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    透視同構式中構造函數(shù)解題的八大類型

    2022-12-27 08:00:46安徽省太湖中學李昭平郵編246400
    中學數(shù)學教學 2022年6期
    關鍵詞:型函數(shù)同構等價

    安徽省太湖中學 李昭平 (郵編:246400 )

    例1(2020年江西南昌???已知0

    A.a(chǎn)>c>bB.a(chǎn)>b>c

    C.c>a>bD.c>b>a

    因為0

    于是a>b>c,故選B.

    例2(2022年皖江聯(lián)盟模考)設曲線y=xn+1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸交點的橫坐標為xn.

    (1)令an=lgxn,求數(shù)列{an}的前n項和Sn;

    (2)令bn=(n+3)xn+2,n∈N*.證明:bn+1·lnbn>bn·lnbn+1.

    解析(1)易得Sn=-lg(n+1),過程略去.

    (2)由(1)得,bn=(n+3)xn+2=n+2.

    因此bn+1·lnbn>bn·lnbn+1就是(n+3)·ln(n+2)>(n+2)·ln(n+3),

    (1)當a=2時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

    (2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點,求a的取值范圍.

    2 構造xlnx型或xex型函數(shù)

    例4(2021年河南商丘???設實數(shù)λ>0,若對任意x≥e,不等式xlnx≥λeλ恒成立,則λ的取值范圍是__________.

    法1不等式xlnx≥λeλ就是x·lnx≥eλ·lneλ,兩邊是同構式.

    構造函數(shù)f(x)=xlnx,則x·lnx≥eλ·lneλ.就是f(x)≥f(eλ).

    法2不等式xlnx≥λeλ就是lnx·elnx≥λ·eλ,兩邊是同構式.

    構造函數(shù)f(x)=xex,則lnx·elnx≥λ·eλ就是f(lnx)≥f(λ).

    因為f′(x)=(x+1)ex,在[-1,+∞)上f(x)單增.而x≥e,λ>0,lnx,λ∈[-1,+∞),因此由f(lnx)≥f(λ)得,lnx≥λ,λ≤1.故實數(shù)λ的取值范圍是(0,1].

    點評法1是將已知的不等式xlnx≥λeλ等價變形為x·lnx≥eλ·lneλ.,則立即構造xlnx型函數(shù);法2則是將已知的不等式xlnx≥λeλ等價變形為lnx·elnx≥λ·eλ,則立即構造xex型函數(shù).法1、法2殊途同歸.

    3 構造ex±x型函數(shù)

    例5(2022年A10聯(lián)盟高二期中考)若對任意x∈(1,+∞),不等式ex-xa≥x-alnx恒成立,則正數(shù)a的最大值為( )

    點評將已知的不等式ex-xa≥x-alnx等價變形為ex-x≥elnxa-lnxa,則立即構造ex-x型函數(shù).

    例6(2020年新全國1卷山東)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

    (1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

    (2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

    (2)f(x)=aex-1-lnx+lna=elna+x-1-lnx+lna≥1等價于

    elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx,兩邊是同構式.

    令g(x)=ex+x,則上述不等式等價于g(lna+x-1)≥g(lnx).顯然g(x)為R上的單增函數(shù).所以g(lna+x-1)≥g(lnx)又等價于lna+x-1≥lnx,即lna≥lnx-x+1.

    (1,+∞)內(nèi)h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,因此h(x)max=h(1)=0,lna≥0,即a≥1.

    故a的取值范圍是[1,+∞).

    點評將已知不等式aex-1-lnx+lna≥1等價變形為elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx,則立即構造ex+x型函數(shù).

    例7(2022年山東煙臺模考)已知 e 是自然對數(shù)的底數(shù),則下列不等關系中正確的是( )

    5 構造x(ex+1)型函數(shù)

    即ax(eax+1)≥(elnx2+1)lnx2,兩邊是同構式.構造函數(shù)f(x)=x(ex+1),x≥0,則ax(eax+1)≥(elnx2+1)lnx2就是f(ax)≥f(lnx2).

    因為f′(x)=(ex+1)+xex=(1+x)ex+1>0,所以f(x)在[0,+∞)上單增.

    則立即構造x(ex+1)型函數(shù).

    6 構造ax+logax型函數(shù)

    例9(2020年高考全國1卷)若2a+log2a=4b+2log4b,則( )

    A.a>2bB.a<2b

    C.a>b2D.a

    解析2a+log2a=4b+2log4b就是2a+log2a=22b+log2b,即2a+log2a=22b+log2(2b)-1,兩邊有同構式.令f(x)=2x+log2x,則f(x)在(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù).2a+log2a=22b+log2(2b)-1就是f(a)=f(2b)-1,所以f(a)

    故選B.

    點評將等式2a+log2a=4b+2log4b等價變形為2a+log2a=22b+log2(2b)-1,則立即構造ax+logax型函數(shù)處理,簡單快捷.

    7 構造f(x)+mx型函數(shù)

    例10(2019年甘肅天水???已知函數(shù)f(x)=2cosx-x2.若對任意的x1,x2∈(0,π),都有|f(x1)-f(x2)|≤m|x1-x2|成立,則實數(shù)m的取值范圍是__________.

    解析因為f(x)=2cosx-x2,所以f′(x)=-2sinx-2x<0,因此f(x)在(0,π)內(nèi)單減.不妨設0

    于是已知的不等式|f(x1)-f(x2)|≤m|x1-x2|等價于f(x1)-f(x2)≤mx2-mx1,即f(x1)+mx1≤f(x2)+mx2,兩邊是同構式.

    令g(x)=f(x)+mx,00,h(x)在(0,π)內(nèi)單增,因此h(x)

    點評先必須去掉已知不等式|f(x1)-f(x2)|≤m|x1-x2|中的絕對值,要研究f(x)的單調(diào)性才行.去掉絕對值后成為f(x1)+mx1≤f(x2)+mx2,兩邊是同構式,則立即構造f(x)+mx型函數(shù)處理.

    (1)討論f(x)的單調(diào)性;

    (2)當a=-1時,對任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2都有

    解析(1)易得,當a≥1時,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

    當a≤0時,f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.

    (2)當a=-1時,f(x)=-lnx-x2+1,不妨設0

    即g(x1)+mx1>g(x2)+mx2恒成立,兩邊是同構式.

    令(x)=g(x)+mx,則(x)在(0,+∞)內(nèi)恒為單調(diào)遞減函數(shù),

    8 構造f(x+t)-f(x)型函數(shù)

    例12(2022年高考北京卷)已知函數(shù)f(x)=exln(1+x).

    (1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

    (2)設g(x)=f′(x),討論函數(shù)g(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性;

    (3)證明:對任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).

    解析(1)易得切線方程是y=x.過程略.

    (2)函數(shù)g(x)在[0,+∞)上的單調(diào)遞增.過程略.

    (3)原不等式f(s+t)>f(s)+f(t)等價于f(s+t)-f(s)>f(t)-f(0),令m(x)=f(x+t)-f(x)(x,t>0),即證m(x)>m(0).

    又因為x,t>0,所以m(x)>m(0).故原不等式成立.

    點評將待證的不等式f(s+t)>f(s)+f(t)等價變形為f(s+t)-f(s)>f(t)-f(0),則立即構造f(x+t)-f(x)型函數(shù).

    以上通過部分??碱}和高考題,透視了構造函數(shù)解題的八大類型.由此可見,熟悉這八類函數(shù)的性質(單調(diào)性、對稱性、極值、最值、圖象、零點等)是前提. 解題的關鍵是,對已知的等式或不等式作等價變形,轉化為我們熟悉的函數(shù)模型,這往往不簡單.同時還要注意由函數(shù)關系得到自變量關系,是否在構造函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi).只有通過不斷的練習、思考和感悟,才能產(chǎn)生式感(對等式或不等式的感覺),朝著正確的函數(shù)模型方向轉化.

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