量子糾纏和貝爾不等式及其在量子信息處理中的應(yīng)用

衣學(xué)喜，沈宏志，王林成

(1.東北師范大學(xué) 物理學(xué)院，吉林 長春 130024;2.大連理工大學(xué) 物理學(xué)院， 遼寧 大連 116023)

在量子世界里，2個粒子在相互作用后，整體的狀態(tài)不能寫成這2個粒子狀態(tài)的非相干疊加形式，此時這2個粒子彼此關(guān)聯(lián)，對1個粒子的測量會“瞬間影響”到另外1個粒子，該現(xiàn)象被稱為量子糾纏(Quantum entanglement). 愛因斯坦(Albert Einstein)稱這種“瞬間影響”為鬼魅的超距作用. 量子糾纏是純粹發(fā)生于量子系統(tǒng)的現(xiàn)象，在經(jīng)典世界里找不到對應(yīng). 很長一段時間以來，一些物理學(xué)家，例如 Einstein，認為鬼魅超距作用的存在是因為量子力學(xué)并未完整地描述物理系統(tǒng)的狀態(tài)[1]，亦即質(zhì)疑量子力學(xué)是不完備的. 他們認為量子力學(xué)的背后隱藏了尚未發(fā)現(xiàn)的變量，該變量的存在可以完整解釋物理系統(tǒng)所有可觀測量的演化行為，而不存在量子糾纏的現(xiàn)象. 存在隱藏變量的理論(隱變量理論)由大衛(wèi)·玻姆(David Bohm)于1952年提出[2]. 20世紀60年代，約翰·貝爾(John Bell)在隱變量理論的基礎(chǔ)上提出了以其名字命名的數(shù)學(xué)不等式，即Bell不等式[3]. 而量子力學(xué)預(yù)言：某種類型的實驗將違反Bell不等式. 約翰·克勞澤(John Clauser)發(fā)展并踐行了Bell的想法，開展了一系列實驗研究，實驗結(jié)果違反了Bell不等式，支持了量子力學(xué)[4]，這意味著量子力學(xué)不能被隱變量理論所取代. 但Clauser的實驗存在一些漏洞. 為避免Clauser實驗中的漏洞,阿蘭·阿斯佩(Alain Aspect)運用新的實驗裝置[5]. 為了使實驗漏洞更少、更可信,安東·蔡林格(Anton Zeilinger)又進一步改進了實驗[6]. 除此之外，Zeilinger的研究小組還開展了被稱為量子隱形傳態(tài)的實驗[7]，使量子態(tài)從1個粒子傳輸?shù)竭h處的另外1個粒子，他還開創(chuàng)性地完成了糾纏交換(Swapping)實驗[8]，為量子信息科學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻.

1 糾纏與EPR佯謬

埃爾溫·薛定諤(Erwin Schr?dinger)在1935年指出：2個系統(tǒng)的初始狀態(tài)可由各自狀態(tài)的直積完全描述，二者發(fā)生相互作用一段時間后，就不能再通過各自狀態(tài)的直積來描述其狀態(tài)[9]. 該特性是量子力學(xué)的核心特性，它使量子力學(xué)完全背離了經(jīng)典物理的思維邏輯. 通過相互作用，2個系統(tǒng)的波函數(shù)(或ψ函數(shù))發(fā)生了糾纏，意味著他們不可分離.以在1條直線上運動的2個粒子為例，可分離意味著波函數(shù)可寫成

ψ(x,y)=ψ(x)?Φ(y),

(1)

其中，x和y為標記的2個粒子，ψ(x)和Φ(y)分別對應(yīng)2個粒子的波函數(shù).而兩體系統(tǒng)純態(tài)的一般形式為

(2)

其中，ci為復(fù)數(shù)，n表示希爾伯特空間的維數(shù)，ψi(x)和Φi(y)分別對應(yīng)2個粒子的波函數(shù).不能寫成式(1)形式的態(tài)被稱為糾纏態(tài). 為了闡明量子力學(xué)是如何背離經(jīng)典思維邏輯的，Albert Einstein，鮑里斯·波多爾斯基(Boris Podolsky)和納森·羅森(Nathan Rose)在1935年提出了質(zhì)疑量子力學(xué)的思想實驗[1]，后來被稱為EPR(Einstein-Podolsky-Rosen)佯謬.

EPR佯謬實驗的基本思路是：使用不對易的算符對處于糾纏態(tài)且相距很遠的粒子進行測量，如圖1所示. 從源S將1對糾纏粒子向相反方向發(fā)送(圖中糾纏粒子對用紅色虛線連接). 每個粒子的自旋方向完全不確定. 在離S不遠處，每對粒子中有1個經(jīng)過由Alice(A，綠色窗口所示)操作的測量裝置，該裝置測量z方向(藍色箭頭)的自旋分量. 測量后儀器顯示粒子在z方向上具有量子化的自旋，即自旋向上或自旋向下. 由于粒子對自旋方向存在嚴格的反相關(guān)性，當Alice的粒子沿z軸自旋向上時，Bob(B)的粒子將呈現(xiàn)沿z軸自旋向下.

圖1 EPR思想實驗示意圖[11]

通過這種方式，即使沒有直接對另1個粒子進行測量，通過對Alice的測量就能間接測量Bob粒子(綠色虛線窗口表示)的狀態(tài). 如果Bob選擇在x方向(紅色箭頭)進行測量，則會出現(xiàn)EPR佯謬：自旋在垂直方向上有確定的值，就像對1個粒子的測量會超光速地影響到了另外1個粒子. 1951年，大衛(wèi)·玻姆(David Bohm)[10]重新設(shè)計了實驗，他考慮了1對處于糾纏的自旋為1/2的粒子，可用Si表示其自旋角動量算符，滿足

(3)

在Bohm進行的EPR實驗中，1對自旋為1/2的粒子被制備在糾纏態(tài)|ψ-〉上，其中自旋波函數(shù)是Bell類型的，表示為

(4)

2 貝爾不等式

在約翰·馮·諾依曼(John von Neumann)指出不可能用隱變量理論來完善量子力學(xué)之后，大多數(shù)的物理學(xué)家更傾向于Bohr的立場. 盡管如此，一些人仍在思考關(guān)于量子力學(xué)基礎(chǔ)和詮釋的問題.

1964年，Bell推導(dǎo)出了不等式[3]，即任何服從定域?qū)嵲谡摰捏w系都必須遵守的不等式，并指出：在某些實驗條件下量子力學(xué)的預(yù)言違反了這個不等式. 由于Bell在推導(dǎo)不等式時對探測器做出的假設(shè)是不合理的[4]，因此他提出的驗證不等式的實驗不容易在實驗室實現(xiàn). 1969年，John Clauser、邁克爾·霍恩(Michael Horne)、艾布納·西摩尼(Abner Shimony)和理查德·霍爾特(Richard Holt)解決了實驗室驗證不等式中的困難：他們提出了Bell不等式的變型，即CHSH不等式. 該不等式的優(yōu)點是：使用現(xiàn)有技術(shù)對糾纏光子進行測量即可驗證該不等式[4]. 斯圖爾特·弗里德曼(Stuart Freedman)和Clauser[12]率先做了實驗，該實驗中每個光子將遇到1個雙通道偏振器，其方向可由Alice和Bob設(shè)置. 每個通道產(chǎn)生的信號由單光子探測器D+和D-探測，且符合計數(shù)率為

其中Ni,j(i,j=+,-)分別對應(yīng)于Alice和Bob探測器D+和D+,D+和D-,D-和D+以及D-和D-同時探測記錄的同步事件數(shù).

圖2所示的CHSH不等式與EPR思想實驗不同. Alice可進行2個不同實驗A1和A2(例如在2個不同方向a1和a2上測量自旋)；同樣，Bob可以進行B1或B2實驗.假設(shè)實在論是對的，即使沒有進行測量，也可完全確定每個量子系統(tǒng)的測量結(jié)果.與實在論相反，量子力學(xué)無法預(yù)言測量結(jié)果.若用L(A1),L(B2)等表示可能的測量結(jié)果,根據(jù)L(X)=±1(X=A1,A2,B1,B2)，則有

圖2 源S產(chǎn)生相反方向傳播的糾纏光子對[11]

L=L(A1)[L(B1)+L(B2)]+

L(A2)[L(B1)-L(B2)]=±2,

(5)

當L(A1)和L(A2)都取±1，且L(B1)+L(B2)=±2時，L(B1)-L(B2)=0；反之亦然.在每個實驗中可多次重復(fù)測量，Alice測量A1或A2，Bob測量B1或B2.在現(xiàn)實中，由于式(5)適用于任意的獨立測量，因此只需對測量值取總體平均即可得出測量結(jié)果，即E(A1,B1)=〈L(A1)L(B1)〉.由此可以得出不等式[12]

〈L〉=|E(A1,B1)+E(A1，B2)+

E(A2,B1)-E(A2,B2)|<2.

(6)

現(xiàn)在將式(6)與量子理論預(yù)言的結(jié)果進行比較.如果光子對處于態(tài)|ψ-〉[由式(4)給出]，很容易證明E(A1,B1)=-a1·b1，其他E(a,b)也取類似結(jié)果，由此可知

3 貝爾不等式的實驗證偽

3.1 弗里德曼-克勞澤實驗

最初很少有人注意到Bell的工作，而注意到其工作的人卻有這樣的疑問[12]：難道量子力學(xué)不總是有效嗎？為了解決該疑問，F(xiàn)reedman與Clauser一起著手進行CHSH不等式驗證實驗. 圖3所示為鈣的能級圖.

圖3 鈣的能級圖[12]

圖4所示為實驗裝置示意圖，圖中探測器之間的距離為5 m. 該實驗測量了在J=0→J=1→J=0原子級聯(lián)中發(fā)射的2個光子(γ1和γ2)的線偏振相關(guān)性.衰減原子由2個對稱放置的光學(xué)系統(tǒng)進行觀察，每個光學(xué)系統(tǒng)由2個透鏡、1個波長濾光片、1個偏振器(可旋轉(zhuǎn)和移動)和1個單光子探測器組成.該裝置測量了下面的量：雙光子檢測的符合計數(shù)率R(φ)(作為由插入偏振器方向定義的線偏振平面之間角度φ的函數(shù))；去除偏振器2時的符合計數(shù)率R1；去除偏振器1的符合計數(shù)率R2；去除2個偏振器的符合計數(shù)率R0.

圖4 Freedman和Clauser使用的儀器和相關(guān)電子設(shè)備示意圖[12]

此外，假設(shè)入射到探測器上的所有光子都有被探測到的概率，且這與光子是否通過偏振器無關(guān)，則上述假設(shè)可以通過以下不等式來限制符合計數(shù)率：-1≤Δ(φ)≤0，其中

Freedman和Clauser[12]根據(jù)實驗可測的量將不等式改寫為

(7)

圖5 實驗測得的比率隨偏振器軸之間夾角的變化曲線[11]

3.2 阿斯佩實驗

1976年，Aspect實驗[5]實現(xiàn)了聲光器件在更短時間(小于20 ns)內(nèi)將光子切換到實驗裝置的2個不同分支上，實驗示意圖如圖6所示. 圖中鈣級聯(lián)源發(fā)射的光子首先到達光開關(guān)CⅠ和CⅡ，光子可以傳輸?shù)狡衿吞綔y器PM1和PM2，或者被反射到另1組偏振片和探測器PM1′和PM2′. 2個通道之間的切換大約每10 nm發(fā)生1次，偏振器之間的距離為12 m. 光開關(guān)是2個電聲轉(zhuǎn)換器產(chǎn)生反向傳播的聲波間干涉所產(chǎn)生的超聲波駐波. 這相當于在極短時間內(nèi)改變了偏振器的取向.

圖6 Aspect實驗示意圖[16]

Bell不等式是在某些假設(shè)下推導(dǎo)出來的，其中的1個假設(shè)是：2個觀察者Alice和Bob隨機選擇彼此獨立的測量對象. 要做到這一點，必須確保Alice無法向Bob發(fā)送關(guān)于是否測量A1或A2的消息，即使發(fā)送了，Bob在決定測量B1或B2之前也收不到該消息. 即Alice不能影響B(tài)ob的選擇. 而Freedman和Clauser的實驗不能保證這一點. 這是該實驗的1個漏洞.

Aspect首次設(shè)計出了避免定域性“漏洞”的實驗. 1981-1982年 Aspect與其合作者菲利普·格蘭杰(Phillipe Grangier)、杰拉德·羅杰(Gérard Roger)和瓊·達利巴德(Jean Dalibard)使用改進的技術(shù)和新型儀器進行了系列實驗[14-16]. 第1個實驗[14]：通過雙光子吸收，使用2束激光直接激發(fā)61S0態(tài)，該實驗比使用過濾氫(氘)弧光燈和通過61P1→61S0躍遷填充61S0態(tài)更加有效(見圖3). 第2個實驗[15]：使用雙通道偏振器進行雙色測量，獲得了很好的統(tǒng)計數(shù)據(jù)結(jié)果，并且最大限度違背了Bell不等式. 第3個實驗[16]引起研究者的關(guān)注最多. 眾所周知，在與光子飛行時間可以比較的時間尺度上，改變偏振器的取向是不可能的：鈣光子源到每個偏振器的距離約為6 m，這就要求偏振器改變方向所需的時間不能超過20 ns.

該實驗中的光學(xué)器件比早期實驗中的要復(fù)雜得多，并且只使用了單通道偏振片. 采用不等式-1≤S≤0[16],其中

S包括3部分：a.在1次實驗中測量的4個符合計數(shù)率[N(a,b),N(a′,b),等]；b.去除所有偏振器后的4個對應(yīng)的符合計數(shù)率[N(∞,∞),N(∞′,∞),等]；c.每側(cè)移除1個偏振器的2個符合計數(shù)率[N(a′，∞),N(∞,b)][16].為了測試Bell不等式，進行了2次實驗.在每次實驗中，都選擇了導(dǎo)致量子力學(xué)和Bell不等式之間的預(yù)測具有最大沖突的方向[(a,b)=(b,a′)=(a′,b′)=22.5°;(a,b′)=67.5°].2次實驗的平均值為S=0.101±0.020,明顯違反了Bell不等式S≤0(5個標準差)，并與量子力學(xué)所預(yù)言的值0.112幾乎一致.

因為偏振片之間的距離太小，無法進行真正的隨機設(shè)置，所以實驗結(jié)果并不理想. 1998年，Zeilinger團隊在距離為400 m的觀察者之間，借助一些技術(shù)上的改進，在嚴格的定域條件下檢驗了不等式[17]，發(fā)現(xiàn)不等式仍然是違背的.

3.3 安東·蔡林格工作

Anton Zeilinger長期從事量子物理和量子信息研究工作，是世界上量子物理基礎(chǔ)檢驗和量子信息領(lǐng)域的先驅(qū)者，他對量子物理基礎(chǔ)檢驗的理論和實驗研究做出了開創(chuàng)性的貢獻：Zeilinger與其合作者一起，首次進行了中子、原子和大分子的量子干涉實驗，實現(xiàn)了無定域性漏洞、無探測效率漏洞的量子力學(xué)非定域性檢驗，提出并且在實驗中產(chǎn)生了第1個多粒子糾纏態(tài)(Greenberger-Horne-Zeilinger態(tài))，這在量子力學(xué)基礎(chǔ)檢驗和量子信息中發(fā)揮著重要作用. Zeilinger與其合作者從量子物理基礎(chǔ)檢驗出發(fā)，系統(tǒng)地發(fā)展了多光子干涉度量學(xué)，并且發(fā)現(xiàn)了量子信息處理中的廣泛應(yīng)用，包括量子密集編碼、隱形傳態(tài)、糾纏交換、糾纏純化、遠距離量子通信、光量子計算和基于糾纏的成像等. 其中1997年首次實現(xiàn)量子隱形傳態(tài)的工作[7]被認為是量子信息實驗研究的開山之作，該內(nèi)容與糾纏交換及應(yīng)用會在下文進行詳細討論.

4 量子隱形傳態(tài)、糾纏的交換及應(yīng)用

4.1 量子隱形傳態(tài)

Clauser和Aspect的實驗讓物理學(xué)界看到了糾纏的重要性，讓科學(xué)家看到了相距很遠但仍然糾纏的光子作為量子資源的可能性[18-19].

|ψ〉123=|χ〉1?|φ-〉23,

(8)

其中，Alice擁有粒子1和2，Bob擁有粒子3.態(tài)2和態(tài)3處于Bell態(tài)|φ-〉.通過代數(shù)運算，可將上面的態(tài)重寫為

|ψ+〉12?V2|χ〉3+|ψ-〉12?V1|χ〉3]，

(9)

|ψ〉123→|φ-〉12?V4|χ〉3.

(10)

4.2 量子糾纏交換

糾纏交換可以實現(xiàn)糾纏向2個獨立且此前從未相互作用的粒子上轉(zhuǎn)移，如圖7所示. 具體過程如下：1個源發(fā)射的光子1和光子2處于Bell態(tài)，另1個源發(fā)射的光子3和光子4處于另1個Bell態(tài). Alice和Bob分別接收到光子1和光子4，而光子2和3被安排同時到達Cecilia. 使用與上面相同的符號，這4個光子的態(tài)可寫為

圖7 糾纏交換示意圖[20]

|ψ〉1234=|φ+〉12?|φ+〉34,

(11)

通過類似于量子隱形傳態(tài)的操作，可將4個光子的態(tài)改寫為

|φ+〉14?|φ+〉23-|φ-〉14?|φ-〉23).

(12)

Cecilia對2和3進行4個Bell態(tài)之一的聯(lián)合測量，類似于量子隱形傳態(tài). 如果測量結(jié)果為態(tài)|ψ-〉23上,則光子態(tài)塌縮為

|ψ〉1234→-|ψ-〉14?|ψ-〉23.

(13)

盡管光子1和光子4從未彼此靠近過，但現(xiàn)在糾纏在一起,Alice和Bob共用1個Bell對. 以上理論由班尼特(Bennett)等人首次提出，同年，馬雷克·祖科夫斯基(Marek Zukowski)、Zeilinger、Horne和阿圖爾·?？颂?Artur Ekert)提出了“糾纏交換”的概念[8]. 1998年，潘建偉(Pan Jianwei)、迪克·鮑米斯特爾(Dik Bouwmeester)、哈拉爾德·溫弗特(Harald Weinfurter)和Zeilinger[20]發(fā)表了首篇糾纏交換的實驗論文.

4.3 可能的應(yīng)用

4.3.1 量子通信

量子技術(shù)的重要目標之一是將糾纏的2個光子分發(fā)到非常遠的距離，為量子加密通訊服務(wù). 實現(xiàn)分發(fā)最簡單的方法是利用光纖傳輸光子，但光會損失，從而容易導(dǎo)致傳輸失敗. 在傳統(tǒng)的通信網(wǎng)絡(luò)中，該問題可通過沿光纖線路放置放大器來解決. 因為經(jīng)典放大器的工作原理是對原始信息進行多次復(fù)制，但量子世界有量子不可克隆定理，因此經(jīng)典放大器不能在量子系統(tǒng)中使用. 那么如何解決光子損失呢？最簡單的解決方案是利用衛(wèi)星向太空發(fā)送信號來避免信號損失. 由于大氣層的有效厚度約為10 km，而在真空中光的損耗非常小，所以可以通過量子通信衛(wèi)星“墨子號”[21-22]建立遠距離糾纏. 遠距離量子通信的第2種方法是使用基于糾纏交換的量子中繼器. 中繼器可將通信線路分成很多短線路，并基于糾纏交換通過幾個節(jié)點將糾纏在相距遙遠的Alice和Bob間建立聯(lián)系.

4.3.2 量子密鑰

糾纏還可以實現(xiàn)量子密鑰分發(fā)(Quantum key distribution,QKD)[23-25]，量子密鑰分發(fā)的功能是以安全的方式分發(fā)Alice和Bob共享的密鑰. 1991年，Artur Ekert提出了基于糾纏的QKD協(xié)議[26]，其工作原理如下：Alice和Bob共用1個來自獨立源的Bell對. 然后Alice在ai(i=1,2,3)上測量自旋(方向是隨機選取的)，Bob在bi方向上做同樣的測量. 測量結(jié)束后，Alice和Bob公布測量結(jié)果，并將事件分為2組：a.包含相同自旋方向的結(jié)果;b.包含不同方向的結(jié)果. 接著公開第2組的測量結(jié)果. 然后使用該數(shù)據(jù)構(gòu)造變量L[如式(5)]進行Bell不等式檢驗. 如果結(jié)果違背Bell不等式，那么第1組中完全反相關(guān)的事件就可用來創(chuàng)建密鑰. 2006年,Zeilinger團隊使用該方案在相隔144 km的2個加那利群島(Canary)之間建立了1個安全密鑰[27].

4.3.3 量子領(lǐng)域應(yīng)用最新成果

近幾年，量子科技發(fā)展突飛猛進，成為新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的前沿領(lǐng)域，量子計算機更是各國科學(xué)家研發(fā)的熱點. 2021年3月，IBM發(fā)布了超導(dǎo)量子計算機開源電子設(shè)計自動化軟件Qiskit Metal，這是首個專門針對量子計算機的電子設(shè)計自動化工具. 2021年11月，悉尼大學(xué)和微軟的科學(xué)家與工程師發(fā)明了工作溫度比深空溫度低40倍的單芯片，只需2根傳輸信息的線纜作為輸入，即可產(chǎn)生數(shù)千個量子比特的控制信號. 2021年12月，谷歌與加州理工學(xué)院的一項合作表明，在某些條件下，量子機器可以從比傳統(tǒng)要求的實驗數(shù)量少得多的實驗中了解物理系統(tǒng). 這一新方法通過使用40個量子比特和1 300個量子操作進行了實驗驗證，證明了即使使用嘈雜的量子處理器，也具有巨大的量子優(yōu)勢. 2021年12月，劍橋量子公司利用霍尼韋爾量子計算機創(chuàng)建了隨機數(shù)，并推出了世界上首個量子計算驅(qū)動的加密密鑰生成平臺. 中國的量子科學(xué)家在這方面的研究也取得了重要進展，在量子科技領(lǐng)域取得了較好成果. 2021年2月，本源量子的國產(chǎn)工程化超導(dǎo)量子計算機正式上線，并發(fā)布了首款國產(chǎn)量子計算機操作系統(tǒng). 2021年5月，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)研究團隊成功研制了62比特可編程超導(dǎo)量子計算原型機，并在此基礎(chǔ)上實現(xiàn)了可編程的二維量子行走. 2021年3月，國盾量子推出了優(yōu)化版本的超導(dǎo)量子計算操控系統(tǒng)21版，并于同年10月，該系統(tǒng)助力66比特超導(dǎo)量子計算原型機實現(xiàn)了量子計算優(yōu)越性. 2021年10月，騰訊量子實驗室實現(xiàn)快速、高保真、易擴展的超導(dǎo)量子比特初始化方案，與業(yè)內(nèi)已有工作相比，該初始化方案具有速度快、保真度高、對周圍比特影響小、擴展性強的優(yōu)勢.

5 結(jié)束語

量子力學(xué)是在質(zhì)疑聲中建立、完善和發(fā)展起來的，其中薛定諤貓和EPR佯謬是質(zhì)疑聲中最響亮的2個聲音. 薛定諤貓和EPR佯謬質(zhì)疑了量子世界的特有屬性：相干疊加和量子糾纏. 而這2個質(zhì)疑聲被2022年3位諾貝爾物理學(xué)獎得主的精巧實驗所擊碎. 貝爾不等式實驗前后經(jīng)歷了近半個世紀，科學(xué)家們堅持不懈、精益求精和潛心鉆研的精神必將激勵廣大科研工作者踔厲奮發(fā)、篤行不怠地探索神秘而有趣的量子世界，從而進一步推動量子科學(xué)與技術(shù)的發(fā)展，為全人類謀福利.