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    一道高考題失分原因分析與思考

    2022-12-27 08:01:44安徽省碭山中學郵編235300
    中學數(shù)學教學 2022年6期
    關鍵詞:材積根部林區(qū)

    安徽省碭山中學 辛 民 (郵編:235300)

    1 問題起因

    針對高考后師生議論的焦點,筆者邀請部分參加高考的學生、教師對2022年全國高考數(shù)學乙卷第19題進行座談,教師普遍認為題目來源現(xiàn)實世界,難度不大,但學生普遍感覺較難、失分較多.圍繞這一現(xiàn)象大家交流、探究、思考如下,旨在與同行交流.

    2 原題再現(xiàn)

    某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理,已將荒山改成了綠水青山,為了估計一林區(qū)某種樹木的總材積量,隨機選取了10可這種樹木,測量每顆樹的根部橫截面積(單位:m2)和材積量(單位m3),得到如下數(shù)據(jù):

    標本號i1234567890總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

    (1)估計該林區(qū)這種樹木平均一顆的根部橫截面積與平均一顆的材積量;

    (2)求該林區(qū)這種樹木根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)(精確的0.01);

    (3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積,并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為180m2,已知樹木的材積與其根部橫截面積近視成正比,利用上述數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.

    附:相關系數(shù)

    (2022年全國高考數(shù)學乙卷第19題)

    3 試題評述

    以社會生活中人們關注的環(huán)境治理為背景材料,依托“綠水青山就是金山銀山”的理念設計試題,情境中蘊含著潛在的線索和限制,需要學生綜合已有的所學知識和技能分析當前情境,明確任務,解決問題.從而全面考查學生應用統(tǒng)計的基本知識、基礎方法和基本技能進行創(chuàng)造性整合能力,有助于考查學生發(fā)現(xiàn)問題、辨析概念、建立關系的能力,同時對數(shù)據(jù)處理、數(shù)學運算及數(shù)學建模等核心素養(yǎng)也作了相應的考查.

    其中第(1)問,要求利用統(tǒng)計的方法估計兩個平均值;第(2)問,求相關系數(shù),要求學生具有較高的恒等變形及數(shù)據(jù)處理能力;第(3)問,計算總材積,要求學生利用所學的知識解決實際問題.

    4 試題解法

    解(1)

    所以該林區(qū)這種樹木平均一顆的根部橫截面積為0.06m2、平均一顆的材積量為0.39m3.

    (2)解法一由題設易得下表

    標本號i1234567890總和xi-x-0.020-0.020.020.02-0.01-0.010.010.010(xi-x)20.000400.00040.00040.00040.00010.00010.00010.000100.002yi-y-0.140.01-0.170.150.12-0.05-0.030.070.030.01y i-y)20.01960.00010.02890.02250.01440.00250.00090.00490.00090.00010.0948(xi-x)(yi-y)0.002800.00340.0030.00240.00050.00030.00070.000300.0134

    所以相關系數(shù)

    注:列表分析統(tǒng)計數(shù)據(jù),表述、說明問題是一種很好的方法,表達簡潔、清晰明了,容易檢驗結果.

    5 失分原因分析

    5.1 讀題、審題能力薄弱

    5.2 對于第(3)問理解不準確

    對于條件“已知樹木的材積與其根部橫截面積近視成正比”視而不見,不能正確分析當前的問題情境,機械地套用一元線性回歸模型公式y(tǒng)=a+bx求解,個別同學理解了上述假設也不相信高考試題會如此簡單,只需利用小學學習比例關系解題,暴露個別學生極不自信.

    5.3 基本運算能力薄弱

    直接機械代入公式,導致數(shù)據(jù)太多、運算量太大,亂中出錯誤百出,不能針對問題情境選擇合適的表述方式——列表;公式變形后代入數(shù)據(jù),對算術根理解不準確,導致結果不正確.

    5.4 統(tǒng)計學中基本概念理解不準確

    如第一問最后寫成:估計該林區(qū)這種樹木平均一顆的根部橫截面積為0.06m2、平均一顆的材積量0.39m3.

    出現(xiàn)上述現(xiàn)象的根本原因是,長期以來師生只注重零零碎碎知識得識記,不注重對數(shù)學學科中核心概念、定義、定理、性質公式、法則等內(nèi)涵外延的理解與辨析,自覺建構知識網(wǎng)絡,形成牢固的知識框架;平時教學中,師生對數(shù)學運算認識不到位、不重視,教師認為數(shù)學運算是學生自己的事,例題講解時不板書、不示范,學生課下不練習,不總結、不思考,運算能力提升無從談起;教學中,教師重視解題方法的展示,一題多解,一題多變,但是不注重闡述解題方法由哪里來?怎么來的?到哪里去?干什么?學生解題能力的提升何從談起!平時教學中教師已經(jīng)注意教學情境的設計,但僅僅注意孤立技能在固定情境下的簡單應用,情境的設計過于人為的簡化和抽象,喪失了與現(xiàn)實社會生活的連接,導致學生遇到真實情境的問題時不會認真分析問題的情境,提出問題、解決問題,只會機械的套用公式解決問題.

    6 教學啟示

    6.1 注重必備知識復習鞏固

    在高三復習教學中,對于每一個必備知識,都要從它的表征的多層性和多樣性上去設計問題開展教學,引導啟發(fā)學生思考,理解辨析必備知識,幫助學生站在數(shù)學學科整體高度上,再次經(jīng)歷知識形成的過程,了解知識產(chǎn)生的背景,體驗數(shù)學化的方法,提高抽象概括能力和數(shù)學表達能力,幫助學生構建知識網(wǎng)絡,清除認識上的盲點和難點,優(yōu)化知識結構,領悟數(shù)學知識中蘊含的數(shù)學思想方法,建立從核心概念到解題方法自然鏈接.但同時要避免從過細的學科知識點角度思考學科內(nèi)容,羅列清單,要強調(diào)學科內(nèi)容的結構性和關聯(lián)性,突出思想方法和探究技能的運用.

    6.2 養(yǎng)成良好的運算習慣

    數(shù)學運算不是單純的數(shù)值運算,而是一種推理運算,一般是理解運算對象后,根據(jù)數(shù)學基本知識先推理再計算求值,并能夠根據(jù)問題條件尋找并設計合理、便捷的運算途徑,因此數(shù)學運算不僅是計算,還應包括探索、求解問題的思路,借助有效的運算方法解決問題,更重要的是通過數(shù)學運算促進數(shù)學思維的發(fā)展,養(yǎng)成程序化思考問題的習慣,養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實、理性縝密的科學精神.

    6.3 適當設計復雜開放的現(xiàn)實情境,解決有意義的真實問題

    學生經(jīng)歷復雜開放的現(xiàn)實情境,是發(fā)展學生核心素養(yǎng)的重要依托,重視不確定的跨學科探究主題和社會實踐活動的開展,有助于激發(fā)學生參與和投入的興趣,培養(yǎng)學生綜合運用相關知識和技能分析當前情境,明確問題,創(chuàng)造性整合能力,有助于幫助學生提升發(fā)現(xiàn)問題、辨析概念、建立假設、驗證假設的能力不良結構問題的不確定性和開放性,可以給學生展示他們分析問題的思考過程.單也要注意核心素養(yǎng)的形成、培養(yǎng),不能脫離集體的課程內(nèi)容,學生只有具備系統(tǒng)的、結構化的學科知識和技能、思想方法和探究模式,才能深刻理解特定的任務情境,明確問題,形成假設,解決問題,積累解題活動經(jīng)驗,提升解題能力.

    7 命題思考改進

    筆者思考試題第(3)問增設條件“已知樹木的材積與其根部橫截面積近視成正比”的目的是為了啟發(fā)學生轉變思考方向,利用小學所學的比例求解,簡化運算,避免學生利用一元回歸方程求解、重復考查相同的知識點.筆者認為第(3)問中去掉此條件改為:

    現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積,并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為180m2,利用上述數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.

    題目更符合起課標的要求、更開放、解答更豐富,給學生預留的思考空間更大.其解答可有以下方法:

    (1)由面積與材積相關系數(shù)r=0.97知材積與面積之間有如下關系式y(tǒng)=a+bx.

    所以總材積為y=-0.012+6.7×186=1246.188(m3).

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