雙層非線性耦合反應(yīng)擴散系統(tǒng)中復(fù)雜Turing斑圖*

李新政1) 白占國1)? 李燕1) 趙昆1) 賀亞峰2)

1)(河北科技大學(xué)理學(xué)院,石家莊 050018)

2)(河北大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,保定 071002)

1 引言

斑圖是自然界中廣泛存在的一種典型的非線性自組織現(xiàn)象,是在時間或空間以及時空上具有某種規(guī)律性的非均勻結(jié)構(gòu).在化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)、非線性光學(xué)系統(tǒng)以及生物系統(tǒng)中均可觀測到種類豐富的斑圖[1-7],雖然各個系統(tǒng)斑圖形成的具體物理機制各不同,但斑圖的形成與演化規(guī)律卻具有一定的共性,Turing在1952年首先利用化學(xué)反應(yīng)擴散方程組對斑圖的形成進行了理論解釋[8].近年來,介質(zhì)阻擋放電系統(tǒng)作為一個新興的斑圖系統(tǒng),以其本身發(fā)光可視、形成斑圖所需時間短、構(gòu)成斑圖的單元(放電絲)可被單獨測量、控制參數(shù)調(diào)節(jié)方便等優(yōu)點備受關(guān)注[9-14].氣體放電系統(tǒng)屬于一種遠離平衡的非線性系統(tǒng),能在高級分岔點附近研究復(fù)雜斑圖的形成和演化,在該系統(tǒng)中已從實驗獲得了種類豐富的復(fù)雜斑圖(例如:蜂窩、白眼、超四邊、超六邊、點線斑圖和螺旋波等),經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)復(fù)雜斑圖往往由兩套及兩套以上子結(jié)構(gòu)嵌套而成,歸因于壁電荷斑圖與放電絲斑圖相互作用的結(jié)果[15,16].構(gòu)成復(fù)雜斑圖的簡單子斑圖結(jié)構(gòu)是按照一定的波長關(guān)系組合的,只有當系統(tǒng)內(nèi)出現(xiàn)的失穩(wěn)模具有兩個或多個波長時,才會產(chǎn)生具有復(fù)雜的空間結(jié)構(gòu)和對稱性的超晶格斑圖,因此怎樣獲得多個不同波長的失穩(wěn)模以及不同波長模間的相互作用是研究的熱點[17-19].人們開始利用雙層耦合模型對實驗中觀察到的超點陣斑圖進行理論模擬,主要源于Barrio等[18]提出超點陣斑圖的形成是因為兩個模間的相互作用,并獲得了許多有意義的研究成果.例如Yang等[6]用耦合兩個Brusselator擴散反應(yīng)模型得到了黑眼和白眼超點陣斑圖,Berenstein等[20]用雙層耦合的Lengel-Epstein模型加四邊形或六邊形擋板數(shù)值模擬了在化學(xué)反應(yīng)擴散系統(tǒng)觀察到的多種超點陣和振蕩斑圖等.前人在該方面的研究主要集中于模與模的線性相互作用,對非線性相互作用研究較少.本文采用雙層耦合Brusselator模型,研究模之間的非線性相互作用,獲得了種類豐富的斑圖,通過分析Turing模對不同斑圖形成的影響,從理論上分析了復(fù)雜斑圖的形成機理及其動力學(xué)行為.

2 模型

利用反應(yīng)擴散方程研究Turing分岔斑圖的主要有Lengyel-Epstein模型、Brusselator模型和Schnackenberg模型等,其中Lengyel-Epstein模型和Brusselator模型應(yīng)用最廣[6,20-28].Brusselator模型是以雙變量形式來描述化學(xué)反應(yīng)過程中化學(xué)元素變化的一類反應(yīng)擴散方程組.文中所采用的是雙層Brusselator四變量反應(yīng)擴散模型,每層中包括一個活化子和一個禁阻子,在無量綱的情況下該模型形式如下:其中i和 j表示兩子系統(tǒng)1(u1,v1)和2(u2,v2),u和v分別為活化子和禁阻子的濃度;Du和Dv分別為u和v變量的擴散系數(shù),α,β為兩子系統(tǒng)非線性耦合系數(shù)(且i/=j),動力學(xué)行為由控制參數(shù)a和b所決定.為便于研究與對比,本文中固定a=3和b=9,兩個子系統(tǒng)具有相同的均勻定態(tài)解:(u0,v0)=(a,b/a).通過對該均勻定態(tài)解做線性穩(wěn)定性分析可以得到斑圖動力學(xué)中最常見的兩類初級分岔現(xiàn)象:當控制參數(shù)b滿足b＞bH=(1+a2)時,系統(tǒng)經(jīng)√歷Hopf分 岔;當控制參數(shù)b滿足:b＞bT=時√,系統(tǒng)經(jīng)歷Turing分岔并產(chǎn)生特征波數(shù)為k2=a的Turing模.選擇適當參數(shù)使系統(tǒng)處于Turing空間,從式中可以看出Turing模的波數(shù)大小反比于兩個變量的擴散系數(shù)的大小.圖1是兩系統(tǒng)的色散關(guān)系:具有較大擴散系數(shù)的失穩(wěn)模(長波模)具有較小的波數(shù),而具有較小擴散系數(shù)的穩(wěn)定模(短波模)具有較大的波數(shù).通過合理選擇參數(shù)使兩個子系統(tǒng)分別具有長波模和短波模,進而討論2模作用引起的復(fù)雜斑圖.

在本文的數(shù)值模擬中,采用歐拉向前差分的方法進行積分,數(shù)值模擬在一個含有N×N(128×128)個格子的二維平面上進行,時間積分步長為Δt=0.01個時間單位,初始條件為均勻定態(tài)上加一個很小的隨機擾動,微擾幅度Δu=0.03u0,Δv=0.01ν0,邊界條件選用周期性邊界條件,為確保其穩(wěn)定性所有結(jié)果的積分時間均超過10000個時間單位.

圖1 兩耦合系統(tǒng)色散關(guān)系

3 模擬結(jié)果與分析

斑圖的選擇完全取決于兩系統(tǒng)Turing模之間的相互作用,在一定條件下兩個子系統(tǒng)Turing模會產(chǎn)生空間共振,若長波模和短波模滿足共振條件,在短波模所處的子系統(tǒng)中會形成復(fù)雜的斑圖.由于兩子系統(tǒng)間的相互作用較為復(fù)雜,為簡化分別通過改變系統(tǒng)反應(yīng)參數(shù)對Turing模間的相互作用進行研究.

3.1 波數(shù)比值的影響

斑圖的形成首先是因為系統(tǒng)內(nèi)禁阻子和活化子濃度在時間及空間上分布不均勻造成的,擴散系數(shù)的大小對于斑圖的形成及類型起著決定性作用.本文通過改變短波模與失穩(wěn)模的波數(shù)比,觀察波數(shù)比的改變對系統(tǒng)1斑圖的形成及類型選擇的影響.

圖2中是兩子系統(tǒng)波數(shù)比為1:1時,兩子系統(tǒng)出現(xiàn)相同的簡單六邊形與條紋斑圖.波數(shù)相等時兩子系統(tǒng)具有相同的Turing模,且地位相同,此時系統(tǒng)處于初級Turing分岔點附近,兩波模無耦合發(fā)生,不會產(chǎn)生新的模,此時系統(tǒng)對失穩(wěn)模的波長選擇是單一的或一條較窄的波段,同時斑圖的自組織行為受空間共振規(guī)律的約束,因此系統(tǒng)僅有單一空間尺度的簡單斑圖形成,從圖形相應(yīng)的二維傅里葉頻譜中可以看出此時系統(tǒng)僅有一種波數(shù)的波矢,根據(jù)鏡像對稱圖2(a3)中的兩個波矢可以寫成q1和-q1,圖2(b3)中的六個波矢可以約化為三個大小相等基矢q1,q2,q3(|q1|=|q2|=|q3|).

圖2 波數(shù)比1:1時,(a)Du1=51.7,Dv1=155.5,Du2=51.7,Dv2=155.5,α=0.03,β=0.03;(b)Du1=27.75,Dv1=73.75,Du2=27.75,Dv2=73.75,α=0.045,β=0.045(其中 1 為子系統(tǒng)1圖,2為子系統(tǒng)2圖,3為傅里葉頻譜圖)

兩子系統(tǒng)波數(shù)比大于1時,兩子系統(tǒng)Turing模波長不同,地位不同,短波模受失穩(wěn)模調(diào)制,系統(tǒng)1中斑圖受到系統(tǒng)2中斑圖的影響,而系統(tǒng)2中的斑圖不受系統(tǒng)1中斑圖的影響.通過調(diào)整參數(shù)發(fā)現(xiàn):短波模受失穩(wěn)模調(diào)制不僅可以出現(xiàn)系統(tǒng)2中簡單形狀斑圖(如六邊、條紋、四邊形等斑圖);失穩(wěn)模與短波膜發(fā)生共振偶合時,系統(tǒng)有新的不同波長失穩(wěn)模產(chǎn)生,若系統(tǒng)處于高級Turing分岔點附近時還可以出現(xiàn)豐富的超點陣斑圖.在調(diào)整波數(shù)比的過程中始終保持子系統(tǒng)2中呈現(xiàn)穩(wěn)定的簡單六邊形斑圖,分別考察了波數(shù)比為整數(shù)2:1,3:1,4:1時子系統(tǒng)1中產(chǎn)生復(fù)雜斑圖情況.

圖3(a)為波數(shù)比為2:1時產(chǎn)生蜂窩狀六邊形超點陣斑圖,每個蜂窩單元邊緣均由短線構(gòu)成,中心區(qū)是相同的圓形點狀斑圖;從相應(yīng)二維傅里葉頻譜中可以看出蜂窩斑圖有三種不同波數(shù)的波矢,每組相同波數(shù)的波矢均可構(gòu)成一六邊形,中心區(qū)為一組等波數(shù)的諧振波矢qi(|q1|=|q2|=|q3|),此外存在兩種次諧振波矢Ki,其中|Ki|=2|qi|,=31/2|qi|滿足三波共振關(guān)系:K1+q2=因此蜂窩斑圖有三套子結(jié)構(gòu)構(gòu)成.圖3(b)為波數(shù)比3:1時系統(tǒng)1中所呈現(xiàn)的超六邊斑圖,任何一個單元與周圍均勻分布的六個相同單元都可組成正六邊形的形狀,形成六邊形的每個單元與蜂窩超六邊形的中心斑圖相似,從二維傅里葉頻譜中可以看出也是由兩組Turing模qi和Ki相互作用形成的(其中|Ki|=3|qi|),共有三套次生模:第一套新生次諧振模有2組,其中3個ki模的大小為2|qi|(|Ki|-|qi|=2|qi|,ki//qi),另3個模的波數(shù)為31/2|qi|,且與諧振模滿足共振關(guān)系:k1+q2=第二套為2組大小相等的新生次諧振模Qi和,分別滿足三波共振關(guān)系:K1+q2=Q1和-K3-q2=第三套共有4組新生次諧振模Mi,Ni,Ri,其中Mi模的大小為4|qi|(|Ki|+|qi|=4|qi|,Mi//qi),Ri模與第一套新生次諧振模平行且大小為另兩組模Ni和的大小相等且滿足三波共振關(guān)系:K1-q3=N1和-K3+q1=.圖3(c)為波數(shù)比為4:1時系統(tǒng)1中形成的黑眼斑圖,每一個六邊形晶胞中心為暗斑點,向外依次是一個亮環(huán)和暗環(huán),形成類似于眼睛的結(jié)構(gòu),每三個單元中心處各有一個濃度不同的點狀區(qū)域,每一個單元周圍有六個這樣的點狀區(qū)域,且這六個點成正六邊分布,二維傅里葉頻譜顯示由兩組Turing模qi和Ki相互作用形成的(其中|Ki|=4|qi|,Ki//qi).Turing斑圖隨系統(tǒng)2中變量擴散系數(shù)的增大,超點陣單元間的距離逐漸增大,相同區(qū)域面積內(nèi)的晶胞減少,即超點陣斑圖的波數(shù)逐漸減小,其原因為系統(tǒng)2中失穩(wěn)模波數(shù)隨擴散系數(shù)的增加而減小,短波模受失穩(wěn)模調(diào)制所引起,但失穩(wěn)模與短波模共振耦合時新生次諧振模數(shù)量會逐漸增加,且新生模與固有模或新生次諧振模與諧振模均可形成三波共振關(guān)系.

3.2 耦合系數(shù)的影響

兩子系統(tǒng)波數(shù)相同時無論耦合系數(shù)取0—1的任何值,兩系統(tǒng)均出現(xiàn)相同的簡單斑圖.圖4中分別是耦合系數(shù)為0.045與0.15時子系統(tǒng)1中所形成簡單六邊形斑圖,可以看出兩圖形(圖4(a)和(b))基本一致,說明此時耦合系數(shù)與系統(tǒng)斑圖的類型無關(guān),在波數(shù)比為1:1時系統(tǒng)始終處于初級Turing分岔點附近.兩子系統(tǒng)波數(shù)比大于1時,兩波模地位不同,短波模受失穩(wěn)模調(diào)制,兩波模隨耦合系數(shù)的改變耦合共振形式也會相應(yīng)發(fā)生變化,因此斑圖形式表現(xiàn)出明顯的變化.圖4(c)和4(d)分別是耦合系數(shù)為0.05與0.3時子系統(tǒng)1中所形成復(fù)雜斑圖與簡單六邊形斑圖,系統(tǒng)1中斑圖出現(xiàn)明顯的變化說明耦合系數(shù)的大小也可以影響系統(tǒng)Turing分岔行為.

圖3 (a)波數(shù)比2:1時,Du1=6.78,Dv1=15.75,Du2=25.3,Dv2=68.9,α=0.05,β=0.05;(b)波數(shù)比3:1時,Du1=6.48,Dv1=15.55,Du2=55.3,Dv2=147.5,α=0.035,β=0.035;(c)波數(shù)比4:1時,Du1=1.55,Dv1=3.505,Du2=22.5,Dv2=65.5,α=0.05,β=0.01

圖4 耦合強度對斑圖的影響 波數(shù)比1:1時,Du1=27.75,Dv1=73.75,Du2=27.75,Dv2=73.75:(a)α=0.045,β=0.045;(b)α=0.15,β=0.15;波數(shù)比2:1時,Du1=6.5,Dv1=14.15,Du2=22.75,Dv2=65.5:(c)α=0.05,β=0.05;(d)α=0.3,β=0.3

模擬過程中發(fā)現(xiàn)在耦合系數(shù)小于0.1時,隨耦合系數(shù)強度的增加系統(tǒng)1中不僅呈現(xiàn)簡單和復(fù)雜斑圖,還可以呈現(xiàn)簡單斑圖向復(fù)雜斑圖的變化(如圖5(a)—(e)所示,其中1,2代表系統(tǒng)1,2中斑圖).可以看出兩系統(tǒng)無耦合時子系統(tǒng)2中為大點簡單六邊形斑圖,系統(tǒng)1中呈現(xiàn)小點簡單六邊形的斑圖(圖5(a));耦合系數(shù)在0—0.0015時兩子系統(tǒng)直接形成無耦合時簡單六邊形斑圖(圖5(b));耦合系數(shù)在0.0015—0.04時,系統(tǒng)2穩(wěn)定于簡單六邊形斑圖,系統(tǒng)1出現(xiàn)超六邊形復(fù)雜圖形(圖5(c)),耦合系數(shù)在0.0015—0.02時系統(tǒng)1中超點陣斑圖不穩(wěn)定,隨模擬時間延長逐漸演化成簡單六邊形斑圖(圖5(1b))或區(qū)域點狀斑圖(圖5(2d));耦合系數(shù)在0.04—0.065間取值時兩子系統(tǒng)同時呈現(xiàn)并穩(wěn)定于簡單四邊形斑圖(圖5(e)),但隨耦合系數(shù)增大,系統(tǒng)形成正四邊形的圖形效果會逐漸降低;耦合系數(shù)大于0.065時系統(tǒng)只出現(xiàn)短暫的點狀斑圖,而未能形成穩(wěn)定的Turing斑圖.其中耦合系數(shù)在0.025—0.04時,系統(tǒng)1中斑圖出現(xiàn)簡單斑圖到復(fù)雜斑圖以及簡單斑圖間的轉(zhuǎn)化(如圖6(a)—(e)所示),兩子系統(tǒng)會首先同時呈現(xiàn)簡單正四邊形斑圖(圖6(a));之后隨模擬時間增加系統(tǒng)2中相鄰斑點間開始融合,中間背景的面積增大,這種變化在子系統(tǒng)1中表現(xiàn)尤為明顯(圖6(1b));隨模擬時間的繼續(xù)增加,在系統(tǒng)1增大的背景區(qū)中心位置呈現(xiàn)新的斑點,此時系統(tǒng)斑圖的形狀開始變形(圖6(c));隨著背景區(qū)新生斑點的增多,系統(tǒng)逐漸失去正四邊形的形狀(圖6(d));經(jīng)過一段時間從無序到有序的演化后系統(tǒng)2開始呈現(xiàn)簡單六邊形斑圖,系統(tǒng)1中復(fù)雜斑圖單元也向六邊形發(fā)展(圖6(e)所示);最終系統(tǒng)1穩(wěn)定于超六邊斑圖,而系統(tǒng)2則穩(wěn)定于簡單六邊形斑圖.從圖形隨耦合強度的變化可以看出:在耦合系數(shù)很小時失穩(wěn)模對短波模的調(diào)控作用不明顯,兩系統(tǒng)相互作用較弱,系統(tǒng)斑圖未發(fā)生改變,隨著耦合強度的增大,失穩(wěn)模對短波模的調(diào)控作用逐漸增強,兩系統(tǒng)相互作用增大,進而影響到系統(tǒng)所呈現(xiàn)斑圖;非線性模擬過程中失穩(wěn)模對短波模的影響較線性耦合時更為明顯[20],且隨系統(tǒng)耦合系數(shù)增大,在高級Turing分岔與初級Turing分岔相鄰區(qū)域,系統(tǒng)斑圖可以自發(fā)地轉(zhuǎn)變.系統(tǒng)斑圖出現(xiàn)簡單斑圖向復(fù)雜斑圖以及簡單斑圖間的相互轉(zhuǎn)化,在介質(zhì)阻擋放電實驗過程中通過逐步升高電壓的方法已實現(xiàn)[29,30].分析其原因,驅(qū)動電壓的升高使系統(tǒng)變量擴散濃度增大的同時,壁電荷斑圖與放電絲斑圖相互作用會隨之增強,兩子系統(tǒng)間的相互作用增強在模擬過程中可以類比成耦合系數(shù)的增大,這與模擬結(jié)果相符.

圖5 系統(tǒng)斑圖隨耦合強度的變化 Du1=6.5,Dv1=15.85,Du2=55.3,Dv2=147.5;(a)α=0,β=0;(b)α=0.001,β=0.001;(c)α=0.0375,β=0.0375;(d)α=0.019,β=0.019;(e)α=0.04,β=0.04

圖6 系統(tǒng)參數(shù)不變斑圖隨模擬時間自發(fā)轉(zhuǎn)變過程 Du1=6.5,Dv1=15.85,Du2=55.3,Dv2=147.5,α=β=0.0375;(a)t=236;(b)t=302.3;(c)t=312.1;(d)t=316.8;(e)t=323

從系統(tǒng)斑圖的轉(zhuǎn)變過程可以看出:短波模與失穩(wěn)模產(chǎn)生共振耦合時,有新的失穩(wěn)模形成,系統(tǒng)處于初級Turing分岔點附近時,由于系統(tǒng)對失穩(wěn)模的選擇具有惟一性,耦合新產(chǎn)生的失穩(wěn)模與原失穩(wěn)模存在競爭,初始失穩(wěn)模被取代時系統(tǒng)出現(xiàn)新的簡單斑圖;系統(tǒng)處于高級Turing分岔點附近時,新生失穩(wěn)模與固有失穩(wěn)模共存,由于失穩(wěn)模具有兩個不同的波長,新生模與固有模間滿足三波共振從而子系統(tǒng)1中產(chǎn)生超六邊形復(fù)雜斑圖.參數(shù)不變情況下系統(tǒng)1由簡單正四邊形向超六邊形轉(zhuǎn)變,系統(tǒng)2由四邊形向六邊形轉(zhuǎn)變,證明系統(tǒng)在穩(wěn)定外界條件下可以自發(fā)由初級分岔向高級分岔轉(zhuǎn)變,在轉(zhuǎn)變時系統(tǒng)的暫態(tài)平衡被打破,系統(tǒng)1中的耦合新生失穩(wěn)模會與固有模形成三波共振,從而子系統(tǒng)1中形成復(fù)雜斑圖;系統(tǒng)2中由于固有模的對稱性高于新生模,系統(tǒng)斑圖向高對稱性轉(zhuǎn)變,因此固有失穩(wěn)模會逐步取代新生模,從而斑圖由四邊形逐漸演化成簡單六邊形.

4 結(jié)論

通過利用雙層四變量反應(yīng)擴散方程,研究了兩子系統(tǒng)在非線性耦合強度下Turing模間的相互作用以及復(fù)雜斑圖的生成機理.模擬結(jié)果表明子系統(tǒng)間的波數(shù)比值以及耦合強度的大小可以影響兩子系統(tǒng)波矢的共振狀態(tài),兩子系統(tǒng)波矢發(fā)生共振耦合會有新的不穩(wěn)定波矢產(chǎn)生,在高級分岔點附近由于不穩(wěn)定模具有兩個或兩個以上不同的波長,且不同波矢間滿足三波共振關(guān)系,從而引起短波模子系統(tǒng)產(chǎn)生復(fù)雜斑圖.模擬過程中系統(tǒng)斑圖呈現(xiàn)出簡單正四邊形向六邊形以及超六邊形點陣斑圖轉(zhuǎn)化,這一結(jié)果從理論驗證了不同斑圖間可自發(fā)相互轉(zhuǎn)化的實驗結(jié)論.本文模擬結(jié)果為深入研究反應(yīng)擴散系統(tǒng)超點陣復(fù)雜斑圖有重要的借鑒作用.

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