基于集成光芯片的量子模擬研究進(jìn)展*

陳陽 張?zhí)鞜?郭光燦 任希鋒

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),中國科學(xué)院量子信息重點實驗室,合肥 230026)

量子模擬是利用可控的量子系統(tǒng)來模擬其他未知或難以控制的量子體系,通過這種方法來處理一些在經(jīng)典計算機上無法進(jìn)行仿真的復(fù)雜量子體系,用于如基礎(chǔ)物理探索、分子動力學(xué)研究、藥物研發(fā)等相關(guān)領(lǐng)域.集成光學(xué)系統(tǒng)是實現(xiàn)量子模擬的一個優(yōu)秀的實驗平臺,能實現(xiàn)如無序系統(tǒng)、拓?fù)浣^緣體、非線性和非厄米體系等凝聚態(tài)物理結(jié)構(gòu)的模擬,或用于實現(xiàn)量子隨機行走、玻色取樣等以演示量子優(yōu)越性.本文介紹多種量子模擬物理模型的理論基礎(chǔ),結(jié)合如硅、玻璃、鈮酸鋰等波導(dǎo)體系的優(yōu)勢,綜述近年來利用集成光芯片實現(xiàn)量子模擬的研究進(jìn)展,包括了在集成光芯片上基于模擬型和數(shù)字型這兩類量子模擬實現(xiàn)凝聚態(tài)物理模型仿真、量子隨機行走、玻色取樣等,探討集成光芯片上的不同的量子模擬技術(shù)的實用化前景和發(fā)展趨勢.

1 引言

自1981 年費曼提出量子計算機的概念以來[1],雖然實現(xiàn)通用式量子計算機仍然是一個長期的目標(biāo),但實現(xiàn)一些復(fù)雜量子體系的量子模擬任務(wù)成為研究復(fù)雜物理問題如低溫物理、多體物理的關(guān)鍵方法.在經(jīng)典計算機上模擬量子體系時,由于描述量子態(tài)參數(shù)所需的存儲空間隨著系統(tǒng)尺寸指數(shù)增長,因此,利用可控的量子系統(tǒng),例如超導(dǎo)系統(tǒng)、原子或離子體系、核以及電子自旋系統(tǒng)、光學(xué)體系等[2?5]實現(xiàn)量子模擬,可以有效解決在其他體系中難以模擬的任務(wù).光學(xué)體系天然可以用于編碼量子比特,具有較好的可操控性,如可以利用路徑、偏振、軌道角動量等多種自由度來編碼信息,且一般不需要低溫環(huán)境.此外由于具有較好的消相干能力,光學(xué)系統(tǒng)是優(yōu)異的承載量子信息的載體.在傳統(tǒng)光通信技術(shù)中,光在自由空間傳播過程中相位等信息容易受到外界環(huán)境干擾,集成光學(xué)系統(tǒng)可以利用光波導(dǎo)將光場束縛在微納尺度,從而實現(xiàn)穩(wěn)定的信息傳輸,因此在眾多的光學(xué)體系中展現(xiàn)出獨特的優(yōu)勢.近些年來,集成光學(xué)系統(tǒng)也因其小型化、穩(wěn)定性高、規(guī)?？蓴U展等優(yōu)勢,在量子通信、量子計算等方向展現(xiàn)出實用化的應(yīng)用前景[6?9].

得益于不同材料系統(tǒng)一些特有的優(yōu)勢,如相位可調(diào)節(jié)能力、三維加工能力、高非線性系數(shù)等,集成光學(xué)系統(tǒng)近十多年被廣泛應(yīng)用于實現(xiàn)如量子隨機行走[10?14]、玻色取樣[15?20]、拓?fù)浣^緣體結(jié)構(gòu)、非厄米以及非線性物理系統(tǒng)量子模擬[21?26].基于集成光學(xué)系統(tǒng)的量子模擬也被用于研究分子基態(tài)能量、分子動力學(xué)[27?29],可以潛在用于藥物分子設(shè)計等關(guān)鍵技術(shù).根據(jù)量子模擬設(shè)備不同的特性可以對其進(jìn)行分類[2],如根據(jù)模擬設(shè)備實現(xiàn)量子系統(tǒng)細(xì)節(jié)的程度可區(qū)分為兩類,一類是全局系統(tǒng)的量子模擬,用于研究如量子相變過程等;另一類通過對每一個量子比特的精確控制和測量來準(zhǔn)確理解要模擬的量子體系的微觀性質(zhì).另外,根據(jù)量子模擬設(shè)備實現(xiàn)量子操作的類型主要分為數(shù)字型(digital)和模擬型(analog)量子模擬.其中前者基于量子線路,一般包含了初態(tài)的制備、離散的量子邏輯門操作(可分解為單比特、兩比特量子門)以及最終的態(tài)測量過程,如集成光學(xué)系統(tǒng)中的多端口干涉儀結(jié)構(gòu).后者由具有相似哈密頓量并且在一定程度上可控制的系統(tǒng)來實現(xiàn)量子模擬,如光波導(dǎo)陣列、光子晶體、耦合腔陣列等.

本文基于集成光學(xué)系統(tǒng)介紹其在量子模擬研究領(lǐng)域的進(jìn)展以及發(fā)展前景: 從基本的物理模型出發(fā),基于集成光學(xué)系統(tǒng)構(gòu)建的晶格結(jié)構(gòu)來介紹無序安德森局域化、拓?fù)浣^緣體中的物理、非厄米以及非線性誘導(dǎo)的新物理現(xiàn)象;基于多端口干涉儀結(jié)構(gòu)介紹量子隨機行走、玻色取樣、量子化學(xué)模擬等過程.通過對這些典型的、前沿的物理模型的梳理和介紹,并且討論這些物理模型在集成光學(xué)系統(tǒng)上物理實現(xiàn)的實驗進(jìn)展,以期啟發(fā)更多關(guān)于新奇物理模型的研究,助力于新物理現(xiàn)象未來的實際應(yīng)用探索.

2 集成光學(xué)系統(tǒng)

構(gòu)成集成光學(xué)系統(tǒng)的材料體系種類繁多,如硅基、鈮酸鋰、飛秒激光直寫透明介質(zhì)、III-V 組材料(InP 和GaAs)、稀土材料等實驗平臺[6,30?32].關(guān)于不同材料的優(yōu)缺點和用途,讀者可以查閱相應(yīng)的文獻(xiàn),本文簡要介紹目前幾種應(yīng)用于量子模擬的主流的集成光學(xué)材料體系: 1)硅基集成光芯片,如硅、摻雜二氧化硅、氮化硅波導(dǎo)等.一方面,通常所采用的互補金屬氧化物半導(dǎo)體(CMOS)半導(dǎo)體加工技術(shù)經(jīng)歷了五十多年的發(fā)展,具有成熟的工藝;另一方面,由于該體系有較高的折射率對比度,因而具備較好的光場束縛能力,可以實現(xiàn)更加小型化、集成化的系統(tǒng).基于硅的高三階非線性系數(shù),可以利用四波混頻效應(yīng)在硅基波導(dǎo)中產(chǎn)生量子光源[9,33?40],另外還可以集成超導(dǎo)納米線實現(xiàn)光子探測.在量子模擬方面,基于熱調(diào)相位的馬赫-曾德爾干涉儀構(gòu)建可重構(gòu)的離散型量子網(wǎng)絡(luò)可用于研究量子隨機行走過程、量子化學(xué)模擬等,但存在相位調(diào)節(jié)的穩(wěn)定性和調(diào)制速度慢的問題.2)鈮酸鋰基集成光芯片,在制備波導(dǎo)時通常采用質(zhì)子交換或者鈦擴散技術(shù)以實現(xiàn)芯層折射率的增大.該系統(tǒng)具有超低的損耗,較高的二階非線性系數(shù)和電光系數(shù),因此可以利用自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換過程制備量子光源[41?43].電調(diào)相位調(diào)制速度快的優(yōu)勢使其成為制備主動非線性器件(如光開關(guān)、頻率轉(zhuǎn)換器件)的優(yōu)秀材料體系.此外,光子探測和電子學(xué)器件也可集成到這一系統(tǒng)中.目前該系統(tǒng)主要應(yīng)用在實現(xiàn)量子通信功能,近來被用于研究非線性系統(tǒng)中的拓?fù)湮锢?作為一種新興的可動態(tài)調(diào)控的材料,期望基于鈮酸鋰基的集成光芯片體系未來能夠應(yīng)用于實現(xiàn)更多物理模型量子模擬,并且結(jié)合量子光學(xué)發(fā)揮更多的實際用途.3)飛秒激光直寫光芯片,通過物鏡將短脈沖、高峰值功率的飛秒激光聚焦到透明材料(如玻璃、聚合物)中,觸發(fā)非線性吸收過程從而改變聚焦位置處材料折射率.該系統(tǒng)利用高精度位移臺控制樣品的移動以決定波導(dǎo)走向,具備可三維加工、可快速制備的優(yōu)勢,因此利用飛秒激光直寫技術(shù)制備的光波導(dǎo)陣列成為近些年實現(xiàn)一些難以控制的電子系統(tǒng)中的凝聚態(tài)物理模型量子模擬的優(yōu)秀實驗平臺[31].該系統(tǒng)目前存在調(diào)制難度高,尺寸大的問題.

如圖1 所示,在集成光學(xué)系統(tǒng)中,實現(xiàn)凝聚態(tài)物理模型量子模擬主要用到了光波導(dǎo)陣列、耦合環(huán)腔陣列、光子晶體等結(jié)構(gòu),這一類量子模擬可以歸結(jié)為模擬型量子模擬;而基于級聯(lián)的分束器或者馬赫-曾德爾干涉儀的多端口干涉儀結(jié)構(gòu)常被用于研究離散型量子隨機行走、玻色取樣、量子化學(xué)模擬等,屬于離散型量子模擬.接下來介紹不同系統(tǒng)用于實現(xiàn)量子模擬的基本原理,將在第3 和第4 節(jié)中介紹這些結(jié)構(gòu)在集成光量子模擬方面的研究進(jìn)展.

圖1 幾種常見的用于量子模擬的集成光學(xué)系統(tǒng) (a) 耦合光波導(dǎo)陣列[44];(b) 光子晶體;(c) 耦合環(huán)腔陣列[45];(d) 多端口干涉儀[17]Fig.1.Several integrated optical platforms for quantum simulation: (a) Coupled optical waveguide array[44];(b) photonic crystal;(c) array of coupled ring resonators[45];(d) multiport interferometer[17].

2.1 光波導(dǎo)陣列

在傍軸近似條件下,任意T時刻在光波導(dǎo)陣列垂直于傳播方向的橫截面r⊥位置上的光場波函數(shù)Ψ(r⊥,T)(單波導(dǎo)有效折射率為neff,真空光波長為λ0)滿足薛定諤形式的傳播方程[25,46?48]:

其中有效光學(xué)質(zhì)量為mopt=?β/v(光在波導(dǎo)中的群速度v=c/neff,傳播常數(shù)β=neffk0,? 為約化普朗克常數(shù),波矢大小k0=2π/λ0),波導(dǎo)陣列r⊥處的折射率分布n(r⊥)等效為有效光學(xué)勢場Vopt=(?k0c)×為了直觀地與電子系統(tǒng)中的薛定諤方程對比,(1)式中光沿傳播方向的演化轉(zhuǎn)換成了光場隨時間的演化關(guān)系.由于傳播方程與量子力學(xué)中薛定諤方程的相似性,光在波導(dǎo)陣列中的傳播類似于電子在固體系統(tǒng)(如周期晶格結(jié)構(gòu)、無序系統(tǒng)、準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu))中的傳播過程.光波導(dǎo)陣列系統(tǒng)中(通?？紤]單模波導(dǎo)),每個波導(dǎo)位置處折射率分布對應(yīng)于固體系統(tǒng)中的在位束縛勢(on-site potential),每個波導(dǎo)的模式之間的重疊引起的光在波導(dǎo)之間的耦合對應(yīng)著固體系統(tǒng)中電子隧穿(tunneling).通過控制波導(dǎo)陣列結(jié)構(gòu)中折射率的空間分布,可以調(diào)制光在系統(tǒng)中的傳播行為.1965 年,研究者基于耦合的光纖結(jié)構(gòu)理論研究一維波導(dǎo)鏈中光的衍射行為[49],并隨后于1972 年在等間距砷化鎵波導(dǎo)陣列中實驗觀察到了光的彈道式擴散過程[50].目前描述耦合光波導(dǎo)陣列的能帶分布以及光的傳播普遍采用緊束縛近似模型處理,即從亥姆霍茲方程出發(fā),把光在每個波導(dǎo)位置處的折射率分布作為零級近似,其他位置波導(dǎo)的折射率分布作為微擾項進(jìn)行處理.緊束縛近似下,耦合光波導(dǎo)陣列的哈密頓量可以表示為[13]

其中,βi是第i根波導(dǎo)的傳播常數(shù),Ci,j為光從第i根波導(dǎo)耦合到第j根波導(dǎo)的耦合系數(shù),(ai) 為光在第i根波導(dǎo)的產(chǎn)生(湮滅)算符,滿足玻色子對易關(guān)系.根據(jù)海森伯演化方程可以得到光在沿z軸傳播的波導(dǎo)陣列中的傳播方程:

(2)式和(3)式是利用光波導(dǎo)陣列實現(xiàn)凝聚態(tài)物理模型量子模擬的基礎(chǔ),通過控制波導(dǎo)的折射率分布或者波導(dǎo)之間的間距,可以模擬周期系統(tǒng)連續(xù)型量子隨機行走、無序系統(tǒng)安德森局域化等現(xiàn)象.

2.2 光子晶體

不同于光波導(dǎo)中光場通常束縛在高折射率介質(zhì)中,基于光子晶體的波導(dǎo)其光場可以在低折射率介質(zhì)中傳播,并且可以在結(jié)構(gòu)中實現(xiàn)劇烈角度的彎折.光子晶體是由高低折射率交替變化的介質(zhì)材料組成的周期性介電結(jié)構(gòu),其周期長度與光波長的數(shù)量級相近.光子晶體具有類似于固體物理的晶格結(jié)構(gòu),按照周期排布方式可以分為一維、二維和三維光子晶體.光子晶體中光的傳播依賴于周期結(jié)構(gòu)中的布拉格反射過程,當(dāng)入射光的波長接近光子晶體的晶格周期時,這種周期結(jié)構(gòu)界面處的多重反射光會發(fā)生干涉從而形成光子能帶.特別地,在折射率差較大的光子晶體結(jié)構(gòu)中將出現(xiàn)光子帶隙(對于具有特定偏振在一定頻率范圍內(nèi)的特定方向入射的光全部反射).

如圖1(b)所示,以二維光子晶體為例(電介質(zhì)中的空氣孔或者空氣中的電介質(zhì)),介質(zhì)介電常數(shù)ε(r)在(x,y)平面內(nèi)周期排布,其磁場滿足布洛赫定理,因此可以表示為Hn,k(r)=eik·r·un,k(r),其中n,k分別是能帶數(shù)和波矢,un,k(r) 和晶格具有相同的周期性.電介質(zhì)中頻率為ω的磁場滿足如下傳播方程[51]:

其中c表示真空光速,且有?·H(r)=0,結(jié)合布洛赫定理求解本征值方程(4)可以得到周期性光子晶體結(jié)構(gòu)中橫電模(TE)和橫磁模(TM)的能帶結(jié)構(gòu).在光子晶體結(jié)構(gòu)中通過引入線缺陷可以破壞晶格結(jié)構(gòu)的對稱性從而在缺陷位置形成缺陷態(tài),通過設(shè)計晶格結(jié)構(gòu)可以使缺陷態(tài)處在光子帶隙中,這種方法被用于制備光子晶體波導(dǎo)[51?53].近些年來,研究者開始利用緊束縛近似模型求解光子能帶[54?57],從而在光子晶體結(jié)構(gòu)中實現(xiàn)拓?fù)浣^緣體結(jié)構(gòu)的模擬,進(jìn)而實現(xiàn)在微納結(jié)構(gòu)中光的方向性操縱和魯棒性傳輸.

2.3 光學(xué)腔陣列

耦合腔陣列是由多個通過倏逝場耦合的具有高品質(zhì)因數(shù)(Q值)回音壁模式的光學(xué)微腔或者缺陷腔構(gòu)成[58].考慮弱耦合的情況(耦合光學(xué)腔陣列中單個腔的模式可以用獨立的腔模近似),類似于光波導(dǎo)陣列和光子晶體的處理方式,耦合光學(xué)腔陣列系統(tǒng)可以利用緊束縛近似模型來求解光子能帶及本征電磁場分布.光學(xué)微腔可以支持多個簡并的模式,如圖2 所示的順時針和逆時針光學(xué)模式(贗自旋),相鄰兩個環(huán)腔之間通過連接的波導(dǎo)實現(xiàn)光的耦合.基于圖2(a)所示的結(jié)構(gòu),Hafezi 等[59]于2011 年提出可以實現(xiàn)量子自旋霍爾系統(tǒng)的模擬,基本原理是設(shè)計環(huán)腔和連接波導(dǎo)的長度保證光分別在兩個結(jié)構(gòu)中發(fā)生相長和相消干涉,從而將光束縛在環(huán)腔中.同時要求連接左右兩個環(huán)腔的上下分支波導(dǎo)的長度不同,使得順時針/逆時針光學(xué)模式從左邊耦合到右邊和與之相反方向上的耦合存在相位差異,并且與贗自旋有關(guān).描述圖2(a)所示的二維方格子耦合環(huán)腔陣列的哈密頓量為

其中κ是相鄰兩個環(huán)腔之間的耦合系數(shù),是光子在位置為(x,y)處的贗自旋σ=±1 (順時針/逆時針光學(xué)模式)的產(chǎn)生(湮滅)算符.對于兩個正交的贗自旋模式,光子沿著由相鄰的4 個環(huán)腔構(gòu)成的閉合路徑運動時將獲得一個與贗自旋有關(guān)的相位,這種行為類似于帶電粒子在外加磁場下沿閉合路徑運動積累的Aharonov-Bohm 相位.由這樣的單元組成的周期耦合環(huán)腔陣列可以實現(xiàn)光子的有效磁場,進(jìn)一步被用于模擬量子自旋霍爾效應(yīng),在每個贗自旋表象下對應(yīng)著整數(shù)霍爾效應(yīng)系統(tǒng).Hafezi 研究組[45]的這一構(gòu)想隨后被他們于2013年在硅光子芯片上實現(xiàn),他們通過輸入波導(dǎo)耦合進(jìn)頻率與拓?fù)溥吔缒Ｊ焦舱竦募す?觀察到了拓?fù)溥吔鐟B(tài)的傳播,隨后他們又利用該系統(tǒng)研究了邊界態(tài)的魯棒性的傳輸和拓?fù)鋽?shù)的測量.2013 年,Chong研究組[60,61]在上述模型的基礎(chǔ)上調(diào)制描述兩個環(huán)腔之間耦合的散射矩陣(圖2(b)),系統(tǒng)表現(xiàn)出了周期驅(qū)動(Floquet)拓?fù)浣^緣體的能帶結(jié)構(gòu),該模型不需要精細(xì)調(diào)節(jié)連接波導(dǎo)引起的相位;2020 年Afzal 等[62]首次在微納光學(xué)系統(tǒng)(硅基八邊形腔陣列系統(tǒng))實現(xiàn)了這種反常Floquet 拓?fù)浣^緣體[62].2018 年,Leykam 等[63]設(shè)計圖2(c)所示結(jié)構(gòu)[63],通過中心連接環(huán)波導(dǎo)實現(xiàn)格點環(huán)腔之間的近鄰和次近鄰耦合(類似于Haldane 模型[64]),隨后他們利用硅環(huán)腔結(jié)構(gòu)實現(xiàn)了這種反常量子霍爾系統(tǒng)模擬(零磁通量),并觀察到了魯棒性的拓?fù)溥吔鐟B(tài)的傳輸[65].

圖2 用于模擬拓?fù)浣^緣體結(jié)構(gòu)的耦合環(huán)腔陣列 (a) 量子自旋霍爾效應(yīng)系統(tǒng)[59];(b) 周期驅(qū)動Floquet 拓?fù)浣^緣體結(jié)構(gòu)[60];(c) 反常量子霍爾效應(yīng)系統(tǒng)[63].(a)—(c)上列為周期陣列結(jié)構(gòu),下列為周期結(jié)構(gòu)中基本單元的物理圖像Fig.2.Arrays of coupled ring resonators for simulations of topological insulators: (a) Quantum spin Hall effect[59];(b) Floquet topological insulators[60];(c) anomalous quantum Hall effect[63].The upper panel in (a)–(c): periodic coupled resonator arrays;lower panel: basic units in the periodic structures.

2.4 多端口干涉儀

多端口干涉儀主要由分束器和相移器組成,可以實現(xiàn)多端口的任意幺正變換.1994 年,Reck 等[66]最早提出圖3(a)所示的三角形結(jié)構(gòu),隨后2016 年Clements 等[67]提出矩形結(jié)構(gòu)的多端口干涉儀結(jié)構(gòu),使得原先實現(xiàn)N端口任意幺正變換的結(jié)構(gòu)深度縮短到N步.這兩種結(jié)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)N端口任意幺正變換的原理都是基于對幺正矩陣的分解,通過將某一特定幺正矩陣多次分解得到對角矩陣,分解過程可以拆分成多個變換矩陣Tp,q相乘(變換矩陣僅作用在p,q兩個端口).對角矩陣實驗上通過處在特定端口的相移器實現(xiàn),變換矩陣Tp,q由可調(diào)分束比的分束器和相移器實現(xiàn).這兩種構(gòu)型的多端口干涉儀可用于實現(xiàn)離散型量子隨機行走、玻色取樣以及量子化學(xué)模擬等研究.

圖3 多端口干涉儀用于量子模擬 (a) 三角形結(jié)構(gòu)(左)[66]和矩形結(jié)構(gòu)(右)[67]的多端口干涉儀用于實現(xiàn)任意的幺正變換;(b)雙光子在離散型量子隨機行走芯片中的安德森局域化現(xiàn)象[14];(c) 硅基多端口干涉儀[68],由可調(diào)馬赫-曾德爾干涉儀組成Fig.3.Multiport interferometer for quantum simulation: (a) Realizing arbitrary unitary operator using triangular (left)[66] and rectangular (right)[67] mesh of beam splitters;(b) two-photon Anderson localization in discrete-time quantum random walk circuits[14];(c) multiport interferometer in a silicon-on-insulator platform[68],which is consist of tunable Mach-Zehnder interferometers.

3 模擬型量子模擬

3.1 無序系統(tǒng)

無序系統(tǒng)普遍出現(xiàn)在固體物理體系中關(guān)于輸運過程、電導(dǎo)等的研究[69?72],1958 年,Phillip Anderson[73]提出晶格結(jié)構(gòu)中的無序?qū)е码娮泳钟蚧?安德森局域化),隨后Mott[74]提出遷移率邊的概念,即遷移率邊以上的高能量電子表現(xiàn)出擴展性質(zhì),低能量電子表現(xiàn)出局域化性質(zhì).安德森局域化現(xiàn)象依賴于介質(zhì)的維度,對于一維無序系統(tǒng)所有的態(tài)都是局域的.隨著對無序系統(tǒng)的深入了解,研究發(fā)現(xiàn)無序系統(tǒng)中局域態(tài)的局域化長度以及波的傳播受到其結(jié)構(gòu)的種類影響[69].無序種類由無序譜表征,兩個極端情況分別為有序系統(tǒng)和非關(guān)聯(lián)無序系統(tǒng),目前對于無序系統(tǒng)分類所使用的有序度量(order metric)的研究仍是一個開放的問題.盡管對于無序分類的度量及其影響無序系統(tǒng)中波傳播行為的理論計算是個很復(fù)雜的問題,近些年來利用集成光學(xué)系統(tǒng)研究無序系統(tǒng)中的物理問題取得了一系列的進(jìn)展,這得益于該系統(tǒng)的可操縱能力,可以對無序結(jié)構(gòu)進(jìn)行靈活設(shè)計.

早在1989 年就已經(jīng)有理論預(yù)言光在無序系統(tǒng)中橫向的局域化現(xiàn)象[75],直到2007 年以色列理工學(xué)院Segev 研究組[76]才首次在二維光子晶體結(jié)構(gòu)中觀察到這一現(xiàn)象(如圖4(a)).他們利用光感應(yīng)技術(shù)在10 mm 長鈮酸鍶鋇光折變晶體(SBN:60)中誘導(dǎo)周期性的三角晶格式折射率分布,進(jìn)一步在每個格點上加入隨機擾動使得折射率以一定的無序度改變,另外結(jié)構(gòu)中要保證無序是不隨時間變化的,即沿傳播方向折射率分布不變[76].2008 年Lahini等[44]在一維等間距的耦合光波導(dǎo)陣列(鋁砷化鎵波導(dǎo))中也實驗觀察到了安德森局域化現(xiàn)象,描述該系統(tǒng)的哈密頓量可以用(2)式表示,實驗中他們控制耦合波導(dǎo)之間間距不變,而每個波導(dǎo)的寬度在一定范圍內(nèi)隨機變化(對角無序).他們理論預(yù)測并且實驗觀察到了局域態(tài)的傳播,對于有限系統(tǒng)同時也存在擴展的本征態(tài),而這些擴展態(tài)在無限系統(tǒng)下將是局域的,只是局域化長度會更大.早期這兩項研究工作也都討論了非線性效應(yīng)對于安德森局域化的影響,他們發(fā)現(xiàn)非線性效應(yīng)會增強局域化過程,這與更早之前非線性自聚焦效應(yīng)導(dǎo)致的光孤子的結(jié)論相像[77].隨后研究者也在波導(dǎo)間距隨機變化(非對角無序)的飛秒激光直寫玻璃光波導(dǎo)陣列中觀察到了安德森局域化現(xiàn)象[78].光在不同無序度下的擴散過程也被廣泛研究并被實驗上觀察到,如光在周期系統(tǒng)中的擴散是彈道式輸運過程[13],在無序系統(tǒng)中表現(xiàn)出局域化特征[44,71,76],在一定無序度的結(jié)構(gòu)中表現(xiàn)出擴散式過程[79](擴散速度介于前二者之間).安德森局域化要求勢場是不隨時間變化的,而對于無序含時的系統(tǒng),Segev 研究組[80]發(fā)現(xiàn)波的輸運表現(xiàn)出超傳輸(hyper-transport)現(xiàn)象,即擴散速度快于周期系統(tǒng)中的彈道式輸運過程,并且動量空間譜寬也隨時間擴展.近來,人們在無序鈮酸鋰光子晶體和硅光子晶體結(jié)構(gòu)中也觀察到了安德森局域化現(xiàn)象[81,82].

圖4 (a) 二維無序光子晶格中的安德森局域化現(xiàn)象[76];(b) 一維準(zhǔn)周期飛秒激光直寫光波導(dǎo)陣列[85];(c) 飛秒激光直寫螺旋式波導(dǎo)陣列結(jié)構(gòu)實現(xiàn)Floquet 拓?fù)浣^緣體[25];(d) 彎曲波導(dǎo)陣列實現(xiàn)等效磁場,模擬Aharonov-Bohm 效應(yīng)[89];在耦合環(huán)腔陣列結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生(e) 拓?fù)浣^緣體激光[90]、(f) 拓?fù)浔Ｗo多光子量子光源[91];(g) 基于谷光子晶體結(jié)構(gòu)設(shè)計等比分束器并實現(xiàn)雙光子量子干涉[57];(h) 無序拓?fù)浒驳律^緣體結(jié)構(gòu)[92];(i) 基于一維SSH 模型在硅基結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生關(guān)聯(lián)光子對[93];(j) “含時”哈密頓量系統(tǒng)用于研究拓?fù)浔闷諿87];(k) 奇偶-時間對稱與對稱破缺交界面處局域的拓?fù)溥吔鐟B(tài)[94];(l) 非厄米SSH 模型中非線性對奇偶-時間對稱相變過程的影響[22]Fig.4.(a) Anderson localization in a two-dimensional photonic lattice[76];(b) simulation of one-dimensional quasicrystals in femtosecond-laser-written (FLW) optical waveguides[85];(c) realization of photonic Floquet topological insulators in a FLW helical waveguide array[25];(d) realization of an effective magnetic field and simulation of Aharonov-Bohm effect using curved waveguide arrays[89];generation of (e) topological insulator laser[90] and (f) multiphoton quantum source[91] in coupled resonator arrays;(g) design of a 1∶1 topological beam splitter in valley photonic crystals and realize the two-photon quantum interference[57];(h) photonic topological Anderson insulator[92];(i) generation of biphoton state in a SSH photonic lattice[93];(j) topological pumping in a system described by a time-varying Hamiltonian[87];(k) topological edge state in a photonic lattice at the interface between the structures with and without parity-time symmetry[94];(l) nonlinear tuning of PT symmetry and non-Hermitian topological states[22].

耦合光波導(dǎo)陣列系統(tǒng)靈活的可調(diào)控能力也被用來研究準(zhǔn)周期晶格結(jié)構(gòu)(介于周期系統(tǒng)與無序系統(tǒng)之間)中的物理.準(zhǔn)周期系統(tǒng)缺少長程平移對稱性,表現(xiàn)出準(zhǔn)周期性(長程有序),其中兩個典型的例子分別為Harper 模型和Fibonacci 模型.Harper模型是外加磁場的二維方格模型在一維模型上的投影,可以用來研究Hofstadter 蝴蝶能譜、拓?fù)溥吔鐟B(tài)等[83].Harper 模型和Fibonacci 模型理論上具有相同的拓?fù)浞诸怺84],隨后實驗上通過對局域邊界態(tài)有無的觀察證實了這一觀點[85](如圖4(b)所示).通過調(diào)制波導(dǎo)折射率和耦合系數(shù)的分布,研究者實驗上分別實現(xiàn)了對角[86]和非對角[87]準(zhǔn)周期一維光波導(dǎo)陣列,并在相應(yīng)系統(tǒng)中觀察到了局域-去局域化轉(zhuǎn)變過程.另外,Segev 研究組[88]利用原先樣品的制備技術(shù)在準(zhǔn)周期系統(tǒng)中引入無序度,并且觀察到了與周期系統(tǒng)不同的無序增強準(zhǔn)周期系統(tǒng)輸運過程的現(xiàn)象.

3.2 拓?fù)涔庾訉W(xué)

拓?fù)浣^緣體是一類在材料體內(nèi)絕緣,特定邊界上表現(xiàn)出導(dǎo)體性質(zhì)的結(jié)構(gòu).這一類結(jié)構(gòu)具有一些優(yōu)良的性質(zhì),如電子的魯棒性傳輸,沒有背向散射等[23,95].2016 年諾貝爾物理學(xué)獎頒給了David Thouless,Michael Kosterlitz 和Duncan Haldane 三位物理學(xué)家以獎勵他們在拓?fù)湎嘧兎矫娴难芯?拓?fù)浣^緣體的研究起源于對于量子霍爾效應(yīng)的拓展探索,即電子在二維周期晶格勢場下外加電磁場的行為.Thouless 等[96]發(fā)現(xiàn)電子電導(dǎo)跟描述系統(tǒng)能帶的常數(shù)有關(guān)(TKNN 數(shù)),系統(tǒng)的拓?fù)湎嘤稍撏負(fù)鋽?shù)描述.在具有不同拓?fù)湫再|(zhì)的域(domain)的邊界上有局域的邊界態(tài),邊界態(tài)的個數(shù)與兩個域的拓?fù)鋽?shù)有關(guān),即體邊對應(yīng)關(guān)系.拓?fù)湎嘧儾痪邆鋫鹘y(tǒng)相變中的自發(fā)對稱破缺過程,而是伴隨著拓?fù)鋽?shù)的突然變化.2008 年,Haldane 和Raghu[97]從基本的麥克斯韋方程出發(fā),理論提出在破壞時間反演對稱性的光子晶體結(jié)構(gòu)中也具備像電子系統(tǒng)中的拓?fù)溥吔鐟B(tài)現(xiàn)象.隨后2009 年Wang 等[98]在磁光子晶體中進(jìn)行了實驗驗證,但相應(yīng)材料體系的磁光系數(shù)較低,往往需要超強的磁場,這在實驗上是比較難實現(xiàn)的.近些年來隨著集成光學(xué)系統(tǒng)加工工藝的成熟,很多新奇的拓?fù)湮锢憩F(xiàn)象得以被實驗實現(xiàn).

拓?fù)湎嘧冞^程要求系統(tǒng)的能帶被打開,對于二維周期系統(tǒng),需要通過破壞其時間反演對稱性或者空間反轉(zhuǎn)對稱性來實現(xiàn).前面提到的在周期晶格結(jié)構(gòu)中外加磁場可以破壞時間反演對稱性,而光學(xué)系統(tǒng)的磁效應(yīng)比較弱難以實現(xiàn)拓?fù)淠軒?取而代之的是通過設(shè)計哈密頓量實現(xiàn)有效磁場,如周期性調(diào)制格點間躍遷概率、采用螺旋式波導(dǎo)陣列等.2013 年Rechtsman 等[25]提出利用螺旋形波導(dǎo)結(jié)構(gòu)破壞時間反演對稱性(z-reversal symmetry),他們利用飛秒激光直寫技術(shù)制備如圖4(c)所示的六角晶格光波導(dǎo)陣列,通過坐標(biāo)變換將勢場分布轉(zhuǎn)換為不含時的分布,系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為

等效規(guī)范勢A(z)=k0R?[sin(?z),?cos(?z),0],Ω,R分別為螺旋波導(dǎo)的轉(zhuǎn)彎頻率和半徑.緊束縛近似下,波函數(shù)的演化滿足其中c是波導(dǎo)間耦合系數(shù).由于哈密頓量耦合項是“含時”的,其本征態(tài)需要用Floquet 模式ψn=exp(iβz)?n(?n是關(guān)于z的周期函數(shù))求解.對于螺旋形六角晶格結(jié)構(gòu),他們求解發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)能帶在狄拉克簡并點打開,并且在帶隙中存在方向性傳輸?shù)耐負(fù)溥吔鐟B(tài).由于拓?fù)溥吔鐟B(tài)僅支持順時針方向的模式,因此該系統(tǒng)中邊界態(tài)的傳播沒有背向散射,并且對于邊界上的缺陷或者無序的存在不敏感,他們進(jìn)一步在實驗上證實了這些結(jié)論.2014 年Longhi[99]提出通過線性調(diào)制光晶格中波導(dǎo)的傳播常數(shù)來實現(xiàn)有效磁場,從而用于構(gòu)建Aharonov-Bohm 籠子(AB cage,有效磁通量為 π).這一理論設(shè)計于2018年被Mukherjee 等[89]在飛秒激光直寫光波導(dǎo)陣列中觀察到.實驗上他們采用圖4(d)所示的彎曲式波導(dǎo)陣列結(jié)構(gòu),等效地使得傳播常數(shù)線性變化.在加工每一根波導(dǎo)時沿著傳播方向周期變化直寫速度,使得傳播常數(shù)“含時”變化,另外需要控制波導(dǎo)間距不變使得耦合系數(shù)近似恒為常數(shù),系統(tǒng)的等效哈密頓量為

其中有效耦合系數(shù)Jeff是復(fù)數(shù),分別表示粒子在第s個晶胞A,B,C三種格點上的產(chǎn)生(湮滅)算符.哈密頓量中的有效磁通量與周期調(diào)制傳播常數(shù)的控制參數(shù)有關(guān).實驗上他們展示了磁通量為 π 時,分別在體內(nèi)和邊界上激發(fā)時光強的呼吸運動現(xiàn)象,邊界態(tài)的呼吸頻率要遠(yuǎn)低于體態(tài)的呼吸頻率.值得一提的是,2018 年Keil 等提出通過在兩個耦合波導(dǎo)中引入傳播常數(shù)失諧的輔助波導(dǎo)也可以實現(xiàn)等效的 π 相位的耦合[100],他們進(jìn)而以此構(gòu)建了AB 籠子并且觀察到了體態(tài)和邊界態(tài)的呼吸運動現(xiàn)象[101].

在2.3 節(jié)中介紹的基于耦合環(huán)腔陣列的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有時間反演對稱性,但是在考慮了贗自旋后,哈密頓量中則引入了等效磁場,對于兩種贗自旋其邊界模式的手性相反.在這些系統(tǒng)中,只要結(jié)構(gòu)的缺陷或者無序大小不會引起兩種贗自旋模式混合,單向的邊界模式就能受到拓?fù)浔Ｗo.這些模型近來也被應(yīng)用于拓?fù)浼す?、量子信息的研?2018 年Bandres 等[90]在磷砷化鎵銦(InGaAsP)環(huán)腔陣列中實現(xiàn)拓?fù)浣^緣體激光,他們發(fā)現(xiàn)在拓?fù)淦接弓h(huán)腔陣列中出射多模激光,而在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中出射單模激光(如圖4(e)所示),并且在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的激光可以沿著邊界傳播,不受結(jié)構(gòu)缺陷的影響,他們采用的環(huán)腔陣列結(jié)構(gòu)基于圖2(a)所示的量子自旋霍爾系統(tǒng).同年Mittal 等[102]基于硅四波混頻效應(yīng)在類似的結(jié)構(gòu)中(硅環(huán)腔陣列)實現(xiàn)了關(guān)聯(lián)光子對的產(chǎn)生,并且發(fā)現(xiàn)當(dāng)泵浦光、信號光和閑頻光與邊界模式的頻率一致時,光子對的產(chǎn)生概率增強.隨后2021 年Mittal 等[103]基于反常量子霍爾模型以及雙泵浦技術(shù)在硅環(huán)腔陣列中產(chǎn)生頻率可調(diào)光子對,產(chǎn)生的光子對具有能量-時間糾纏特性,并用于量子干涉實驗.2022 年Dai 等[91]基于Floquet 拓?fù)浣^緣體結(jié)構(gòu)在硅環(huán)腔陣列中產(chǎn)生多光子糾纏態(tài)(如圖4(f)所示),并且測量了在有無缺陷的結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的糾纏態(tài)的保真度,從而證明了產(chǎn)生的Einstein-Podolsky-Rosen 態(tài)受到了拓?fù)浔Ｗo.

除了前面提到的具有時間反演對稱性的耦合環(huán)腔陣列系統(tǒng),研究發(fā)現(xiàn)在光子晶體中通過破壞系統(tǒng)的空間反轉(zhuǎn)對稱性也可以產(chǎn)生拓?fù)浣^緣體結(jié)構(gòu).2007 年,牛謙研究組[104]設(shè)計石墨烯六角晶格結(jié)構(gòu)使得兩個亞晶格格點能量不同,從而破壞空間反轉(zhuǎn)對稱性.他們發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)支持一對具有固有磁矩的贗自旋模式,并且與能帶中能谷的位置有關(guān)(狄拉克簡并點).他們進(jìn)一步提出在外加電場下,不同能谷位置的載流子將沿著相反的方向傳輸,即能谷霍爾效應(yīng).基于這一模型,2013 年Khanikaev 等[105]在六角光子晶格結(jié)構(gòu)中觀察到了邊界態(tài)傳輸,對于兩個相反的贗自旋態(tài)激發(fā)條件下光子的傳播方向相反.他們實驗上也證實了當(dāng)結(jié)構(gòu)中的缺陷或無序大小不引起兩個能谷的邊界態(tài)模式混合時,邊界態(tài)的傳播受到拓?fù)浔Ｗo.隨后這種能谷霍爾拓?fù)浣^緣體結(jié)構(gòu)也被拓展到近紅外波段,如飛秒激光直寫光波導(dǎo)陣列[106]、硅光子晶體結(jié)構(gòu)[107,108].近來谷光子晶體中的拓?fù)浔Ｗo邊界態(tài)也被用到量子信息領(lǐng)域:2018 年Barik 等[109]在中心具有外延生長的InAs量子點的GaAs 谷光子晶體結(jié)構(gòu)中觀察到了量子單光子源不同圓偏振模式的方向性發(fā)射.2021 年任希鋒研究組與董建文研究組在[57]硅能谷光子晶體結(jié)構(gòu)中基于谷霍爾效應(yīng)設(shè)計等比分束器結(jié)構(gòu)(如圖4(g)所示),并在該結(jié)構(gòu)中實現(xiàn)了量子干涉過程.谷光子晶體中的這類邊界模式也被用于實現(xiàn)拓?fù)浼す鈁110],由于此設(shè)計基于光子晶體結(jié)構(gòu),因此結(jié)構(gòu)尺寸比耦合環(huán)腔陣列系統(tǒng)更加集成化.

值得一提的是,2018 年Stutzer 等[92]利用扭曲的六角晶格結(jié)構(gòu)的波導(dǎo)陣列實現(xiàn)了光拓?fù)浒驳律^緣體模型.實驗上他們通過控制光入射到一維等間距波導(dǎo)陣列的角度來控制耦合進(jìn)二維六角晶格波導(dǎo)陣列中的能量大小,從而實現(xiàn)處于帶隙中心的模式的激發(fā)(如圖4(h)所示).他們在破壞空間反演對稱性的基礎(chǔ)上改變子晶格中兩個格點的能量(折射率)來破壞空間反轉(zhuǎn)對稱性,使得系統(tǒng)能帶從拓?fù)湎噢D(zhuǎn)變到平庸相,實驗表現(xiàn)為觀察不到邊界態(tài)模式的激發(fā).他們進(jìn)一步又對每個格點的能量分布引入無序度(通過改變加工波導(dǎo)所使用的飛秒激光的掃描速度來改變折射率),系統(tǒng)能帶又轉(zhuǎn)變?yōu)橥負(fù)淠軒?實驗上觀察到了手形邊界態(tài)的方向性傳播.

對于一維系統(tǒng),產(chǎn)生拓?fù)湎嘁笙到y(tǒng)具有某種對稱性,其中一個典型的例子是基于聚乙炔結(jié)構(gòu)的Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型.SSH 模型具有手性對稱性,系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為[111]

除了上述拓?fù)淠Ｐ?耦合光波導(dǎo)陣列系統(tǒng)可用于構(gòu)造“含時”哈密頓量來實現(xiàn)拓?fù)浔闷?在這一類系統(tǒng)中,通過絕熱改變系統(tǒng)的某個參數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)拓?fù)溥吔鐟B(tài)的絕熱演化,即從其中一個邊界態(tài)絕熱演化到另一個邊界態(tài),而不需要邊界態(tài)之間的耦合.2012 年Kraus 等[87]在鋁砷化鎵(AlGaAs)和飛秒激光直寫玻璃光波導(dǎo)中分別研究了準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)中的拓?fù)溥吔鐟B(tài)及其拓?fù)浔闷脂F(xiàn)象.用于研究拓?fù)浔闷值慕Y(jié)構(gòu)如圖4(j)所示,系統(tǒng)的哈密頓量可表示為

其中波導(dǎo)之間的耦合系數(shù)按照準(zhǔn)周期分布,而控制絕熱泵浦的參數(shù)?沿著波導(dǎo)傳播方向(z軸)緩慢變化.他們研究發(fā)現(xiàn)二維整數(shù)量子霍爾系統(tǒng)的哈密頓量在考慮其中一個方向的周期性后,與之對應(yīng)的動量k與絕熱泵浦參數(shù)有關(guān)(k=?a,a為晶格常數(shù)),因此通過掃描參數(shù)?可以實現(xiàn)拓?fù)溥吔鐟B(tài)在動量空間的絕熱演化.實驗上他們觀察到了光從陣列格點的一端穿過格點絕熱演化到另一端的現(xiàn)象.近幾年“含時”變化的波導(dǎo)陣列結(jié)構(gòu)也被用來研究合成維度拓?fù)浣^緣體[120]、四維量子霍爾效應(yīng)[121]、Thouless 泵浦[122,123]等物理現(xiàn)象.

3.3 非線性和非厄米系統(tǒng)

光在非線性介質(zhì)中的傳播存在群速度色散以及自相位調(diào)制效應(yīng),可以產(chǎn)生超短脈沖或者光孤子.非線性光波導(dǎo)陣列中的光孤子現(xiàn)象在1988 年被首次提出[124],1998 年在鋁砷化鎵光波導(dǎo)陣列中實驗觀察到[77],隨后2003 年在二維光折變SBN光子晶格中也觀察到了非線性光孤子現(xiàn)象[125].描述這一類系統(tǒng)的哈密頓量為[124]

其中En表示第n個格點處的電場強度,c表示粒子在相鄰波導(dǎo)間的躍遷概率.非線性項描述了第n個波導(dǎo)中的自相位調(diào)制,最后一項表示了相鄰波導(dǎo)的非線性重疊作用.通常自相位調(diào)制起主導(dǎo)作用,最后一項被省略.早些年有大量的關(guān)于光波導(dǎo)陣列中光孤子的理論和實驗研究工作[77,125,126].非線性導(dǎo)致光局域化增強的現(xiàn)象很容易讓人聯(lián)想到拓?fù)浣^緣體中局域的邊界態(tài),近些年開始研究非線性效應(yīng)對于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的拓?fù)湎嗪屯負(fù)溥吔鐟B(tài)的影響[127]: 2018 年Dobrykh 等[128]在微波環(huán)腔陣列中研究SSH 模型拓?fù)溥吔鐟B(tài)的非線性調(diào)諧,他們發(fā)現(xiàn)隨著泵浦功率的增大,電磁場更加局域在邊界處,并且觀察到了非線性藍(lán)移現(xiàn)象;2020 年Szameit研究組[26]利用飛秒激光直寫光波導(dǎo)系統(tǒng)實驗觀察到光Floquet 拓?fù)浣^緣體中的孤子現(xiàn)象[21],隨后他們又發(fā)現(xiàn)非線性效應(yīng)可以改變系統(tǒng)能帶拓?fù)湫再|(zhì),從而使得原本拓?fù)淦接沟慕Y(jié)構(gòu)在非線性作用下轉(zhuǎn)變?yōu)橥負(fù)浣^緣體.

上述討論的物理模型中描述系統(tǒng)的哈密頓量是厄米的,即滿足能量守恒定律.而在真實的物理體系中,系統(tǒng)與外界環(huán)境之間往往存在耦合,有效非厄米哈密頓量近似是目前處理這一問題普遍采用的方法[129].非厄米系統(tǒng)中一個有趣的現(xiàn)象是當(dāng)系統(tǒng)滿足奇偶-時間對稱性(PT 對稱)時,系統(tǒng)表現(xiàn)出與厄米系統(tǒng)一樣的實數(shù)能譜.通過調(diào)制哈密頓量非厄米項的大小,系統(tǒng)可以從PT 對稱未破缺相轉(zhuǎn)變到PT 對稱破缺相.系統(tǒng)處在PT 對稱破缺相時,能譜不再是實數(shù)分布,本征函數(shù)不再組成正交基.非厄米系統(tǒng)表現(xiàn)出許多新奇的物理現(xiàn)象,如趨膚效應(yīng)、光漏斗效應(yīng)等[130,131].集成光學(xué)系統(tǒng)在一定程度上可以實現(xiàn)光增益或損耗,近些年來被用于實現(xiàn)非厄米系統(tǒng)的量子模擬: 2010 年Rüter 等[132]基于摻鐵鈮酸鋰材料研究光在具有PT 對稱的非厄米耦合波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中的傳播,他們利用材料中的光折變非線性效應(yīng)在其中一根波導(dǎo)中引入光學(xué)增益,實驗上觀察到了非互易的光的傳輸,即改變輸入端口后輸出端光強分布發(fā)生變化.2017 年Szameit研究組[94]利用圖4(k)所示的扭曲的飛秒激光直寫光波導(dǎo)陣列結(jié)構(gòu)實現(xiàn)了非厄米SSH 模型的模擬,他們研究了該系統(tǒng)中PT 對稱未破缺-破缺相轉(zhuǎn)變過程與SSH 模型二聚作用大小(dimerization)的關(guān)系,最終實驗上觀察到了兩個不同PT 對稱拓?fù)湎嗟慕唤缑嫔洗嬖诰钟虻倪吔鐟B(tài).2021 年陳志剛研究組[22]利用圖4(l)所示的分段式波導(dǎo)陣列結(jié)構(gòu)實現(xiàn)非線性非厄米SSH 模型的模擬,他們理論研究了非線性項以及非厄米項對于系統(tǒng)能譜和本征態(tài)的影響,并提出通過判斷波導(dǎo)陣列中光流向有損或有增益的波導(dǎo)的方式來判斷非線性作用是否破壞了系統(tǒng)的PT 對稱性.實驗上他們使用弱相干光在偏置光折變晶體(SBN:61)中寫入這種帶有損耗的分段式結(jié)構(gòu)(折射率改變可以維持1 h 以上),通過控制在界面缺陷波導(dǎo)處輸入的偏置場的方向來實現(xiàn)自聚焦和自散焦非線性效應(yīng),在實驗上觀察到了PT 對稱系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)镻T 對稱破缺的系統(tǒng).另外非厄米系統(tǒng)的模擬也在光子晶體和環(huán)腔結(jié)構(gòu)中得以實現(xiàn)[133].

4 數(shù)字型量子模擬

2.4節(jié)介紹了矩形多端口干涉儀,它的簡化版本(MZ 干涉儀替換為等比分束器加相移器)被用于模擬可實現(xiàn)通用量子計算的離散量子隨機行走模型,干涉儀網(wǎng)絡(luò)中的分束器相當(dāng)于同時實現(xiàn)了經(jīng)典隨機行走的拋硬幣操作(coin operator)和平移操作(shift operator).2012 年Osellame 研究組[12]利用飛秒激光直寫系統(tǒng)制備離散型量子隨機行走芯片,他們通過輸入雙光子偏振糾纏態(tài)表示水平/豎直偏振),測量輸出端口雙光子的分布實驗展示了玻色子(費米子)的聚束(反聚束)特征.2013 年他們又利用該系統(tǒng)制備了無序分布的離散型量子隨機行走線路[14],通過改變波導(dǎo)的相對長度使得光子在兩個行走方向的其中一臂引入隨機相位,從而在無序離散型量子隨機行走芯片中觀察到了安德森局域化現(xiàn)象,并觀察到了偏振糾纏光子對的局域化現(xiàn)象(如圖3(b)所示).2017 年P(guān)itsios 等[134]利用激光直寫技術(shù)制備級聯(lián)芯片模擬自旋鏈淬火后的糾纏增長過程,其中第1 個芯片通過雙光子離散型量子隨機行走過程模擬5 個格點的自旋鏈上的演化過程,第2 個芯片上的熱光相移器用于測量輸出模式的糾纏度.

玻色取樣問題研究的是n個不可區(qū)分的單光子輸入到m(m>n)模式干涉儀中輸出端光子數(shù)的分布,這一問題的求解對于經(jīng)典計算機而言是#P-hard 問題.對于一些特定的取樣問題,基于這一模型近些年來在超導(dǎo)系統(tǒng)和光學(xué)系統(tǒng)中展示出了量子優(yōu)越性[135?137].在集成光學(xué)系統(tǒng)中,2013 年同年有3 篇研究工作分別在飛秒激光直寫光波導(dǎo)以及SOI 波導(dǎo)系統(tǒng)中實驗實現(xiàn)了玻色取樣(光子數(shù)為3,最多6 個光學(xué)模式)[15?17],2019 年P(guān)aesani等[138]在同一個硅芯片上實現(xiàn)了標(biāo)準(zhǔn)玻色取樣、散射玻色取樣,以及高斯玻色取樣(8 光子,12 個光學(xué)模式),關(guān)于玻色取樣的具體的介紹可以查閱文獻(xiàn)[139].

另外基于多端口干涉儀的集成光學(xué)芯片也被用來量子化學(xué)模擬,如在硅基光芯片上利用量子相位估計以及變分本征值求解法求解分子基態(tài)能量[138,140].對于具有n個量子比特的量子態(tài),描述系統(tǒng)演化的哈密頓量的維度為 2n×2n,在量子化學(xué)中系統(tǒng)的哈密頓量H可以表示成關(guān)于系統(tǒng)尺寸具有多項式個數(shù)的泡利矩陣疊加的形式.因此,對于給定量子態(tài) |ψ〉,算符H的期望值可以拆分成多個泡利算符期望值的線性疊加[141],泡利算符及其張量積的期望值可以通過對每個量子比特的局部測量得到.對于矩陣H的本征值求解問題,其最小本征值對應(yīng)的本征態(tài)將使得Rayleigh-Ritz 商數(shù)最小,因而可以歸結(jié)為變分問題.基于這種思想,量子變分本征值求解法可以用于分子基態(tài)能量的求解: 首先制備初始量子態(tài),利用量子期望值測量估計待測哈密頓量的期望值,進(jìn)一步計算Rayleigh-Ritz 商數(shù),根據(jù)得到的商的大小反饋回初始態(tài)制備過程,循環(huán)往復(fù)使得Rayleigh-Ritz 商數(shù)最小.在2014 年P(guān)eruzzo 等[140]考慮He-H+分子的哈密頓量可以表示成:

其中R表示核間距,表示子系統(tǒng)i中的泡利算符(i=x,y,z),展開系數(shù)h是實數(shù).實驗中他們在硅基芯片上通過熱調(diào)相移器和干涉儀的結(jié)構(gòu)完成初始量子態(tài)的制備以及期望值的測量.將輸出端符合計數(shù)的測量結(jié)果發(fā)送至經(jīng)典處理單元,進(jìn)一步反饋到初態(tài)制備的量子線路中,最終經(jīng)過多次迭代可以得到不同核間距下He-H+分子的基態(tài)能量.2017年P(guān)aesani 等[138]利用貝葉斯估計在硅基芯片上模擬氫分子基態(tài)能量,他們的設(shè)計思想是基于貝葉斯量子相位估計算法[142]: 對于給定的哈密頓量H,其本征矢量 |ψ〉所對應(yīng)的相位為?.首先假定要估計的相位?滿足高斯分布P(?) (先驗條件概率),基于貝葉斯定理根據(jù)量子態(tài)經(jīng)過幺正變換以及泡利Z算符后的測量結(jié)果來計算相位?的后驗概率分布,然后將先驗概率分布替換為后驗概率分布,通過多次迭代提高相位估計的置信度.實驗上他們在硅基芯片上利用干涉儀以及熱調(diào)相移器完成初始態(tài)制備以及控制幺正操作,氫氣分子哈密頓量的本征態(tài)則利用Jordan-Wigner 變換轉(zhuǎn)化到量子比特基矢,進(jìn)一步他們在硅基芯片上模擬了不同原子間距下的氫分子鍵能[138].2018 年Sparrow 等[27]利用可編程的三角形結(jié)構(gòu)的干涉儀結(jié)構(gòu)模擬了分子振動模式的動力學(xué)演化,他們首先將分子中集體的振動模式分解成多個局域的振動模式的疊加,這些局域的振動模式對應(yīng)于芯片中不同的路徑,振動模式的演化則利用可實現(xiàn)任意幺正變換的干涉儀結(jié)構(gòu)實現(xiàn),實驗上改變不同的輸入態(tài)模擬了分子中不同振動模式之間的振蕩、能量轉(zhuǎn)移以及振動弛豫等過程.

5 總結(jié)和展望

本文總結(jié)了集成光學(xué)芯片上實現(xiàn)不同種類的量子模擬的研究進(jìn)展,首先介紹了幾種常用光學(xué)體系用于實現(xiàn)量子模擬的基本物理原理,然后基于不同的實驗平臺介紹了集成光學(xué)芯片的幾種用途: 實現(xiàn)無序系統(tǒng)、拓?fù)浣^緣體結(jié)構(gòu)、非線性和非厄米系統(tǒng)的量子模擬,實現(xiàn)離散型量子隨機行走、玻色取樣模型,以及模擬量子化學(xué)中的分子能譜等.其中飛秒激光直寫光波導(dǎo)系統(tǒng)可以對波導(dǎo)折射率以及空間構(gòu)型做靈活的調(diào)制,在相應(yīng)的結(jié)構(gòu)上觀察到了無序系統(tǒng)安德森局域化現(xiàn)象,利用“含時”波導(dǎo)陣列結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)周期驅(qū)動Floquet 拓?fù)浣^緣體結(jié)構(gòu)、合成規(guī)范場、拓?fù)浔闷值冉Y(jié)構(gòu)的量子模擬;耦合環(huán)腔陣列系統(tǒng)由格點環(huán)腔和連接波導(dǎo)組成,通過調(diào)節(jié)連接波導(dǎo)中引入的相位或調(diào)節(jié)環(huán)腔之間耦合的透過率可以用于模擬量子自旋霍爾效應(yīng)、反常量子霍爾效應(yīng)以及Floquet 拓?fù)浣^緣體,進(jìn)一步結(jié)合硅基系統(tǒng)中的四波混頻效應(yīng)可以用于產(chǎn)生具有拓?fù)浔Ｗo的量子光源;光子晶體結(jié)構(gòu)具有更加集成化的尺寸,通過破壞體系的空間反轉(zhuǎn)對稱性可以實現(xiàn)谷霍爾效應(yīng),從而在平面內(nèi)對光實現(xiàn)大角度的無散射彎折;在線性物理模型中加入非線性效應(yīng)可以引起結(jié)構(gòu)能帶的變化,如使周期系統(tǒng)從拓?fù)淦接瓜噢D(zhuǎn)變到拓?fù)湎?、使非厄米系統(tǒng)從PT 對稱相轉(zhuǎn)變到PT 對稱破缺相,這些新物理現(xiàn)象的實現(xiàn)需要用到如鈮酸鋰、鋁砷化鎵、磷砷化鎵銦、鈮酸鍶鋇光折變晶體等非線性光學(xué)材料;另外,基于硅基的多端口干涉儀結(jié)構(gòu)具有很強的可重構(gòu)能力、成熟的加工工藝,并且能夠產(chǎn)生片上量子光源,實現(xiàn)任意的幺正變換,被用于實現(xiàn)離散型量子隨機行走過程,玻色取樣以及分子能譜的研究.

限于篇幅,其他一些在集成光學(xué)芯片上有趣的實驗進(jìn)展沒有涉及,如利用線性調(diào)制波導(dǎo)陣列中單根波導(dǎo)的傳播常數(shù)來模擬周期系統(tǒng)中的電子在外加力作用下的布洛赫振蕩或者Zener 隧穿效應(yīng)[143?145],通過調(diào)節(jié)波導(dǎo)間距來研究量子系統(tǒng)中的耗散問題[146]、分形結(jié)構(gòu)中的量子輸運過程[147]、六角圖上的快速到達(dá)問題[148]等,另外還有實現(xiàn)如高階拓?fù)浣^緣體[149]、非阿貝爾幾何相[150,151]量子模擬等.

集成光學(xué)系統(tǒng)不同的材料平臺能夠發(fā)揮不同的優(yōu)勢,從而用于實現(xiàn)某些特定任務(wù)的量子模擬.關(guān)于不同研究領(lǐng)域的交叉往往能催生出新物理原理或者新技術(shù)的突破,如關(guān)于非厄米、非線性以及拓?fù)浣^緣體結(jié)構(gòu)的研究催生了拓?fù)浼す膺@種未來可能有實用化前景的技術(shù).新奇的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)應(yīng)用到量子信息領(lǐng)域有可能可以解決制備量子光源中頻率穩(wěn)定性的問題,而基于集成光學(xué)芯片系統(tǒng)結(jié)合機器學(xué)習(xí)算法有可能進(jìn)一步推動新物理結(jié)構(gòu)量子模擬和更加實際化用途的實現(xiàn).另外,需要指出的是利用集成光芯片實現(xiàn)量子模擬也會面臨一些挑戰(zhàn),如需要盡可能的提升系統(tǒng)的可擴展性、可操縱能力.為了實現(xiàn)量子優(yōu)越性展示或其他特定的實際應(yīng)用,多比特、大規(guī)模、復(fù)雜系統(tǒng)量子模擬將成為未來的發(fā)展趨勢.在實驗技術(shù)層面上,大規(guī)模的集成光學(xué)系統(tǒng)將面臨著損耗、測量技術(shù)、實驗成本等方面的問題,通過嘗試新材料或者開發(fā)新技術(shù),結(jié)合多種材料體系的優(yōu)勢或許可以解決一些關(guān)鍵難題.復(fù)雜系統(tǒng)的量子模擬同樣要求理論方面的同步推進(jìn),反過來實驗上對于未知物理現(xiàn)象的觀察同時也能進(jìn)一步完善描述復(fù)雜物理系統(tǒng)的理論.