立足數(shù)學(xué)模型，建立知識(shí)結(jié)構(gòu)，生成方法思想
——以“全等三角形”復(fù)習(xí)課的教學(xué)為例

仲進(jìn)勇

江蘇省揚(yáng)州市梅嶺中學(xué) 225000

復(fù)習(xí)課應(yīng)體現(xiàn)以學(xué)生為主體的教學(xué)理念，通過精心設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生建構(gòu)科學(xué)的知識(shí)體系，從中提煉好的數(shù)學(xué)思想方法，使數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到培養(yǎng).筆者曾主講的一堂“全等三角形”的復(fù)習(xí)課，獲得了同人的一致好評(píng)，現(xiàn)將案例整理成文，與各位同行交流.

課例簡(jiǎn)錄

（一）教學(xué)環(huán)節(jié)1——基本圖形出發(fā)，回顧全等判定

問題1：如圖1所示，射線OC是∠AOB的角平分線，PE⊥OB于點(diǎn)E，PD⊥OA于點(diǎn)D，觀察圖形，你能從中得到哪些結(jié)論呢？為什么？

圖1

生1：因?yàn)樯渚€OC是∠AOB的角平分線，PE⊥OB于點(diǎn)E，PD⊥OA于點(diǎn)D，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理，得PE=PD；因?yàn)椤螮OP=∠DOP，∠OEP=∠ODP=90°，所以∠EPO=∠DPO，即PO平分∠EPD.

生2：在△EOP 與△DOP 中，因 為PE=PD，OP公用，根據(jù)斜邊直角邊定理，得Rt△EOP≌Rt△DOP，所 以O(shè)E=OD.因?yàn)镺E=OD，EP=DP，根據(jù)線段垂直平分線的逆定理，得直線OC是線段ED的垂直平分線.

師：很好，這兩位同學(xué)重點(diǎn)關(guān)注了△EOP與△DOP的對(duì)應(yīng)相等關(guān)系，如果從圖形的整體來看，觀察四邊形EODP有什么特殊性質(zhì)呢？

生3：四邊形EODP是一個(gè)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，因?yàn)椤螼EP=∠ODP=90°，四邊形內(nèi)角和為360°，所以∠EOD+∠EPD=180°.

設(shè)計(jì)意圖通過復(fù)習(xí)回顧角平分線性質(zhì)的基本圖形，讓學(xué)生從線段之間的關(guān)系、角之間的關(guān)系、三角形之間的關(guān)系三個(gè)方面初步認(rèn)識(shí)基本圖形，為后續(xù)圖形變換的學(xué)習(xí)做好鋪墊.其中，引導(dǎo)學(xué)生觀察四邊形對(duì)角互補(bǔ)的特征，旨在培養(yǎng)學(xué)生整體感知圖形的意識(shí)，讓學(xué)生養(yǎng)成善于觀察思考和善于總結(jié)的良好思維意識(shí).

（二）教學(xué)環(huán)節(jié)2——變換圖形，探究發(fā)現(xiàn)

問題2：如圖2所示，射線OC是∠AOB的角平分線，∠PEO+∠PDO=180°，你能從圖中得到哪些結(jié)論呢？

圖2

生4：因?yàn)椤螾EO+∠PDO=180°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°，得∠EOD+∠EPD=180°.因?yàn)樯渚€OC是∠AOB的角平分線，如圖3所示，過點(diǎn)P向∠AOB兩邊作垂線，即PM⊥OB，PN⊥OA，垂足分別為點(diǎn)M，N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得PM=PN.

圖3

師：在圖3中，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得線段PM=PN，那么線段PE與PD有何數(shù)量關(guān)系呢？

生5：線段PE=PD，因?yàn)樗倪呅蜳MON是對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，即∠EOD+∠MPN=180°，而∠EOD+∠EPD=180°，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，得∠MPN=∠EPD，所以∠EPM=∠DPN，在△PME與△PND中，因?yàn)椤螮MP=∠DNP=90°，∠EPM=∠DPN，PM=PN，所以△PME≌△PND（ASA），所以PE=PD.

師：很好！這位同學(xué)應(yīng)用全等三角形證明了PE=PD，關(guān)于證明PE=PD還有其他的思路嗎？

生6：既然四邊形PEOD是對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，那么四邊形EODP是圓的內(nèi)接四邊形，如圖4所示，當(dāng)點(diǎn)E，O，D，P四點(diǎn)共圓時(shí)，因?yàn)樯渚€OC是∠AOB的角平分線，所以∠EOP=∠DOP，根據(jù)圓周角定理，得弧EP=弧DP，根據(jù)圓心角定理，得EP=DP.

圖4

師:從這里我們初步發(fā)現(xiàn)，在對(duì)角互補(bǔ)的四邊形中，如果一條對(duì)角線平分一個(gè)角，那么對(duì)角的兩邊相等.

設(shè)計(jì)意圖筆者首先讓學(xué)生獨(dú)立思考，自主得到結(jié)論，然后順著學(xué)生作出的兩條垂線引導(dǎo)學(xué)生探究線段PE與PD的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生自然能利用全等三角形去證明.為了拓展學(xué)生思維，加強(qiáng)知識(shí)融合，筆者引導(dǎo)學(xué)生尋找不同的解法，于是有了輔助圓的解法.此題主要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)分析題意和善于將未知圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形，在教學(xué)過程中，學(xué)生可能說出的結(jié)論比較多，這就需要教師抓住核心——探究的結(jié)論進(jìn)行引導(dǎo)，進(jìn)行總結(jié)歸納，讓教學(xué)主線更突出.

（三）教學(xué)環(huán)節(jié)3——典例剖析，強(qiáng)化模型

問題3：如圖5所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∠EDF=90°，求證：DE=DF.

圖5

師：題中重要的已知條件是什么?欲求證的結(jié)論是什么？

生7：題中重要的已知條件包括：（1）△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC；（2）點(diǎn)D是底邊AC的中點(diǎn)；（3）∠EDF=90°.欲求證的結(jié)論是：DE=DF.

師：圖5中存在前面學(xué)過的幾何模型嗎？為什么？如何把幾何模型轉(zhuǎn)化為基本型呢？

生8：圖5中存在前面學(xué)過的幾何模型，即對(duì)角互補(bǔ)的四邊形EBFD，因?yàn)椤螦BC=90°，∠EDF=90°，所以四邊形EBFD是對(duì)角互補(bǔ)的四邊形.為了轉(zhuǎn)化幾何模型，需要連接BD，如圖6，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，作DN⊥BC于點(diǎn)N.

圖6

生9：因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，點(diǎn)D是底邊AC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一，得BD平分∠ABC.因?yàn)镈M⊥AB，DN⊥BC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得DM=DN.在四邊形BMND中，因?yàn)椤螪MB=∠DNB=∠ABC=90°，所以∠MDN=90°.因?yàn)椤螮DF=90°，根據(jù)同角的余角相等，得∠MDE=∠NDF.因?yàn)椤螪MB=∠DNF=90°，DM=DN，所以△MDE≌△NDF（ASA），所以DE=DF.

師：很好！這位同學(xué)使用了作垂線的方法構(gòu)造對(duì)角互補(bǔ)的基本圖形.除了這種方法，還有沒有其他的方法呢？

生10：也可以只連接BD，通過證明△EBD≌△FCD，得到DE=DF.因?yàn)樵凇鱁BD 與△FCD 中，∠EBD=∠C=45°，BD=DC，∠EDB=∠FDC，所以△EBD≌△FCD（ASA）.

生11：也可以連接BD，證明△AED≌△BFD，得 到DE=DF.因 為△AED 與△BFD 中，∠A=∠DBF=45°，AD=BD，∠ADE=∠BDF，所以△AED≌△BFD（ASA）.

設(shè)計(jì)意圖問題中BD是∠ABC的角平分線是隱含條件，有利于培養(yǎng)學(xué)生挖掘隱含條件的能力.通過引導(dǎo)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了解決這個(gè)問題的三種方法，提高了靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.

（四）教學(xué)環(huán)節(jié)4——變式訓(xùn)練，提高轉(zhuǎn)化能力

問題4：讓圖5的∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖7所示，BD是所在直角的平分線，DE交直角的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∠EDF=90°，求證：DE=DF.

圖7

師：題中的圖形能否轉(zhuǎn)化為對(duì)角互補(bǔ)的四邊形呢？方法是什么？

生12：題中的圖形可以轉(zhuǎn)化為對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，方法仍然過點(diǎn)D作直角兩邊的垂線DM，DN，垂足分別是點(diǎn)M，N，其中四邊形MBND就是對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，如圖8所示.

圖8

師：接下來如何證明DE=DF？

生13：可以通過證明△MDE≌△NDF，得到DE=DF.因?yàn)锽D是角平分線，DM，DN是垂線，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理，得DM=DN，因?yàn)椤螹BN=90°，所以∠MDN=90°；因?yàn)椤螮DF=90°，根據(jù)同角的余角相等，得∠MDE=∠NDF；在△MDE與△NDF中，因?yàn)椤螹DE=∠NDF，DM=DN，∠DME=∠DNF=90°，所以△MDE≌△NDF（ASA），所以DE=DF.

師：這位同學(xué)利用作雙垂線構(gòu)造對(duì)角互補(bǔ)的四邊形獲得了證明，還有其他的方法嗎？

生14：還可以過點(diǎn)D作BD的垂線交BF于點(diǎn)N，通過證明△BDE≌△NDF，得到DE=DF，如圖9所示.

圖9

生15：還可以過點(diǎn)D作BD的垂線交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，通過證明△MDE≌△BDF，得到DE=DF，如圖10所示.

圖10

……

課例反思

（一）復(fù)習(xí)基礎(chǔ)，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)

思想方法的形成必須以知識(shí)為依托.因此，在復(fù)習(xí)過程中，要加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)與回顧，把零散的知識(shí)串聯(lián)起來，構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).本節(jié)課在深入研究對(duì)角互補(bǔ)的幾何模式時(shí)，加強(qiáng)全等三角形判定方法與性質(zhì)的復(fù)習(xí)整理，同時(shí)強(qiáng)調(diào)用多種方法解答同一問題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效串聯(lián).

（二）形成方法，優(yōu)化方法

學(xué)習(xí)方法的形成有利于達(dá)到會(huì)一題、通一類的教學(xué)目的.本節(jié)課從角平分線的基本圖形出發(fā)，從特殊到一般，從常規(guī)到變形，不斷總結(jié)歸納解題思路與方法，達(dá)到了多題一解的目的，使學(xué)生有效掌握了解決問題的基本方法.

（三）關(guān)注思想，有效滲透

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，在中考復(fù)習(xí)中，教師要設(shè)計(jì)拓展提高題，滲透數(shù)學(xué)思想方法，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.在本節(jié)課中，通過基本數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，滲透了數(shù)學(xué)建模的思想；通過將非常規(guī)圖形轉(zhuǎn)化為常規(guī)圖形，滲透了轉(zhuǎn)化思想，有效提高了教學(xué)效果.