法,營造學(xué)習(xí)氛圍,提高學(xué)習(xí)興趣,逐步提升六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
關(guān)鍵詞 "數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);教學(xué)改革;高等數(shù)學(xué);線性代數(shù);概率論與數(shù)理統(tǒng)計
中圖分類號:G642.3 " "文獻標識碼:B
文章編號:1671-489X(2022)14-0086-04
Teaching Reform and Research of University Mathema-tics Course Under Idea of Improving Mathematics Core Literacy//WANG Yuhua, DU Chunxue, CUI Guifang, LAI Shuchen, CHEN Linjue
Abstract "Focusing on the teaching of college mathematics, "taking the courses of higher mathematics as the starting point,
this paper explores practical teaching cases to analysis how to
permeate mathematical ideas, guide students to learn mathema-
tics thinking, master mathematics learning methods, increase learning interest, and then create a good atmosphere of mathe-
matics education for students, and gradually improve their core literacy.
Key words "mathematic core literacy; teaching reform; ad-vanced mathematics; linear algebra; probability and statistics
0 "引言
隨著現(xiàn)代教育的高速發(fā)展,數(shù)學(xué)教育已具有豐富的內(nèi)涵和外延。作為重要理論基礎(chǔ)課,大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革也越來越受到高等院校的重視。為了培養(yǎng)具備創(chuàng)新能力的新一代大學(xué)生,數(shù)學(xué)課程教學(xué)必須注重數(shù)學(xué)思想與方法的講授,注重學(xué)生創(chuàng)新思維能力和科學(xué)精神的培養(yǎng),注重學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析等六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升[1-4]。本文以高等數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、線性代數(shù)等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容為例,通過具體教學(xué)案例,闡述授課過程中如何提升大學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
1 "從數(shù)學(xué)角度去認識自然,培養(yǎng)學(xué)生的直
觀想象能力
數(shù)學(xué)對觀察自然、解釋自然作出重要貢獻,世界上的一切事物似乎都可以用數(shù)學(xué)語言表達。著名物理學(xué)家伽利略曾說:“數(shù)學(xué)是上帝用來書寫宇宙的文字?!备叩葦?shù)學(xué)課程中就有很多這樣的“文字”描述自然生活中的重要現(xiàn)象,如常見的圓曲線、對數(shù)螺線、擺線、伯努利雙紐線、玫瑰線、拋物線等,這些曲線都是數(shù)學(xué)對眾多生活現(xiàn)象的量化與描述。自然界中常見的水流渦旋、鸚鵡螺殼、葡萄藤莖、蜘蛛網(wǎng)架構(gòu)甚至漩渦形星系中的旋臂,這些客觀事物都表現(xiàn)出的統(tǒng)一規(guī)律——螺旋形態(tài),就可以用數(shù)學(xué)上的對數(shù)螺線方程表述出來。工程上許多構(gòu)件的形狀呈擺線狀態(tài),擺線是數(shù)學(xué)中的重要曲線之一,種類繁多,比如以基線為直線的平擺線和余擺線、以基線為圓的內(nèi)擺線和外擺線等。在機械工業(yè)中,內(nèi)外擺線常被選用為齒輪輪廓曲線的一部分,以保證平滑地接觸。余擺線在農(nóng)業(yè)機械中應(yīng)用廣泛,如水稻插秧機、蘿卜收獲機等農(nóng)用機械的運動軌跡呈余擺線狀。在真空行業(yè)中,常用余擺線來設(shè)計真空泵的轉(zhuǎn)子與泵腔的形狀。家庭生活中也能見到這些曲線的影子,如簡單的圓曲線在生活中隨處可見,像車輪、圓盤等很多事物的形狀都呈現(xiàn)為圓,電風(fēng)扇的扇片呈三葉玫瑰線形狀。經(jīng)濟上也常用一些特殊曲線表示量的關(guān)系,如用庫茲涅茨曲線表示收入分配與經(jīng)濟增長的關(guān)系,用拉弗曲線描述稅收和稅率之間的關(guān)系。
數(shù)學(xué)是大自然的語言,教師在課堂上可將講授內(nèi)容鑲嵌在具體的問題情境中,用上述具體實物形態(tài)培養(yǎng)學(xué)生的視覺思維,讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的視角認識自然,用數(shù)學(xué)符號描述現(xiàn)象,用曲線圖形表述量的關(guān)系。進行擺線內(nèi)容教學(xué)時,可用動畫演示各類擺線形狀,用視圖展示擺線在工業(yè)上的實際應(yīng)用,實現(xiàn)化難為易、化靜為動,讓學(xué)生對擺線方程有直觀的了解,并結(jié)合應(yīng)用實例,把研究問題具體化,提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和解決實際問題的能力。在教學(xué)空間曲線和曲面時將幾何與代數(shù)結(jié)合,采用直觀的幾何圖形講授二次曲面方程[5],讓學(xué)生領(lǐng)悟“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微”的數(shù)形結(jié)合理念,從而培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力。
2 "用數(shù)學(xué)思維理解問題,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯
推理能力
大物理學(xué)家愛因斯坦曾說:“純粹數(shù)學(xué),就其本質(zhì)而言,是邏輯思想的詩篇。”事物之間的內(nèi)在聯(lián)系、事物的發(fā)展規(guī)律都可以用數(shù)學(xué)的方式進行表達。在授課過程中,教師要幫助學(xué)生準確表達自己的思想,幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維解決問題,幫助學(xué)生掌握分析、抽象、綜合、歸納等數(shù)學(xué)方法,在知識的生成過程中逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。教師還要深入分析數(shù)學(xué)思想和方法在各知識間的聯(lián)系,進一步幫助學(xué)生構(gòu)建思維結(jié)構(gòu),并合理完善知識網(wǎng)絡(luò)。下面就高等數(shù)學(xué)課程中的幾個問題分析如何培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。
拉格朗日中值定理是高等數(shù)學(xué)課程中的重要定理,證明方法多種多樣:可以利用數(shù)形結(jié)合進行做差構(gòu)造輔助函數(shù)法,以學(xué)過的羅爾定理為紐帶,推演定理結(jié)論[6];也可采用逆向思維,從定理的結(jié)論出發(fā),構(gòu)造輔助函數(shù),然后利用羅爾定理加以證明;還可以采用構(gòu)造特殊行列式法加以證明。這三種方法都是以羅爾定理為橋梁,構(gòu)造的輔助函數(shù)都滿足羅爾定理條件。教師在授課過程中一定要幫助學(xué)生理清新問題(拉格朗日定理)和老問題(羅爾定理)的內(nèi)在聯(lián)系,掌握知識擴張所遵循的一般規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。用類比思想講授定積分、重積分、曲線曲面積分,領(lǐng)會各類積分定義和性質(zhì)的共性以及計算方法的差異,培養(yǎng)從特殊到一般的邏輯推理能力;強調(diào)全微分公式的重要性和應(yīng)用普遍性,為后續(xù)推導(dǎo)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式與隱函數(shù)求導(dǎo)公式提供理論研究;應(yīng)用反證法證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散,并引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)用縮放法證明調(diào)和級數(shù)的和可以趨于無窮大,培養(yǎng)學(xué)生反證的邏輯思維,并體會“積微成著”的思想理念。教師要重視學(xué)生學(xué)習(xí)過程的理性認識和感性認識,要幫助學(xué)生于無形中獲得提升邏輯推理能力的機會,在不知不覺中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和科學(xué)精神。
教師在教學(xué)過程中注重科學(xué)倫理和數(shù)學(xué)思維方法訓(xùn)練的教育,用數(shù)學(xué)思維去理解現(xiàn)象,進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力以及探究未知、尋找真理、攀登科學(xué)高峰的使命感。
3 "用數(shù)學(xué)方法研究問題,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)
運算能力
針對自然科學(xué)的研究,一定要使用合適的數(shù)學(xué)方法加以演算、推導(dǎo)、分析和預(yù)測,可采用分析法、綜合法、歸納法、圖像法、窮舉法等數(shù)學(xué)方法。在講授過程中也要引導(dǎo)學(xué)生將運算原理和運算方法有效融合,并通過進一步的運算推理,促進計算技能的形成,逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力。在進行行列式運算時,可根據(jù)行列式的特點,采用按行或列展開法、化上三角形(下三角形)行列式法、歸納法、定義法、加邊法等數(shù)學(xué)方法,并采用多個方法相結(jié)合去求解問題,做到具體問題具體分析。比如將圓方程變?yōu)闄E圓方程,采用伸縮法對圖像進行推導(dǎo),得出算理并推廣到三維空間中,將旋轉(zhuǎn)曲面變?yōu)槠渌亩吻?。又如在進行多元函數(shù)求導(dǎo)時,可先根據(jù)復(fù)合結(jié)構(gòu)畫出鏈式圖,采用分線相加、連線相乘、單路全導(dǎo)、岔路偏導(dǎo)的方法求解問題。不同的問題求解方法不同,這要求教師在教學(xué)過程中盡力幫助學(xué)生學(xué)會選擇適合的方法,掌握運算技巧,學(xué)會用數(shù)學(xué)方法去研究問題,并對知識進行構(gòu)建,進一步提升數(shù)學(xué)運算能力。
4 "用數(shù)學(xué)思想感受世界,提升學(xué)生的建模
能力
為了培養(yǎng)高質(zhì)量、高層次人才,適應(yīng)現(xiàn)代化科技發(fā)展需要,很多高校已開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程。數(shù)學(xué)建模主要運用數(shù)學(xué)的思想,根據(jù)提出的實際問題,采用數(shù)學(xué)的語言、數(shù)學(xué)的方法,通過數(shù)學(xué)抽象,建立數(shù)學(xué)模型并加以求解,即是用數(shù)學(xué)來求解實際問題的過程。這就要求學(xué)生對所提出的問題經(jīng)過抽象概括后能形成本質(zhì)認識,并運用數(shù)學(xué)語言建立模型,用數(shù)學(xué)的方法求解模型并驗證其準確性。
在課堂教學(xué)中,教師要逐步培養(yǎng)學(xué)生的建模思想,通過介紹經(jīng)典的模型激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動機,通過深入的分析去探究問題,逐漸提升學(xué)生獨立獲得知識的能力。比如大學(xué)數(shù)學(xué)課程中定積分的概念,通過大化小、常代變、近似和、取極限這四個分步驟,對曲邊梯形面積進行求解,并在求解過程中抽象出定積分的概念。這個初級建模過程包含化整為零、以直代曲、積零為整、無限逼近四大數(shù)學(xué)思想。借助幾何直觀和數(shù)學(xué)抽象,學(xué)生領(lǐng)會到化整為零的微元思想,了解以直代曲的線性化思想,體會積零為整的求和思想,理解無限逼近的極限思想,體驗從具體到抽象、從有限到無限、從特殊到一般的探索過程。讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想,學(xué)會建模過程,并由此引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)使用上述數(shù)學(xué)思想解決旋轉(zhuǎn)體體積、側(cè)面積、曲線弧長、變力做功等實際問題。通過深入淺出的講解,讓學(xué)生領(lǐng)悟定積分是求解不均勻、不規(guī)則幾何量或物理量的有效工具,感受數(shù)學(xué)本身的價值。
在教師的引領(lǐng)下,學(xué)生通過建立簡單的數(shù)學(xué)模型,了解數(shù)學(xué)思想,形成思維習(xí)慣,發(fā)展創(chuàng)新意識,逐步提高數(shù)學(xué)建模的能力,從而大幅度地提高數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。
5 "用數(shù)學(xué)工具解決問題,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)
抽象能力
科學(xué)家狄拉克曾這樣說:“數(shù)學(xué)是一項工具,特別適合于處理任何一類抽象概念,而且,它在這方面的作用是無止境的?!贝髮W(xué)數(shù)學(xué)的線性代數(shù)課程內(nèi)容抽象,很多學(xué)生認為晦澀難懂,并認為線性代數(shù)就是求解線性方程組問題,其實線性代數(shù)在很多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用。教師一定要將難以理解的抽象問題鑲嵌在實際問題中,將難懂的抽象問題具體化。
如在講授矩陣的定義和乘法運算時,可先介紹矩陣在生產(chǎn)生活應(yīng)用中的具體實例,讓學(xué)生先熟悉這個抽象概念的重要作用。矩陣的類型多種多樣,如表示事物數(shù)量的數(shù)量矩陣、機器手臂的位姿矩陣、數(shù)據(jù)調(diào)節(jié)器的狀態(tài)矩陣、航空公司的通路矩陣、密碼學(xué)中的加密矩陣,甚至某種運動的旋轉(zhuǎn)矩陣等??梢?,矩陣作為一項重要的工具,在不同的學(xué)科中都扮演著重要角色。
除了角色重要外,矩陣與矩陣之間的運算更能表達現(xiàn)實事物之間的關(guān)系。矩陣理論中定義了加減乘逆等運算法則,如矩陣的乘法運算單從乘法定義上看過于抽象,而事實上矩陣乘法運算在各行各業(yè)有廣泛應(yīng)用。在工程上,可以用向量表示研究對象,用旋轉(zhuǎn)矩陣表示某種運動,而矩陣和向量相乘則表示將這種旋轉(zhuǎn)運動施加在研究對象上,運算結(jié)果正是旋轉(zhuǎn)后的研究對象。在圖像學(xué)處理中,可以采用剪切矩陣乘原始圖像矩陣,從而實現(xiàn)圖像的適當(dāng)變換。在密碼學(xué)中,可以采用加密矩陣乘明文矩陣實現(xiàn)加密過程。在經(jīng)濟管理中,可以使用矩陣乘法實現(xiàn)成本、利潤的核算。此外,在交通的流量模型、動物數(shù)量的預(yù)測模型、數(shù)字信號處理、行星的軌道模型等各類問題中,矩陣乘法都是非常重要的數(shù)學(xué)求解工具。
將抽象的矩陣乘法運算具體到工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科的實際問題中,揭示數(shù)學(xué)智慧與文化精神,并以實例詮釋課程的價值,實現(xiàn)理論與實踐相結(jié)合,不僅可以加深本科生對數(shù)學(xué)科學(xué)的本質(zhì)理解,還可以培養(yǎng)本科生的數(shù)學(xué)抽象思維,提升它們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
6 "用數(shù)學(xué)方式研究問題,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)
分析能力
隨著科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展,21世紀正進入數(shù)字文明時代,數(shù)據(jù)日益成為一種重要的信息。為了更好地研究問題,學(xué)生必須學(xué)會從實際問題中收集和處理有用的信息,對所獲得的信息進行數(shù)據(jù)分析。數(shù)據(jù)分析是對事物在數(shù)量特性方面的高度抽象與概括,針對數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培養(yǎng)可通過概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程塑造學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念,提高收集和處理科學(xué)信息的能力,鼓勵學(xué)生從多方面剖析數(shù)據(jù)、獲取新知識,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程內(nèi)容不僅包括具體的知識、規(guī)律、法則的學(xué)習(xí),還涵蓋過程、思想和觀念的學(xué)習(xí)。比如在進行點估計章節(jié)教學(xué)時,除了講授矩估計和極大似然估計的具體算法外,還應(yīng)講授兩種估計產(chǎn)生的思想,以大數(shù)定律為理論依據(jù)傳遞矩估計思想,用獵人和徒弟打獵一槍擊中獵物后,誰擊中概率大的具體問題引出極大似然估計思想。如果時間允許,還可以引導(dǎo)學(xué)生使用非線性最小二乘法估計參數(shù)或貝葉斯估計。讓學(xué)生用多種數(shù)學(xué)方法去思考問題,用多種數(shù)據(jù)分析方法解決問題,提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力。
7 "結(jié)論
六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一個相互聯(lián)系、相互交織的整體。教師要更新觀念,關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容,以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標,利用課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng),全面提高學(xué)生的知識和方法技能,厚植學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情懷,把六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)轉(zhuǎn)化成大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中具體的目標,并且逐步落實在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中,為學(xué)生營造良好的數(shù)學(xué)教育氛圍,為高等教育改革奉獻力量。
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