巧用“一線三等角”模型 突破幾何壓軸難題

?無錫市華莊中學(xué) 劉 敏

1 引出問題

2022年安徽中考試題中有這樣一道試題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點M，N，過點F作AD的垂線交AD的延長線于點G．連接DF，則∠FDG=______°．

圖1

根據(jù)題意可以發(fā)現(xiàn)，在直線AD上，存在三個直角，∠A=∠BEF=∠G(或者∠A=∠BEF=∠EDM)，出現(xiàn)這種情況，我們往往稱之為“一線三直角”的數(shù)學(xué)模型，從而利用兩個三角形全等或者相似即可.此題可根據(jù)“AAS”證△ABE≌△GEF，得出EG=AB，GF=AE，進而推出DG=GF.即可得出∠FDG的度數(shù).

若將“一線三直角”模型中的直角改為其他角度，這樣就形成了“一線三等角”的數(shù)學(xué)模型，在解答相關(guān)問題的過程中，很容易考慮到全等三角形或者相似三角形的判定.熟練把握“一線三等角”的相關(guān)特點，感悟其在全等或者相似三角形判定中的重要作用，便于引導(dǎo)學(xué)生在解答過程中快速掌握利用基本圖形來描述或者分析、解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力.

2 “一線三等角”在全等形問題中的應(yīng)用

例1閱讀下面的相關(guān)材料，并回答問題.

模型學(xué)習(xí)：如圖2，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥AC于點C，DE⊥AC于點E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D；又∠ACB=∠AED=90°，可以通過推理得到△ABC≌△DAE，進而得到AC=______，BC=______．我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“一線三等角”模型．

圖2

圖3

模型應(yīng)用：如圖3，△ABC為等邊三角形，BD=CF，∠EDF=60°，求證BE=CD.

在“模型學(xué)習(xí)”中根據(jù)這種模型的特點，可以直接判斷，由“AAS”可證△ABC≌△DAE，可得AC=DE，BC=AE；對于“模型應(yīng)用”，根據(jù)條件可以發(fā)現(xiàn)∠B=∠C=∠EDF=60°，符合“一線三等角”的特征，故由“AAS”可證△BDE≌△CFD，從而可證明得到BE=CD.

3 “一線三等角”在相似形問題中的應(yīng)用

例2如圖4，D為△ABC的內(nèi)心，點E在AC上，且AD⊥DE，若DE=2，AD=CE=3，試求AB的長．

圖4

圖5

通過審題發(fā)現(xiàn)，題干中有內(nèi)心，還有垂直，問題的目標(biāo)AB與條件AD，CE分屬三條直線.因此可以考慮延長DE看是否可以構(gòu)建“一線三等角”.于是延長ED交AB于點F，連接BD，如圖5，將線段AB分為AF和BF兩部分，分別計算.顯然，根據(jù)條件很容易證明△ADE≌△ADF，利用勾股定理求得AE的長度，即為AF的長度.再根據(jù)△ADE≌△ADF，可以得到∠AFD=∠AED，故有∠BFD=∠CED.利用三角形內(nèi)角和可推理計算得到∠ABD=∠CBD=∠CDE，從而可得到△BFD∽△DEC，再利用相似，列比例式求得BF.BF與AF相加即可求得AB．

4 “一線三等角”在一次函數(shù)中的應(yīng)用

圖6

圖7

5 “一線三等角”在反比例函數(shù)中的應(yīng)用

圖8

圖9

6 “一線三等角”在二次函數(shù)中的應(yīng)用

圖10

圖11

再如：如圖12所示，拋物線y=ax2+bx+4過A(2，0),B(4，0)兩點，交y軸于點C，過點C作x軸的平行線與拋物線的另一個交點為D，連接AC,BC．點P是該拋物線上一動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m(m>4)．若∠ACP=45°，求m的值.

圖12

圖13

對于此題，我們也是很難快速確定點P的位置，為此可以利用“一線三等角”模型，過點A作AC的垂線AE，并使得AE=AC，如圖13,易得點E的坐標(biāo).連接FC,交拋物線于點P，將直線EC的解析式代入拋物線求得交點坐標(biāo)，即可求得除點C外的另一交點P，思路清晰，方法簡單，問題迎刃而解.

7 “一線三等角”在圖形變換中的應(yīng)用

圖14

例6等邊△ABC邊長為6，P為BC邊上一點，∠MPN=60°，且PM，PN分別于邊AB，AC交于點E，F(xiàn)．如圖14所示，若點P在BC邊上運動，且∠MPN繞點P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CF=AE=2時，求PE的長．

根據(jù)題意，△ABC是等邊三角形，∠MPN=60°，可知∠B=∠C=∠MPN，符合“一線三等角”模型.因此可以考慮使用該模型下的解題基本思路.通過證明△BPE∽△CFP，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等，再設(shè)BP=x，則CP=6-x，即可求得BP的長，進而求得PE的長．

8 “一線三等角”在動態(tài)問題中的應(yīng)用

圖15

圖16

通過上述問題的研究，可以感受“一線三等角”模型在各個知識背景下的應(yīng)用.借助構(gòu)造一線三等角模型解題的基本手段，從復(fù)雜的圖形中分離出基本圖形，具有將問題化繁為簡的效果，同時可以幫助我們在解題中快速找到解決問題的突破口.當(dāng)然，希望“一線三等角”模型能起到拋磚引玉的作用，更希望學(xué)生能形成比較完善的知識儲備，從而提高基本圖形的敏銳觀察力，以及不斷提升幾何直觀能力和問題建模思想.Z