行進(jìn)四理，沉淀可見(jiàn)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

文 陳 靜 方學(xué)法

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指向?qū)W生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，筆者通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生帶著問(wèn)題意識(shí)思考聯(lián)系、實(shí)踐探析、明曉道理、融通算理，于“思——探——明——融”的思維行進(jìn)中落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

一、思理：在關(guān)聯(lián)中感悟，促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象

1.情境體悟中明晰數(shù)學(xué)源起。

創(chuàng)設(shè)與學(xué)生生活場(chǎng)景相符的數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界并抽象出數(shù)學(xué)思考，以及帶著數(shù)學(xué)思考走入數(shù)學(xué)探究，通過(guò)情境體悟數(shù)學(xué)是生活常識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)連接轉(zhuǎn)化的路徑。

《小數(shù)的意義》課堂開(kāi)始，教師就將學(xué)生的視野引出課堂、引入生活，在關(guān)注學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)中打開(kāi)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中數(shù)學(xué)知識(shí)的眼界，引導(dǎo)他們主動(dòng)提取知識(shí)儲(chǔ)備中與小數(shù)知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的情境。

師：生活中，你在哪些地方見(jiàn)過(guò)小數(shù)的身影？

生1：我和媽媽去買(mǎi)菜,看到菜場(chǎng)里大白菜一斤1.5 元。

生2：水果店蘋(píng)果一斤3.9 元。

生3：玩具店小汽車(chē)一個(gè)19.9 元。

生4：超市里可樂(lè)一瓶5.50 元。

生5：我數(shù)學(xué)考試得了87.5 分，體溫是36.5 攝氏度，身高是1.56 米。

師：這些生活里的小數(shù)都是如何利用數(shù)學(xué)規(guī)定得到的呢？咱們一起走入“小數(shù)意義”的研究。

在對(duì)小數(shù)意義的探索中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活中的小數(shù)其各相鄰數(shù)位之間的進(jìn)率在整數(shù)、小數(shù)之間有渾然一體的統(tǒng)一：相鄰計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率都是10。進(jìn)率和數(shù)位的解讀為學(xué)生后續(xù)“由現(xiàn)實(shí)生活中抽取出小數(shù)加減法的算理”做了意識(shí)方面的鋪墊。學(xué)生在浸入情境、抽取數(shù)學(xué)、思考數(shù)理的過(guò)程中，體悟到了數(shù)學(xué)的抽象性———“數(shù)學(xué)就是生活的再現(xiàn)”“生活的提取與提煉最終抽象出了數(shù)學(xué)”，培養(yǎng)了學(xué)生從現(xiàn)實(shí)世界中抽取數(shù)學(xué)信息以及從學(xué)科的角度觀察現(xiàn)實(shí)世界、明晰學(xué)科特征的能力。

2.方法優(yōu)化中生發(fā)數(shù)學(xué)意識(shí)。

擇選最優(yōu)化算法的能力是學(xué)生應(yīng)用意識(shí)乃至創(chuàng)新意識(shí)在學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)，是指學(xué)生在自主探究、傾聽(tīng)思考、互動(dòng)分享中從多樣化的策略里選擇最佳方法的能力。

蘇教版一年級(jí)下冊(cè)《整十?dāng)?shù)加減法》的教學(xué)中，當(dāng)教師追問(wèn)40+30 等于多少時(shí)，學(xué)生根據(jù)在100 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)中積累的原初思維“4 個(gè)十加3 個(gè)十得7 個(gè)十”，算得結(jié)果是70?；诖?教師引導(dǎo)追問(wèn)：7 個(gè)十的7 就是幾與幾合起來(lái)的結(jié)果？3、4、7 分別代表什么意思？學(xué)生在教師的追問(wèn)和自己的討論中，思維水平由呈現(xiàn)4 捆小棒、3 捆小棒到4 份、3份再到抽象出數(shù)字4、3，這一過(guò)程是學(xué)生思維由感性具體到感性一般再到數(shù)學(xué)簡(jiǎn)約的進(jìn)階，學(xué)生由4+3=7 思考40+30=70，是其數(shù)學(xué)思維方法的優(yōu)選、數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)。

二、探理：在思辨中遷移，促進(jìn)數(shù)學(xué)推理

1.溝通比較中厘清知識(shí)本質(zhì)。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用為主線，數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的學(xué)生不易察覺(jué)的數(shù)學(xué)思想，需要教師從數(shù)學(xué)發(fā)展的全局著眼，從具體的教學(xué)過(guò)程著手，引領(lǐng)學(xué)生溝通比較、探索新舊知識(shí)聯(lián)系，厘清知識(shí)本質(zhì)。

蘇教版六年級(jí)上冊(cè)《探究規(guī)律——數(shù)形結(jié)合的策略》的教學(xué)，是在學(xué)生學(xué)習(xí)《分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算》單元后的一堂綜合實(shí)踐課，對(duì)其知識(shí)本質(zhì)聯(lián)系，教師是如下呈現(xiàn)推進(jìn)的：

舊知喚醒：

一個(gè)長(zhǎng)6 厘米、寬4 厘米的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)擴(kuò)大2 倍，寬擴(kuò)大2 倍，現(xiàn)在的面積是原來(lái)的（ ）。

一個(gè)長(zhǎng)6 厘米、寬4 厘米的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)擴(kuò)大2 倍，寬擴(kuò)大3 倍，現(xiàn)在的面積是原來(lái)的（ ）。

遷移探索：

學(xué)生通過(guò)遷移“整數(shù)倍變化”自主探究“分?jǐn)?shù)倍變化”，在變中找不變（探究方法不變），不變中找變（倍數(shù)不變圖形有變），學(xué)生在關(guān)乎知識(shí)本質(zhì)的探索中意識(shí)到了數(shù)學(xué)規(guī)律的普適性，培養(yǎng)了他們運(yùn)用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的能力和在練習(xí)中學(xué)會(huì)反思推理的能力。

2.鼓勵(lì)質(zhì)疑中培養(yǎng)批判思維。

小學(xué)生年齡的特點(diǎn)決定了他們有較強(qiáng)的向師性，一般信服老師的話語(yǔ)，較少批判質(zhì)疑，有的老師也愿意采取自己說(shuō)方法、自己說(shuō)結(jié)果的方式教學(xué)，學(xué)生的“自己發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題”“ 獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考”的能力薄弱，更無(wú)法通過(guò)推算梳理來(lái)解決自己遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

蘇教版《和與積的奇偶性》一課中，當(dāng)學(xué)生通過(guò)有序列舉發(fā)現(xiàn)和的奇偶性與加數(shù)的奇偶性有關(guān)——加數(shù)中有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)時(shí)，和是奇數(shù)；加數(shù)中有偶數(shù)個(gè)奇數(shù)時(shí)，和是偶數(shù)。有學(xué)生進(jìn)一步解讀道：我知道為什么加數(shù)中有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)，和是奇數(shù)。因?yàn)槊總€(gè)奇數(shù)都可以分成偶數(shù)加1 的形式，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)帶來(lái)偶數(shù)個(gè)1，每?jī)蓚€(gè)1 都可以組合成偶數(shù)，余下一個(gè)奇數(shù)帶來(lái)的1落單了，所以奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加和是奇數(shù)。大多數(shù)學(xué)生表示理解并贊同該同學(xué)的解讀，但另一同學(xué)舉手質(zhì)疑道：老師，我想知道這個(gè)落單的1 是哪個(gè)奇數(shù)里的1？教師沒(méi)有急于回答，而是將這個(gè)問(wèn)題拋給了所有同學(xué)，有同學(xué)說(shuō)是最后一個(gè)奇數(shù)里的，有同學(xué)說(shuō)是第1個(gè)奇數(shù)里的，有同學(xué)說(shuō)是中間奇數(shù)里的。教師追問(wèn)：最終影響和成為奇數(shù)的那個(gè)1，跟在哪個(gè)奇數(shù)加數(shù)中有關(guān)嗎？

在“理越辯越明”中學(xué)生撥開(kāi)了思維混亂的迷霧，開(kāi)拓了思路，提高了批判思維和推理能力。

三、明理：在深挖中理解，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模

1.分層學(xué)習(xí)中查明結(jié)構(gòu)聚合。

數(shù)學(xué)課程要面向全體，使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。教學(xué)時(shí)應(yīng)給每個(gè)學(xué)生創(chuàng)造“跳一跳摘到桃子”的機(jī)會(huì)，并在各自任務(wù)分享中獲得思維的提升與進(jìn)階。

蘇教版《平面圖形的面積整理與復(fù)習(xí)》中，“你們都認(rèn)識(shí)哪些平面圖形？”“能一邊介紹特征一邊在白板上畫(huà)出來(lái)嗎？”“誰(shuí)愿意來(lái)回憶、整理一下這些平面圖形的面積？”“這6 類平面圖形的面積推導(dǎo)過(guò)程，存在著怎樣的聯(lián)系呢？”不同的學(xué)生在問(wèn)題追問(wèn)深入的路上，經(jīng)歷不同的層級(jí)任務(wù)，最終完成散點(diǎn)思維至整體思維的架構(gòu)，經(jīng)過(guò)層層深入復(fù)習(xí)，學(xué)生平面圖形的知識(shí)結(jié)構(gòu)由特征擴(kuò)展至計(jì)量，面積計(jì)算由簡(jiǎn)單延伸至復(fù)雜——準(zhǔn)確把握特征才能準(zhǔn)確切入完成計(jì)量；長(zhǎng)方形面積計(jì)算是學(xué)習(xí)其他圖形面積計(jì)算的基礎(chǔ)。反過(guò)來(lái)，每一種新的圖形面積計(jì)算都是建立在原有圖形基礎(chǔ)上的。

2.習(xí)題組塊中找準(zhǔn)問(wèn)題模型。

數(shù)學(xué)教學(xué)多是以建構(gòu)主義理論為依托，注重對(duì)學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)的挖掘，“習(xí)題組塊”能為學(xué)生搭建自主探究的階梯，在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分析、抽取、建模、驗(yàn)證概括的基礎(chǔ)上培養(yǎng)其模型意識(shí)和數(shù)據(jù)意識(shí)，并借此提升其核心素養(yǎng)。

蘇教版《分?jǐn)?shù)的意義》一課，教師在引領(lǐng)學(xué)生理解意義、刻畫(huà)生活、體會(huì)價(jià)值、感受聯(lián)系的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)分層習(xí)題，學(xué)生在異中求同、同中求異、質(zhì)疑問(wèn)難中積極思考、主動(dòng)探索，在辨析交流中體會(huì)和理解了分?jǐn)?shù)與外部世界的聯(lián)系，聚焦分?jǐn)?shù)意義概念的本質(zhì)（如圖1）。

圖1 分?jǐn)?shù)的意義

學(xué)生在習(xí)題組的思維辨析中，理解感悟、探究異同，經(jīng)歷從具象事物中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、提取具體信息中的數(shù)學(xué)符號(hào)、解讀數(shù)學(xué)符號(hào)代表的數(shù)學(xué)信息、將數(shù)學(xué)信息的內(nèi)涵推衍至同類別問(wèn)題這一過(guò)程。學(xué)生在這一過(guò)程中，發(fā)展了數(shù)學(xué)思考能力和問(wèn)題解決能力,并建立了關(guān)于分?jǐn)?shù)特征的知識(shí)模型，積累了基本的數(shù)學(xué)思想和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

四、融理：在體系中豐盈，促進(jìn)數(shù)學(xué)應(yīng)用

1.思維導(dǎo)圖中融合知識(shí)框架。

學(xué)生形成性知識(shí)框架的文圖呈現(xiàn)，是教師教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的總結(jié)提煉。課堂上，師生互動(dòng)、小組分享、個(gè)體質(zhì)疑、群體釋疑……都涌動(dòng)著知識(shí)的痕跡，學(xué)生課后將“痕跡”及由痕跡帶來(lái)的思考用思維導(dǎo)圖的方式梳理出來(lái)，無(wú)形的痕跡經(jīng)由筆端有形地呈現(xiàn)出來(lái)，具化了學(xué)生的知識(shí)框架，動(dòng)手繪制的過(guò)程就是把握知識(shí)點(diǎn)實(shí)質(zhì)和知識(shí)點(diǎn)間關(guān)聯(lián)的過(guò)程。

如復(fù)習(xí)同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，學(xué)生繪制了下圖（如圖2）：

圖2 同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系

思維導(dǎo)圖的使用有利于培養(yǎng)學(xué)生有序思維、反思重建、融通知識(shí)的能力，學(xué)生將所學(xué)、所思、所悟融入框架體系，在思維輸出中構(gòu)建了知識(shí)體系。

2.開(kāi)放腦域中激發(fā)創(chuàng)新思維。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中研究的絕大多數(shù)生活題都是指向唯一思考策略與答案的，但實(shí)際生活情境中會(huì)遇到“綜合考量”“聯(lián)系實(shí)際”的情況，這就要求教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“講數(shù)學(xué)話”而“思生活事”，將數(shù)學(xué)與生活相融合，以進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的問(wèn)題解決能力。

在蘇教版六年級(jí)總復(fù)習(xí)時(shí)，出現(xiàn)過(guò)這樣一道題：在一條2700 米公路的兩頭，有兩個(gè)新建小區(qū)，分別入住360 戶和720 戶居民，要在它們之間的某個(gè)位置新建一個(gè)超市，你認(rèn)為建在哪里比較合適？有的學(xué)生認(rèn)為該修在2700÷2=1350（米）處，因?yàn)殡m然存在戶數(shù)多少之別，但戶數(shù)少的小區(qū)可能是多層，房?jī)r(jià)高，居民消費(fèi)能力也較高，超市建在兩個(gè)小區(qū)的正中位置，不會(huì)影響超市的銷(xiāo)售額；有的學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該根據(jù)入住居民戶數(shù)比的反比確定超市位置，戶數(shù)多的小區(qū)會(huì)帶來(lái)超市更高的銷(xiāo)售額，所以要將超市建得距離該小區(qū)更近一些；有的學(xué)生則覺(jué)得不能簡(jiǎn)單地只通過(guò)“數(shù)學(xué)信息”和“可能猜測(cè)”來(lái)完成新建超市的選址，建議通過(guò)設(shè)置一份囊括“家庭人數(shù)、人員分類、家庭年收入、采購(gòu)喜好”等類別的問(wèn)卷，通過(guò)詳細(xì)分析問(wèn)卷，得出兩個(gè)小區(qū)購(gòu)買(mǎi)能力的強(qiáng)弱對(duì)比，再確定新建超市的選址……

學(xué)生最終的答案并不唯一，不同的學(xué)生呈現(xiàn)出不同的思考策略，不同的思考策略指向不同的結(jié)果呈現(xiàn)，學(xué)生“數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”越強(qiáng)，其“生活化”的思維能力就越強(qiáng)，考量問(wèn)題就越全面。教師在肯定中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷思考的過(guò)程、感受問(wèn)題解決的方法、理解優(yōu)化問(wèn)題方案的必要，潛移默化中培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

數(shù)學(xué)是智慧的學(xué)科，我們只有帶領(lǐng)學(xué)生不斷地多角度思考、多方式拓展，且思且探，陪伴學(xué)生在“是什么”中思理，在“為什么”中探理，在“在哪里”中明理，在“怎么做”中融理，才能使學(xué)生明晰知識(shí)脈絡(luò)，讓學(xué)生在生活中學(xué)會(huì)用“數(shù)學(xué)的眼光”“數(shù)學(xué)的思維”“數(shù)學(xué)的語(yǔ)言”分析問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)。