耗散型隨機(jī)非線性薛定諤方程的隨機(jī)共形多辛方法

苗利軍，陳紅宇

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 遼寧 大連 116029)

對(duì)于隨機(jī)偏微分方程，解析解的推導(dǎo)是十分困難.因此，數(shù)值方法成為研究方程解析解的有力工具.為了保證數(shù)值解長(zhǎng)期模擬的可靠性和有效性，數(shù)值方法應(yīng)盡可能地保持原始系統(tǒng)的固有性質(zhì).耗散型隨機(jī)非線性薛定諤方程[1]是一類特殊的隨機(jī)偏微分方程,具有隨機(jī)共形多辛幾何結(jié)構(gòu)，在非線性光學(xué)和等離子體物理等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用.近幾年，構(gòu)造數(shù)值格式保持耗散型隨機(jī)非線性薛定諤方程的幾何結(jié)構(gòu)越來(lái)越受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注，例如:Hong等人[1]研究了耗散型隨機(jī)非線性薛定諤方程的隨機(jī)共形多辛方法，文獻(xiàn)[2]提出了乘性噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)非線性薛定諤方程的隨機(jī)共形多辛守恒律，并構(gòu)造數(shù)值格式保持該系統(tǒng)的隨機(jī)共形多辛幾何結(jié)構(gòu).受以上文章的啟發(fā)，本論文將構(gòu)造數(shù)值格式來(lái)保持加性噪聲驅(qū)動(dòng)的耗散型隨機(jī)非線性薛定諤方程的隨機(jī)共形多辛幾何結(jié)構(gòu).

1 耗散型隨機(jī)非線性薛定諤方程

考慮以下加性噪聲驅(qū)動(dòng)的耗散型隨機(jī)非線性薛定諤方程[3]:

(1)

其中，λ=±1，耗散系數(shù)a>0，ε為噪聲尺度，復(fù)值Wiener過(guò)程W(t)是定義在給定的賦σ-域流的概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的Q-Wiener 過(guò)程.

記v=px，w=qx，z=(p,q,v,w)T，上述方程可以轉(zhuǎn)化為如下形式

Mdtz+K?xzdt=-aMzdt+?S0(z)dt+?S1(z)°dW1+?S2(z)°dW2，

(2)

其中，

以及“°”表示方程在Stratonovich型隨機(jī)積分意義下成立.

定理1.1[1]方程(2)滿足隨機(jī)共形多辛守恒律

dtω(t,x)+?xκ(t,x)dt=-aω(t,x)dt，

(3)

即

注1如果a=0，ε≠0，隨機(jī)共形多辛守恒律(3)為隨機(jī)多辛守恒律[4]:

dtω(t,x)+?xκ(t,x)dt=0.

注2如果ε=0,a≠0，隨機(jī)共形多辛守恒律(3)為共形多辛守恒律[5-6]:

dtω(t,x)+?xκ(t,x)dt=-aω(t,x)dt.

注3對(duì)于方程(1)，當(dāng)a=0,ε=0時(shí)，確定的非線性薛定諤方程滿足多辛守恒律[7]:

命題1.1對(duì)任意a>0，下面的等式成立：

dt(eatω(t,x))+?x(eatκ(t,x))dt=0.

證式(3)兩邊同時(shí)乘以eat有

eatdtω(t,x)+eat?xκ(t,x)dt=-aeatω(t,x)dt，

則

[eatdtω(t,x)+aeatω(t,x)dt]+eat?xκ(t,x)dt=0，

從而

dt(eatω(t,x))+?x(eatκ(t,x))dt=0.

2 隨機(jī)共形Euler box格式

引入微分算子

基于文獻(xiàn)[6]，構(gòu)造耗散型隨機(jī)非線性薛定諤方程(1)的隨機(jī)共形Euler box格式:

(4)

其中,

定理2.1隨機(jī)共形Euler box格式(4)具有離散的隨機(jī)共形多辛守恒律:

(5)

證將式(4)變形為

(6)

而上面等式左邊的前兩項(xiàng)

左邊的后兩項(xiàng)

因此，

(7)

故

命題2.2對(duì)任意a>0，下面的等式成立：

證式(7)的兩端同乘eatn，得到

則

因此