大學物理中振動和波動方程求解的重難點分析

王 維，劉向民，唐翰昭

(石家莊鐵道大學 數(shù)理系，河北 石家莊 050043)

一般而言，可通過解析法和旋轉矢量法這兩種方法求解初相位.解析法是學生在中學階段就較為熟悉的方法，即通過初位置(x0=Acosφ0)和初速度(v0=-Aωsinφ0)2個方程聯(lián)立求解，得到tanφ0=-v0/ωx0，由此在區(qū)間(0, 2p)或(-π, π)內可得到2個解.然而一個確定的簡諧振動只可能有一個初相位.這時關于兩個解的取舍問題，同學們容易判斷錯誤.還需把兩個解帶入sinφ0=-v0/wA加以驗證，從而確定正確且唯一的解.因此，雖然可以利用解析法來求解初相位，但是計算時容易出錯.教學中鼓勵學生使用旋轉矢量法來求初相位，其本質是將簡諧振動看作是勻速圓周運動在水平方向的投影，從而避免雙值選擇的難題，該方法能夠直觀、形象地反映簡諧振動過程，極大地減小了計算量且簡單易懂.

在利用旋轉矢量法確定初相位時，需要知道振動速度的方向.對于已知簡諧振動曲線求振動方程和已知給定時刻的波形圖求波動方程這兩類典型問題，在實際教學過程中發(fā)現(xiàn)同學們不會根據已知圖像判斷振動的方向.這是由于學生沒有深刻地理解振動過程與波動過程的本質，對質點的位移、相位變化、振動方向和質元間的相位關系只是一知半解，從而不能順利而正確地判斷振動方向.在教學過程中還發(fā)現(xiàn)同學們經?；煜駝铀俣鹊呐袛喾绞?，學生們在高中時學習了各種各樣的根據波形圖來判斷振動方向的方法或者口訣，例如：帶動法、上下坡法、微平移法、刮風法、逆復描法[2]、能量分析法、等值線法[3]、倒三角法[4]、斜率法[5]、右手食指法[6]等，然而隨著時間的推移，學生們并不理解甚至記反了相應的方法或者口訣.因此，根據已知的振動曲線或者波形圖分別提出一種較為直觀且易懂的判斷質點或者質元振動方向的方法至關重要.本文試圖通過2個例題展示振動曲線和波形圖中振動速度方向的不同判斷方法，基于旋轉矢量法來求解簡諧振動方程和平面簡諧波波動方程，方便學生日后學習.

1 方法介紹

1.1 旋轉矢量法介紹

旋轉矢量法是將周期性的簡諧振動與勻速圓周運動聯(lián)合到一起，能夠簡單、有效地避免多值選擇的困難.如圖1所示，一固定長度為A的矢量OM繞O點(x軸的坐標原點)以角速度w逆時針勻速轉動，其矢端在Ox軸上的投影點將以O為平衡位置做簡諧振動.旋轉矢量的長度、角速度和初角位置與簡諧振動的3個特征量(振幅、角頻率和初相位)一一對應，如表1所示，用x表示矢量在x軸上的投影，則有：x=Acos(wt+φ0)，這正是簡諧振動的振動方程，可見任意時刻的相位wt+φ0確定了此時投影點作簡諧振動的運動狀態(tài)[7].在簡諧振動和波動研究中，準確理解旋轉矢量法的內涵，用該方法求解簡諧振動方程、振動時間、相位差、振動合成、波動方程和簡諧波的疊加等問題，相較于需要大量計算的解析法可提高準確度和求解速度[8].

表1 旋轉矢量與簡諧振動對應關系表

值得注意的是，要求得初相位需要明確簡諧振動的初位置在圓周上的對應位置，這需要同時確定其位移的大小及初速度的方向.由圖1可知，矢量的矢端速度和加速度在x軸上的投影對應于簡諧振動的速度和加速度.因為矢量做逆時針圓周運動，所以圖1中圓上某點繞逆時針的切線方向為該點的速度方向，從圖 1可以看到，上半圓圓周上各點對應的速度為負，下半圓圓周上各點對應的速度為正[9-10].由此可見，正確判斷振動速度的方向，是得到簡諧振動相位的關鍵.

圖1 簡諧振動的旋轉矢量圖

1.2 振動方向判斷法

無論是求振動方程還是波動方程，都需要使用旋轉矢量法來確定初相位，需要同時確定初位置的位移大小及速度方向.一般來說，位移大小可以直接從圖上讀出來，速度的方向如何判定影響著初相位的判斷.已知簡諧振動曲線，可以采用斜率法，任一點速度的正負取決于此處切線斜率的正負.已知給定時刻的波形圖，可以采用平移法，首先需要看是否是t=0時刻的波形圖，如果不是，需要進行平移得到t=0時刻的波形圖，再沿波的傳播方向將波形(t=0)平移一個微小的距離Δx.若質元的位置在上面，則質元此刻振動方向朝上；若質元的位置在下面，則質元此刻振動方向朝下.由此可見，對于振動曲線和波形圖，判斷振動速度方向的方式完全不同，這也是同學們掌握的薄弱環(huán)節(jié).

2 求解方程的基本步驟

2.1 簡諧振動方程

(1)根據題中文字描述或者圖像得到振幅A，或者周期T，根據T=2π/w得到圓頻率w;

(2)根據x點(t=0)的位移在旋轉矢量圖中做垂直于x軸的虛線，與圓周相交于一個或兩個交點；

造模第12周時，光鏡下，A組大鼠肝組織結構呈均質狀，肝小葉、門管區(qū)等結構清晰;D組大鼠肝臟切片見肝小葉結構破壞，代之以許多大小不等的肝細胞團，由致密的纖維組織包繞，分割成大小不等的島嶼狀，形成假小葉，假小葉中央部位的肝細胞出現(xiàn)萎縮、壞死;肝細胞索排列紊亂，肝細胞腫脹，核染色較深;可見淋巴細胞及少數(shù)中性粒細胞等炎性細胞浸潤;B組經復方鱉甲軟肝片治療后，上述癥狀均逐漸好轉，治療6周后B組趨于正常。C組大鼠肝組織結構接近于A組。見圖1。

(3)判斷x點的振動速度方向，并確定唯一正確的交點，得到x點對應的正確位置，畫出旋轉矢量，得到其初相位φ0;

(4)如果w和T未知，也可以根據旋轉矢量圖和wΔt=Δφ或者φ=wt+φ0求得w；

(5)得到簡諧振動方程.

2.2 平面簡諧波波動方程

機械振動在介質中的傳播稱為機械波，如果波源以及介質中各質點的振動都是簡諧振動，這樣的波叫做簡諧波.在波的傳播過程中，描述介質中各質點的振動位移隨時間變化的方程稱為波動方程，其表達式為

y(x)=Acos[w(t?x/u)+φ0]，

其中,波動沿x軸正方向傳播取負號，沿x軸負方向傳播取正號[11-12].

求解波動方程的基本步驟如下：①判斷簡諧波的傳播方向;②基于旋轉矢量法求解坐標原點處質元的振動方程;③根據λ=uT，T=2π/w得到波速u或者λ;④得到波動方程.

3 實例講解

下面借助2個例題來闡述如何確定振動方向以及如何求解振動方程和波動方程.

3.1 已知簡諧振動曲線判斷振動方向，并求解振動方程

題目：一簡諧振動的振動曲線如圖2所示，求振動方程[13].

圖2 簡諧振動曲線

思考過程：由于t=0時，x=-5處切線斜率為負，可知其振動方向沿著x軸負方向.由t=2時，x=0處切線斜率為正，可知其振動方向沿著x軸正方向.

求解過程：設振動方程為x=Acos(ωt+φ0)，由圖可知A=10 cm，

由t=0時，x=-5，且振動方向沿著x軸負方向，作旋轉矢量圖(圖3)，可得初相位φ0=2π/3；

由t=2時，x=0，且振動方向沿著x軸正方向，作旋轉矢量圖(圖3)，可得t=0到t=2秒間隔內的相位差Δφ=ωΔt=5π/6，可得ω=5π/12；

圖3 不同時刻的旋轉矢量圖

3.2 已知給定時刻的波形圖判斷振動方向，并求解波動方程

題目：如圖4所示一平面余弦波在t=0時刻與t=2s(小于周期T)時刻的波形圖，求該波的波動方程[13].

圖4 不同時刻的波形圖

求解過程：根據t=0時的波形圖及波的傳播方向可知，t=0 時，原點在平衡位置，且振動方向朝著正方向，作原點的旋轉矢量圖(圖5)，可得初位相φ0=-π/2；

圖5 原點在不同時刻的旋轉矢量圖

由φ=ωt+φ0，Δφ=φ-φ0=ωt可得：ω·2=π/4，ω=π/8;

由題中圖4知λ=160 m，波動方程為

4 結 論

綜上所述，簡諧振動是“振動和波動”教學中的重點與基礎，基于旋轉矢量法求解振動方程更是本章教學的重點.本文通過將旋轉矢量與簡諧振動的對應關系繪制成表格，令學生更易理解.簡諧運動過程借助于旋轉矢量法的形象化描述，可將各物理量的關系更清楚、具體、直觀地呈現(xiàn)出來，將繁瑣的數(shù)學運算轉換為簡單的幾何運算，使有關問題的求解變得特別簡單、方便，具有化難為易、事半功倍的優(yōu)點.教學中，要令學生加強旋轉矢量法的做題訓練，從而學生求解簡諧運動問題就變得相對簡單，對簡諧運動規(guī)律也可以得到更好地掌握，實現(xiàn)良好的教學效果.

在利用旋轉矢量法求初相位時需要同時確定其位移的大小及初速度的方向.從學生的學習情況分析，根據振動曲線或波形圖判斷振動方向，學生們掌握的并不好，而振動方向的判斷決定了相位的選取.結合振動和波動教學中多采用多媒體進行動畫演示，列舉的振動方向判斷方法具有形象、直觀、易懂、易記的優(yōu)點.本文介紹了求解振動方程和波動方程的基本步驟，并且結合例題對旋轉矢量法和振動方向的判斷進行了實例應用，希望能為大學物理教學提供參考.