異質(zhì)環(huán)境下各向異性擴散對圖靈斑圖的影響*

劉若琪 賈萌萌 范偉麗 賀亞峰 劉富成?

1) (河北大學物理科學與技術(shù)學院,保定 071002)

2) (河北大學環(huán)境工程研究所,保定 071002)

擴散在圖靈斑圖形成和演化過程中起到了至為關(guān)鍵的作用.本文采用雙變量反應擴散模型,數(shù)值研究了異質(zhì)環(huán)境下各向異性擴散對圖靈斑圖的影響.模擬結(jié)果表明: 各向異性擴散程度較大時,系統(tǒng)斑圖呈條紋斑圖,其空間取向由偏離分岔點程度大的擴散系數(shù)所決定;各向異性擴散程度較小時,斑圖與各向同性擴散情況相同.當擴散系數(shù)在空間中線性增長時,由于空間異質(zhì)性的影響,不同區(qū)域可以選擇不同的斑圖類型,斑圖之間存在競爭.當擴散系數(shù)受到一維周期性函數(shù)調(diào)控時,斑圖類型和波長由調(diào)控函數(shù)的波長以及系統(tǒng)本征波長所決定.當調(diào)制波長大于本征波長時,系統(tǒng)可呈現(xiàn)不同類型交替的雙尺度混合斑圖.此外,還發(fā)現(xiàn)非對角擴散系數(shù)D 不僅影響了斑圖的選擇機制,還擴展了圖靈空間的參數(shù)范圍.

1 引言

自組織斑圖是在空間和時間上具有某些規(guī)律性的非均勻宏觀結(jié)構(gòu),其普遍存在于自然界以及各種非線性系統(tǒng)[1?4].圖靈機制是理解斑圖形成的重要理論框架之一,該機制不僅對于理解各個領(lǐng)域內(nèi)的自組織斑圖現(xiàn)象具有重要作用[5],還在很多領(lǐng)域內(nèi)具有潛在的實際應用價值,例如新型材料設(shè)計[1]、粒子運輸輔助[6]、水質(zhì)凈化[7]以及蝗蟲集體運動預測[8]等.

圖靈不穩(wěn)定性本質(zhì)上是由于擴散所引起的不穩(wěn)定性,因而擴散過程是影響圖靈機制的一個重要因素[9].自20 世紀90 年代初期歐陽頎等[10]首次在實驗上驗證圖靈斑圖以來,研究者們對于正常擴散下圖靈斑圖的形成機理已經(jīng)有了較為全面的認識[9?12],在正常擴散下,粒子遷移滿足完全隨機行走理論,擴散過程與方向無關(guān),呈現(xiàn)各向同性的性質(zhì).實驗和理論研究表明,現(xiàn)實中許多非線性物理系統(tǒng)和生物系統(tǒng)的擴散過程大多不滿足完全隨機行走理論,其擴散具有方向性,如分子在多孔介質(zhì)[13]、膠體[14]以及器官組織[15]中均表現(xiàn)為各向異性擴散.各向異性擴散作為調(diào)節(jié)斑圖形態(tài)的內(nèi)在因素之一,具有豐富的研究內(nèi)涵[16?18].Bar 等[19]發(fā)現(xiàn)各向異性雙穩(wěn)態(tài)反應擴散介質(zhì)中存在一種新的動力學狀態(tài)—分層時空混沌.He 和Liu[20]研究了三維各向異性雙穩(wěn)態(tài)介質(zhì)中化學波前的動力學,發(fā)現(xiàn)足夠強的各向異性會引起動力學不穩(wěn)定性并導致波前破裂.最近,Cui 等[21]在粗粒化模型中應用化學波動力學性質(zhì)成功地實現(xiàn)了納米顆粒的分離.在存在隨機性和各向異性的情況下,圖靈模式形成機制具有較強的魯棒性[22],并且單一擴散方向滿足圖靈不穩(wěn)定性的發(fā)生條件時,圖靈模式仍然存在[23].圖靈模式中條紋的取向由物質(zhì)各向異性擴散的程度所決定,且各向異性提高條紋的穩(wěn)定性[17,24?26].Gao 等[18]發(fā)現(xiàn)當各向異性擴散在與局部反應耦合過程中起主導作用時可以產(chǎn)生一種新的圖靈分岔并導致超晶格斑圖的形成.

此外,現(xiàn)實斑圖形成系統(tǒng)一般都具有非均勻性(異質(zhì)性)的特點.研究表明,空間異質(zhì)性是造成時空斑圖多樣性的主要原因之一[27?29].非均勻擴散系數(shù)是反應擴散系統(tǒng)空間異質(zhì)性最為常見的一種表現(xiàn)形式.2005 年,Page 等[30,31]發(fā)現(xiàn)擴散系數(shù)的非均勻性可以擴展圖靈空間的參數(shù)范圍,增加斑圖的復雜度以及穩(wěn)定性.胡文勇等[32,33]分析了在局域濃度擴散系數(shù)調(diào)控下圖靈斑圖的形成機理,發(fā)現(xiàn)通過改變調(diào)控系數(shù)可實現(xiàn)六角斑點和條紋之間的轉(zhuǎn)化,且點條比率強烈依賴于調(diào)控系數(shù).Chen 等[34]在圖靈系統(tǒng)中施加一個圓偏振電場,也實現(xiàn)了六角斑點和條紋之間的轉(zhuǎn)化.最近,Van Gorder[27]詳細闡述了反應擴散系統(tǒng)中空間異質(zhì)性對圖靈斑圖的作用機理.在上述研究基礎(chǔ)上,本文采用雙變量反應擴散模型,系統(tǒng)研究了異質(zhì)環(huán)境下各向異性擴散對圖靈斑圖的影響.

2 物理模型

將各向異性擴散引入到最為常用的一種反應擴散模型—Brusselator 模型[35],在無量綱的情況下,該模型具有以下形式:

其中,u和v分別為活化子和阻滯子濃度;a和b為系統(tǒng)局部動力學的控制參數(shù);和分別為物質(zhì)i沿x方向和y方向的擴散系數(shù),i代表活化子u和阻滯子v,當時,系統(tǒng)為各向同性擴散.由于反應與擴散的耦合,在參數(shù)空間的不同區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)可以經(jīng)歷不同的分岔,從而產(chǎn)生不同的時空斑圖.均勻定態(tài)解(u0,v0)=(a,b/a)經(jīng)歷圖靈不穩(wěn)定的條件是阻滯子的擴散系數(shù)大于活化子的擴散系數(shù),相應的圖靈斑圖具有本征波數(shù).固定參數(shù)a=3,b=9,Dv=10 ,選擇Du作為控制參數(shù),當其小于臨界值Du≤Dc=4.44 時,滿足圖靈分岔條件.圖1(a)為各向同性擴散中不同擴散系數(shù)下的色散關(guān)系曲線,虛線為特征值的實部 Re(λ),代表了圖靈模的線性增長率,Re(λ) 越大,圖靈模增長越快;實線為特征值的虛部 Im(λ),對應模式的振蕩頻率,由于不同擴散系數(shù)下特征值的虛部Im(λ)相差非常小,因此圖中僅給出了Du=4 時的情況作為參考.隨著擴散系數(shù)Du的減小,系統(tǒng)逐漸遠離圖靈分岔點,圖靈模波數(shù)及其對應的 Re(λ) 也都隨之增大.

圖1 各向同性擴散下的色散曲線圖及其相應的圖靈斑圖 (a)色散曲線;(b)點狀六邊形斑圖,Du=2;(c)條紋斑圖,Du=3 ;(d)蜂窩狀六邊形斑圖,Du=4Fig.1.Dispersion curves under isotropic diffusion and their corresponding Turing patterns: (a) Dispersion curves;(b) hexagonal spot pattern,Du=2;(c) stripe pattern,Du=3;(d) honeycomb hexagonal pattern,Du=4 .

所有模擬采用歐拉向前差分的方法進行積分,模擬區(qū)域包含 128×128 個空間格點,擴散項在數(shù)值計算中選擇五點差分格式,在顯式格式下方程(1)的離散形式為

取時間步長 ?t=0.01 個時間單位,空間步長?x=?y=1.0個空間單位.采用更小的空間步長和時間步長獲得了相同的模擬結(jié)果.采用均勻定態(tài)附近的隨機擾動為初始條件,邊界條件選用周期性邊界條件.

3 模擬結(jié)果與討論

圖1(b)—(d)給出了各向同性擴散下獲得的3 種圖靈斑圖.偏離分岔點的程度是模式選擇過程中的一個關(guān)鍵因素[36].當Du=2 時,圖靈模的Re(λ)足夠高,系統(tǒng)遠離主分岔點,產(chǎn)生一種總相位為零的六邊形斑圖—點狀六邊形斑圖(圖1(b)),其波長λ約為7.3.隨著參數(shù)Du的增大,系統(tǒng)接近主分岔點,產(chǎn)生波長λ=7.6 的條紋斑圖(圖1(c)),而不是點狀六邊形斑圖.當Du=4 時,在圖靈分岔點附近獲得總相位為 π 的六邊形圖案(圖1(d)),表示為蜂窩六邊形圖案,此斑圖波長λ=10.7 .

各向異性擴散對圖靈斑圖具有影響.研究發(fā)現(xiàn)活化子u和阻滯子v的各向異性擴散對斑圖的影響規(guī)律一致,為簡便起見,本文只給出了活化子的情況,即只考慮了活化子為各向異性擴散的情況.保持阻滯子的擴散系數(shù)Dv=10 不變,通過改變活化子在不同方向上的擴散系數(shù)和的大小來研究各向異性擴散對圖靈斑圖的影響.為了系統(tǒng)研究各向異性擴散系數(shù)對圖靈斑圖的影響,分3 種情況來討論: 1)空間均勻分布;2)空間線性增長;3)空間周期性變化.

圖2 給出了均勻環(huán)境中兩種不同各向異性擴散情況下獲得的條紋斑圖,其中圖2(a)為擴散系數(shù)滿足圖靈分岔條件,而不滿足時的圖靈條紋斑圖.當水平x方向上滿足圖靈分岔條件,而豎直y方向不滿足圖靈分岔條件時,系統(tǒng)僅在x方向上激發(fā)圖靈模,因而產(chǎn)生豎直取向的條紋斑圖(圖2(a)),其本征波長λ=8,略大于各向同性擴散情況下的本征波長(圖1(b)).圖2(b)為水平和豎直兩個方向均滿足圖靈分岔時的條紋斑圖,由于,即水平方向上偏離圖靈分岔點較遠,相應的圖靈模的增長率較大,因此圖靈模的波數(shù)沿著x方向,即條紋取向為豎直方向.值得說明的是,此時條紋的本征波長λ=6.4,與圖2(a)相比其波長較短,這意味著y方向上的擴散系數(shù)也會影響本征波數(shù)的大小.總而言之,條紋斑圖的取向取決于擴散系數(shù)在不同方向上偏離分岔點的程度,擴散系數(shù)越小偏離程度越高,則此方向即為條紋斑圖的取向方向.

在現(xiàn)實世界中,絕大多數(shù)非線性系統(tǒng)都處于非均勻的環(huán)境中,斑圖形成過程受到空間異質(zhì)性的影響.因此異質(zhì)性對圖靈斑圖的影響機理一直是人們研究的熱點之一[27].圖3 給出了擴散系數(shù)在x方向單調(diào)增加時的混合斑圖.隨著x的不斷增加,從低于逐步高于.在圖3(a)的中間區(qū)域,當在1.89—2.02 范圍時表現(xiàn)為各向同性情況下的點狀六邊形,2.02—2.13 范圍內(nèi)為斑點與條紋的過渡區(qū);左側(cè)區(qū)域表現(xiàn)為豎直取向條紋;右側(cè)區(qū)域,表現(xiàn)為水平取向條紋.由于圖3(a)左右兩側(cè)大小不同,所以造成了左右兩側(cè)條紋的波長不同.在圖3(b)中,在3.97—4.17 范圍時表現(xiàn)為各向同性情況下的蜂窩狀六邊形,左側(cè)區(qū)域為豎直條紋,右側(cè)區(qū)域為水平條紋.圖3 結(jié)果表明,由于空間異質(zhì)性的影響,不同區(qū)域可以選擇不同的斑圖類型.在每個區(qū)域內(nèi),斑圖由滿足圖靈條件的圖靈模式之間相互作用而成.斑圖的類型由各向異性擴散系數(shù)的相對大小決定,在各向異性程度較小的區(qū)域內(nèi)呈現(xiàn)六邊形斑圖,而在各向異性程度較大的區(qū)域內(nèi)呈現(xiàn)條紋斑圖.

周期性變化的各向異性擴散系數(shù)是調(diào)控圖靈斑圖的一種重要方式.引入周期性調(diào)控函數(shù)后活化子在x方向上擴散系數(shù)變?yōu)?γcos(2πx/λF)+Du0,其中γ為周期性調(diào)制函數(shù)的振幅,調(diào)控波長λF=L/n,n為整數(shù),Du0為無周期調(diào)控時的擴散系數(shù).當=Du0時,系統(tǒng)斑圖的本征波長為λ0(=3時λ0=8).圖4 給出了周期性調(diào)制擴散系數(shù)在不同調(diào)制參數(shù)下的圖靈斑圖.其中圖4(a)—(c)研究了調(diào)制波長對斑圖的影響.當n=16 時,此時調(diào)控波長(λF=8)與系統(tǒng)的本征波長相同,在周期函數(shù)調(diào)控下,在不同位置的大小不同,即各位置的各向異性程度不同,但由于調(diào)控函數(shù)周期較短,各向異性程度較小的區(qū)域太窄,因此只表現(xiàn)出濃度相間的條紋斑圖,如圖4(a)所示.當n=8 時,調(diào)控函數(shù)的波長增大,各向異性程度不同的區(qū)域隨之變寬,在各向異性程度較小的區(qū)域呈現(xiàn)點狀斑圖,而在各向異性程度較大的區(qū)域呈現(xiàn)條紋斑圖,因此得到了雙尺度點線相間斑圖,如圖4(b)所示,此時λa=8.4(λa為點狀斑圖波長),λb=16 (λb為條紋斑圖波長),其中λb=λF=2λ0.圖4(b)與地松鼠表皮上的點線相間斑圖十分相似,因此空間周期異質(zhì)性可能是動物體表點線斑圖的形成原因[31].當n=4時,此時λF=4λ0,調(diào)控函數(shù)的周期相較于圖4(b)進一步增大,各向異性程度不同的區(qū)域進一步變寬,在各向異性程度較小的區(qū)域呈現(xiàn)出橫向拉長的點狀斑圖,而在各向異性程度較大的區(qū)域呈現(xiàn)濃度不同的條紋斑圖,得到了圖4(c)中的點線相間斑圖.保持圖4(a)中的其他條件不變,圖4(d)—(f)分別給出了參數(shù)Du0,γ和對圖靈斑圖的影響.在圖4(d)中Du0的增大使得不滿足圖靈條件,系統(tǒng)僅在y方向上激發(fā)圖靈模,此時調(diào)制不起作用,系統(tǒng)產(chǎn)生了水平取向的條紋斑圖.在圖4(e)中調(diào)制幅度γ的增大擴大了的參數(shù)范圍,但是周期大小并沒有改變,因此表現(xiàn)出另外一種濃度周期變化的條紋斑圖.在圖4(f)中,改變使其不滿足圖靈條件,系統(tǒng)僅在x方向上激發(fā)圖靈模,因而產(chǎn)生豎直取向條紋斑圖.

圖5 為不滿足圖靈條件,為周期性函數(shù)時的復雜條紋斑圖.當n=4 時,雖然調(diào)控函數(shù)周期較大,各向異性程度不同的區(qū)域較寬,但由于不滿足圖靈條件,系統(tǒng)僅在x方向上激發(fā)圖靈模,因此產(chǎn)生濃度不同的豎直取向條紋斑圖,如圖5(a)所示.當n=8 時,調(diào)控函數(shù)周期變小,各向異性程度不同的區(qū)域變窄,周期數(shù)變多,因而得到了濃度相間的周期性條紋斑圖,如圖5(b)所示.當n=16時,調(diào)控函數(shù)周期較短,因此只能得到周期內(nèi)為單一濃度的條紋斑圖,如圖5(c)所示.

在一些特殊的各向異性介質(zhì)中,例如特殊形狀的多孔介質(zhì)[13]、大腦皮層[15]、磁場中的等離子體[37]、生物種群[38]等,物質(zhì)的擴散系數(shù)為張量,在二維情況下其形式可以表示為矩陣形式.同樣為簡便起見[這里只考慮活化]子的各向異性擴散情況,即Du=一般來說,擴散矩陣中的非對角元素都是相等的,令.為便于研究非對角元素D對圖靈斑圖的影響,在x方向和y方向上取各向同性擴散系數(shù),即研究各向同性擴散下的情況.圖6(a)和圖6(b)是相同D值、不同Du值得到的斜條紋斑圖.與無非對角元素情況相比,當非對角擴散系數(shù)D=1 時,系統(tǒng)選擇了斜條紋斑圖(圖6(a))而非點狀六邊形斑圖(圖1(b)),這意味著非對角擴散系數(shù)D影響了斑圖的選擇機理.在各向同性擴散中,當Du=5時,此時不滿足圖靈分岔條件,系統(tǒng)為均勻態(tài),但令D=1 后,系統(tǒng)由均勻態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)樾睏l紋斑圖,如圖6(b)所示,表明各向異性擴散擴展了圖靈空間的參數(shù)范圍.在各向同性擴散基礎(chǔ)上,當非對角擴散系數(shù)D超過一個臨界值Dc時,系統(tǒng)會經(jīng)歷圖靈分岔點.圖6(c)給出了臨界擴散系數(shù)Dc與各向同性擴散系數(shù)Du的變化.隨著Du的增大,Dc隨之線性增大.值得說明的是,非對角擴散引發(fā)的圖靈斑圖總是選擇斜條紋斑圖,其本征波長隨著非對角擴散系數(shù)D的增大而不斷減小,但是臨界擴散系數(shù)Dc所對應的本征波長與Du無關(guān),如圖6(d)所示.

圖6 非對角擴散系數(shù) D 對斑圖的影響 (a)斜條紋,Du=2,D=1;(b)斜條紋,Du=5,D=1;(c)擴散系數(shù) Du 與臨界擴散系數(shù) Dc的關(guān)系曲線圖;(d)擴散系數(shù) D與波長 λ 的關(guān)系曲線圖Fig.6.Effect of off-diagonal diffusion coefficient D on the pattern: (a) Oblique stripes,Du=2,D=1 ;(b) oblique stripes,Du=5,D=1;(c) the relationship between the diffusion coefficient Duand the critical diffusion coefficient Dc ;(d) the relationship between the diffusion coefficient D and the wavelength λ .

4 結(jié)論

本文通過改變活化子在不同方向上的擴散系數(shù)和研究了各向異性擴散對圖靈斑圖的影響.模擬結(jié)果表明,當單方向上的擴散系數(shù)滿足圖靈條件即可產(chǎn)生圖靈條紋斑圖,其空間取向取決于擴散系數(shù)在不同方向上偏離分岔點的程度,擴散系數(shù)越小偏離程度越高,則此方向即為條紋斑圖的取向方向.當擴散系數(shù)線性增長時,由于空間異質(zhì)性的影響,不同區(qū)域可以選擇不同的斑圖類型.在每個區(qū)域內(nèi),斑圖由滿足圖靈條件的圖靈模式之間相互作用而成.當擴散系數(shù)周期性變化時,可形成周期性復雜斑圖.若調(diào)控函數(shù)的周期較小,各向異性程度較小的區(qū)域太窄,則僅呈現(xiàn)出條紋斑圖而不會呈現(xiàn)各向同性擴散時的斑圖類型.非對角擴散系數(shù)D不僅可以影響斑圖的選擇機理而且擴展了圖靈空間的參數(shù)范圍.隨著擴散系數(shù)Du的增大,臨界擴散系數(shù)Dc線性增大.斜條紋斑圖的本征波長均隨著非對角擴散系數(shù)D的增大而不斷減小.