• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    美英早期幾何教科書(shū)中與圓有關(guān)的角

    2022-12-22 02:14:50劉夢(mèng)哲汪曉勤
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年12期
    關(guān)鍵詞:外角圓心角圓周角

    劉夢(mèng)哲 汪曉勤

    (華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

    1 引言

    圓心角、圓周角和弦切角的概念及相關(guān)定理是“圓”一章的重要內(nèi)容,深刻揭示了圓中的弧、弦、角之間的關(guān)系.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出,要求學(xué)生理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念,了解等圓、等弧的概念;探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系,了解并證明圓周角定理及其推論[1].

    在已有的教學(xué)設(shè)計(jì)中,張安軍基于學(xué)生所學(xué)習(xí)過(guò)的垂徑定理,從圓的軸對(duì)稱性引出圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,從而探究弧、弦、圓心角之間的關(guān)系[2].高建成基于學(xué)科大概念對(duì)圓周角的教學(xué)進(jìn)行重構(gòu),由圓心角類比圓周角,由此形成定義,從分類討論中提煉模型,由此證明定理[3].林秋華在圓周角定義的基礎(chǔ)上,得到弦切角的定義,并從動(dòng)態(tài)的角度引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、歸納得到弦切角定理[4].可見(jiàn),在實(shí)際教學(xué)中,教師會(huì)讓學(xué)生通過(guò)觀察,給出圓心角、圓周角和弦切角的定義;通過(guò)探究圓的旋轉(zhuǎn)不變性,發(fā)現(xiàn)弧、弦、圓心角之間的關(guān)系;通過(guò)分類討論并利用三角形外角定理,證明圓周角定理.

    HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于學(xué)生理解知識(shí)、掌握技能以及增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)過(guò)程與方法的理解起到了十分重要的作用[5].然而,手頭無(wú)史料卻成為阻礙教師在教學(xué)過(guò)程中開(kāi)展HPM實(shí)踐的一大原因.教師對(duì)圓心角、圓周角和弦切角的歷史知之甚少,相關(guān)的HPM課例付之闕如.鑒于此,本文聚焦圓心角、圓周角和弦切角,對(duì)美英早期幾何教科書(shū)進(jìn)行考察,希望從中獲得恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)素材和思想啟迪,為今后的課例研究提供參考.

    2 早期教科書(shū)的選取

    本文選取1829—1948年間出版的87種美英早期幾何教科書(shū)作為研究對(duì)象,以20年為一個(gè)時(shí)間段進(jìn)行劃分,其出版時(shí)間分布情況如圖1所示.其中,對(duì)于同一作者再版的教科書(shū),若內(nèi)容無(wú)顯著變化,則選取最早的版本,若內(nèi)容有顯著變化,則將其視為不同的教科書(shū).

    圖1 87種美英早期幾何教科書(shū)的出版時(shí)間分布

    關(guān)于圓心角、圓周角和弦切角的內(nèi)容主要位于“圓”“直線和圓”“角度測(cè)量”“圓和正多邊形”等章節(jié)中.其中,圓心角和圓周角的概念大多出現(xiàn)在“圓”一章的“定義”一節(jié),圓心角定理大多出現(xiàn)在“圓心角”一節(jié),而圓周角定理和弦切角定理大多出現(xiàn)在“角度測(cè)量”一節(jié).

    3 圓心角的概念

    在58種給出圓心角概念的教科書(shū)中,定義方法可以分為鄰邊定義、靜態(tài)定義和頂點(diǎn)定義3類,具體分類情況見(jiàn)表1.

    表1 圓心角概念的定義分類

    4 圓心角定理

    所謂圓心角定理,即在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,相等的弧所對(duì)的圓心角相等.因此,證明圓心角定理需證明以下兩個(gè)命題:

    命題1 在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等;

    命題2 在同圓或等圓中,相等的弧所對(duì)的圓心角相等.

    4.1 命題1的證明

    ·疊合法

    圖2 命題1的證明

    ·弧弦關(guān)系法

    ·比例法

    4.2 命題2的證明

    ·疊合法

    類似于證明命題1的方法,通過(guò)平移和旋轉(zhuǎn)使兩扇形重合后同樣可以證明命題2.有46種教科書(shū)采用了疊合法,其中27種選擇從半徑重合出發(fā),14種選擇從弧重合出發(fā),5種僅提及使用這一方法.

    ·弧弦關(guān)系法

    ·反證法

    通過(guò)假設(shè)在同圓或等圓中,等弧所對(duì)圓心角不相等,再利用命題1中的結(jié)論即可導(dǎo)出矛盾.有3種教科書(shū)采用了這一方法.

    圖3 利用反證法證明命題2

    ·比例法

    有2種教科書(shū)采用這一方法.在同圓或等圓中,因?yàn)閳A心角所對(duì)的弧相等,即兩弧的比值為1,而圓心角的比值等于其所對(duì)弧長(zhǎng)的比值,所以兩弧所對(duì)圓心角也相等[11].

    ·圓周角法

    圖4 利用圓周角法證明命題2

    ·逆定律法

    所謂逆定律(law of converse)是指:若A>B?X>Y,A=B?X=Y,AY?A>B,X=Y?A=B,X

    5 圓周角的概念

    在87種美英早期教科書(shū)中,除5種沒(méi)有給出圓周角概念外,其余82種教科書(shū)通常將圓周角稱為an inscribed angle或an angle inscribed in a circle,并給出了詳細(xì)解釋.圓周角概念的定義方法可以分為靜態(tài)定義、鄰邊定義和動(dòng)態(tài)定義3類.表2是圓周角概念的定義分類情況.

    表2 圓周角概念的定義分類

    6 圓周角定理

    在87種美英早期教科書(shū)中,78種教科書(shū)將圓周角定理表述為:圓周角等于其所對(duì)弧的一半;9種教科書(shū)將其表述為:一條弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)圓心角的一半.后者與現(xiàn)行教科書(shū)給出的表述相一致.其中,證明上述定理的方法可以分為三角形外角法、平行線法以及弦切角法3類.

    6.1 三角形外角法

    在給出圓周角定理證明過(guò)程的86種教科書(shū)中,有93%的教科書(shū)利用了三角形外角定理.如圖5,在⊙O上任取一個(gè)圓周角∠BAC,于是可以分三種情況進(jìn)行討論,即圓心O在∠BAC的邊上、內(nèi)部以及外部[17].

    圖5 利用三角形外角法證明圓周角定理

    如圖5(1),即圓心O在∠BAC的邊AB上的情況.連結(jié)OC,因?yàn)镺A=OC,所以∠BAC=∠C,于是,由三角形外角定理可知,∠BOC=∠BAC+∠C=2∠BAC.對(duì)于圖5(2)的情況,因?yàn)椤螧OD=2∠BAD,∠DOC=2∠DAC,故∠BOC=2∠BAC.同理,對(duì)于圖5(3)的情況,也可得∠BOC=2∠BAC.

    6.2 平行線法

    圖6 利用平行線法證明圓周角定理

    有3種教科書(shū)采用了平行線法,即過(guò)圓心作圓心角一邊的平行線,進(jìn)而完成證明.對(duì)于圓周角一邊過(guò)圓心的情形,如圖6,過(guò)圓心O作OE∥AC,于是∠BAC=∠BOE,∠C=∠COE.又因?yàn)镺A=OC,所以∠BAC=∠C,于是∠BAC=∠BOE=∠COE,故∠BOC=2∠BAC.其他兩種情形的論證同6.1節(jié)[18].

    6.3 弦切角法

    圖7 利用弦切角定理證明圓周角定理

    另一種方法為Grund所采用.如圖7(2),因?yàn)椤螧OA=2∠BAE,∠COA=2∠CAD,2(∠BAE+∠BAC+∠CAD)=360°,故得∠BOC=360°-(∠BOA+∠COA)=360°-2(∠BAE+∠CAD)=2∠BAC.[11]

    7 弦切角及弦切角定理

    在87種美英早期教科書(shū)中,并沒(méi)有直接給出弦切角的概念,而只是在弦切角定理中有所提及.其中,有54種教科書(shū)在定理或證明中將弦切角定義為由一條切線和一條過(guò)切點(diǎn)的弦所夾的角;有32種教科書(shū)將弦切角定義為由切線和弦所夾的角,但沒(méi)有指出弦切角的頂點(diǎn)在圓周上,而是在圖中指明弦切角;剩余1種教科書(shū)中沒(méi)有弦切角定理.

    相比于弦切角概念的單一表述,弦切角定理的證明方法則非常豐富.所謂弦切角定理,即弦切角的大小等于它所夾的弧所對(duì)圓心角的一半,等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.在84種給出弦切角定理證明的教科書(shū)中,證明方法可以分為圓周角法、平行線法、垂徑定理法和動(dòng)態(tài)法4類.

    7.1 圓周角法

    有超過(guò)半數(shù)的教科書(shū)在證明弦切角定理的時(shí)候,不約而同地用到了圓周角定理的3個(gè)推論,即 ①同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,②直徑所對(duì)的圓周角是直角,③圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

    圖8 利用圓周角法證明弦切角定理

    7.2 平行線法

    圖9 利用平行線法證明弦切角定理

    7.3 垂徑定理法

    圖10 利用垂徑定理法證明弦切角定理

    7.4 動(dòng)態(tài)法

    圖11 利用動(dòng)態(tài)法證明弦切角定理

    8 教學(xué)啟示

    綜上所述,在與圓有關(guān)的角這一主題上,美英早期教科書(shū)為我們呈現(xiàn)出圓心角、圓周角和弦切角的多種定義方式以及圓心角定理、圓周角定理和弦切角定理的多種證明方法,這些方式或方法為今日教學(xué)帶來(lái)了諸多啟示.

    第一,在引入圓心角、圓周角和弦切角的概念時(shí),可以先讓學(xué)生嘗試從這幾個(gè)角的名字出發(fā)進(jìn)行描述,隨后向?qū)W生指出圓中這三個(gè)角的位置并讓學(xué)生予以補(bǔ)充,最后教師對(duì)不同的定義方法進(jìn)行總結(jié)和完善.這樣循循善誘的教法,一方面給予了學(xué)生今后自學(xué)概念的方法,更重要的是讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程,有助于構(gòu)建知識(shí)之諧.

    第二,在證明圓心角定理、圓周角定理以及弦切角定理時(shí),教科書(shū)上單一的證明方法可能會(huì)束縛學(xué)生的思維,形成思維定勢(shì),這并不符合創(chuàng)新性人才培養(yǎng)的要求.教師可以引導(dǎo)學(xué)生一題多思、一題多解、一題多變,在掌握課本上的證明方法之后,開(kāi)展小組探究活動(dòng),嘗試使用不同的工具來(lái)證明這些定理.一方面,“頭腦風(fēng)暴”式的數(shù)學(xué)課堂有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造能力,提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,最終開(kāi)拓學(xué)生的思路,發(fā)展學(xué)生的智力.另一方面,學(xué)生在探究中能加深對(duì)于這幾個(gè)定理的理解,在豁然開(kāi)朗時(shí)體會(huì)到成功所帶來(lái)的喜悅,有助于營(yíng)造探究之樂(lè).

    第三,抽絲剝繭,深入挖掘定理證明背后的數(shù)學(xué)思想.例如,采用疊合法證明圓心角定理中的類比思想、利用三角形外角定理證明圓周角定理中的分類討論思想、采用平行線法證明弦切角定理中的化歸思想等,無(wú)疑是數(shù)學(xué)課堂上的寶貴思想養(yǎng)料.這一切不僅使原本枯燥的定理學(xué)習(xí)變得精彩紛呈,同時(shí)還有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng),有助于彰顯方法之美、實(shí)現(xiàn)能力之助.

    第四,在介紹圓心角、圓周角和弦切角的概念及定理時(shí),可以借助微視頻,展示各國(guó)數(shù)學(xué)家探索這三類角的概念和有關(guān)定理的過(guò)程,追溯知識(shí)源流,呈現(xiàn)多元文化.與此同時(shí),數(shù)學(xué)家對(duì)于數(shù)學(xué)真理的不懈追求與熱愛(ài),有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,體會(huì)數(shù)學(xué)背后的理性精神,最終達(dá)成德育之效.

    猜你喜歡
    外角圓心角圓周角
    利用問(wèn)題鏈導(dǎo)向深度學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)與實(shí)施
    各種各樣的扇形
    變化的外角,不變的外角和
    運(yùn)用圓周角定理求角的大小“五結(jié)合”
    添加輔助線 巧用外角性質(zhì)
    圓周角平分線長(zhǎng)度的一般性結(jié)論
    探究多邊形的外角和
    基于圓周角的力學(xué)問(wèn)題
    求圓周角常見(jiàn)錯(cuò)誤分析
    聚焦外角和整體來(lái)思考
    初中生世界(2017年9期)2017-03-04 01:27:33
    a级毛片在线看网站| 大型av网站在线播放| 色综合欧美亚洲国产小说| 69精品国产乱码久久久| av有码第一页| 99在线人妻在线中文字幕| 久久久国产欧美日韩av| 不卡一级毛片| 麻豆一二三区av精品| 日本一区二区免费在线视频| 色尼玛亚洲综合影院| 狂野欧美激情性xxxx| 国产成人精品无人区| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 欧美不卡视频在线免费观看 | 免费在线观看完整版高清| 国产亚洲av高清不卡| 91大片在线观看| 国产熟女午夜一区二区三区| 亚洲熟妇中文字幕五十中出 | cao死你这个sao货| 欧美午夜高清在线| 一二三四社区在线视频社区8| 免费在线观看影片大全网站| 亚洲欧美一区二区三区久久| 美国免费a级毛片| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 久久久久国产精品人妻aⅴ院| 最新美女视频免费是黄的| 男女高潮啪啪啪动态图| 欧美大码av| 精品第一国产精品| 午夜精品在线福利| av在线天堂中文字幕 | 国产三级黄色录像| 亚洲成人精品中文字幕电影 | av有码第一页| 黄色视频,在线免费观看| 国产成人欧美| 国产精品久久视频播放| 天天添夜夜摸| 国产一区二区在线av高清观看| 色哟哟哟哟哟哟| 可以在线观看毛片的网站| 美女扒开内裤让男人捅视频| 99在线视频只有这里精品首页| 久久香蕉激情| 亚洲熟妇熟女久久| 国产精品国产av在线观看| 午夜影院日韩av| 午夜福利欧美成人| av免费在线观看网站| 亚洲成人久久性| 亚洲精品在线美女| 超碰97精品在线观看| 老司机靠b影院| 欧美日韩精品网址| 窝窝影院91人妻| 成人永久免费在线观看视频| 黄色a级毛片大全视频| www.熟女人妻精品国产| 国产成人av教育| 一级作爱视频免费观看| 久9热在线精品视频| 在线观看免费日韩欧美大片| 高清黄色对白视频在线免费看| 午夜精品在线福利| 18美女黄网站色大片免费观看| 少妇被粗大的猛进出69影院| 波多野结衣av一区二区av| 怎么达到女性高潮| av在线天堂中文字幕 | 日本黄色日本黄色录像| 久久天堂一区二区三区四区| 99在线人妻在线中文字幕| 国产精品影院久久| 国产精品一区二区精品视频观看| 国产高清视频在线播放一区| 久久婷婷成人综合色麻豆| 国产高清视频在线播放一区| 成人国产一区最新在线观看| 纯流量卡能插随身wifi吗| 757午夜福利合集在线观看| 久久国产精品人妻蜜桃| 午夜日韩欧美国产| 美女福利国产在线| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 精品久久蜜臀av无| 丰满迷人的少妇在线观看| a级片在线免费高清观看视频| 国产一区二区三区综合在线观看| 99国产精品免费福利视频| 日韩精品免费视频一区二区三区| 午夜福利欧美成人| avwww免费| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 午夜两性在线视频| 亚洲av片天天在线观看| 国产成人免费无遮挡视频| 午夜久久久在线观看| 久久这里只有精品19| 黄色视频,在线免费观看| 宅男免费午夜| 精品乱码久久久久久99久播| 亚洲视频免费观看视频| 久久精品国产清高在天天线| 久久精品国产清高在天天线| 国产av在哪里看| 亚洲专区中文字幕在线| 亚洲 欧美 日韩 在线 免费| 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 在线观看www视频免费| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 国产免费男女视频| 可以在线观看毛片的网站| 91国产中文字幕| 最近最新中文字幕大全免费视频| 亚洲一码二码三码区别大吗| 欧美午夜高清在线| 黄色视频不卡| 免费av毛片视频| 亚洲精品一二三| videosex国产| 两人在一起打扑克的视频| 欧美成狂野欧美在线观看| a级毛片在线看网站| 国产成人影院久久av| av在线天堂中文字幕 | 久99久视频精品免费| 女人被狂操c到高潮| av天堂久久9| 99久久99久久久精品蜜桃| 高潮久久久久久久久久久不卡| 免费观看精品视频网站| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 热99国产精品久久久久久7| 欧美激情久久久久久爽电影 | 色尼玛亚洲综合影院| 一级毛片女人18水好多| av国产精品久久久久影院| 亚洲av五月六月丁香网| 激情视频va一区二区三区| 欧美性长视频在线观看| 亚洲三区欧美一区| 麻豆久久精品国产亚洲av | 女人被狂操c到高潮| 久久精品国产99精品国产亚洲性色 | 美女 人体艺术 gogo| 嫁个100分男人电影在线观看| 国产成人精品在线电影| 高清毛片免费观看视频网站 | 免费久久久久久久精品成人欧美视频| 精品欧美一区二区三区在线| 91老司机精品| x7x7x7水蜜桃| 最新美女视频免费是黄的| 国产1区2区3区精品| 欧美不卡视频在线免费观看 | 中文字幕精品免费在线观看视频| 亚洲国产中文字幕在线视频| 美国免费a级毛片| 少妇 在线观看| 日本欧美视频一区| 国产精品亚洲一级av第二区| 日本免费一区二区三区高清不卡 | 色在线成人网| 久久久久久人人人人人| 国产主播在线观看一区二区| 99re在线观看精品视频| 日本 av在线| 国产精品影院久久| 1024香蕉在线观看| 久久国产精品男人的天堂亚洲| 三上悠亚av全集在线观看| 国产av在哪里看| 亚洲 国产 在线| 国产高清激情床上av| 国内毛片毛片毛片毛片毛片| 三级毛片av免费| 不卡一级毛片| 久久久久国产精品人妻aⅴ院| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 国产成年人精品一区二区 | 国产xxxxx性猛交| 久久九九热精品免费| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 9色porny在线观看| 日本vs欧美在线观看视频| 午夜福利在线免费观看网站| 在线观看免费视频网站a站| 久久久久久人人人人人| 色老头精品视频在线观看| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕| 琪琪午夜伦伦电影理论片6080| 91成人精品电影| 一级毛片精品| 黑人猛操日本美女一级片| 日韩高清综合在线| 国产精品自产拍在线观看55亚洲| 在线观看免费视频网站a站| 日韩免费av在线播放| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 午夜日韩欧美国产| 国产精品永久免费网站| 日日爽夜夜爽网站| 国产欧美日韩一区二区精品| 国产午夜精品久久久久久| 久久欧美精品欧美久久欧美| 国产精品久久久久成人av| 淫妇啪啪啪对白视频| 妹子高潮喷水视频| 国产精华一区二区三区| 亚洲av成人av| 日韩成人在线观看一区二区三区| 亚洲精品成人av观看孕妇| 美国免费a级毛片| 久久久久精品国产欧美久久久| 日本一区二区免费在线视频| 免费搜索国产男女视频| 国产精品九九99| 一区福利在线观看| 日韩欧美国产一区二区入口| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 高潮久久久久久久久久久不卡| e午夜精品久久久久久久| 69精品国产乱码久久久| 亚洲一区二区三区欧美精品| 嫩草影院精品99| 88av欧美| 宅男免费午夜| 欧美在线黄色| 亚洲av成人不卡在线观看播放网| 丰满饥渴人妻一区二区三| 欧美精品啪啪一区二区三区| 亚洲午夜理论影院| 757午夜福利合集在线观看| 亚洲国产中文字幕在线视频| 久久这里只有精品19| 国产av又大| 久久久久久久久久久久大奶| 精品乱码久久久久久99久播| 欧美人与性动交α欧美软件| netflix在线观看网站| 精品国产乱子伦一区二区三区| 婷婷丁香在线五月| 成人国语在线视频| 国产97色在线日韩免费| 亚洲精华国产精华精| 国产精品av久久久久免费| 黄片小视频在线播放| 国产av在哪里看| 精品国产超薄肉色丝袜足j| 9热在线视频观看99| 日韩国内少妇激情av| 黄色毛片三级朝国网站| 精品第一国产精品| 国产成人欧美在线观看| 亚洲一卡2卡3卡4卡5卡精品中文| 性色av乱码一区二区三区2| 亚洲男人天堂网一区| 亚洲第一av免费看| 乱人伦中国视频| 国产欧美日韩一区二区三区在线| 国产欧美日韩一区二区三区在线| 12—13女人毛片做爰片一| 超碰97精品在线观看| 三上悠亚av全集在线观看| 好男人电影高清在线观看| 成人国产一区最新在线观看| 亚洲 国产 在线| 伊人久久大香线蕉亚洲五| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 悠悠久久av| ponron亚洲| 亚洲伊人色综图| 欧美在线黄色| 精品国产美女av久久久久小说| 在线免费观看的www视频| 91精品三级在线观看| 女性生殖器流出的白浆| 91成年电影在线观看| 香蕉丝袜av| 日韩av在线大香蕉| 国产黄色免费在线视频| 久9热在线精品视频| 精品国产一区二区久久| 国产区一区二久久| 多毛熟女@视频| 怎么达到女性高潮| 一级毛片精品| 不卡av一区二区三区| 亚洲自拍偷在线| 国产深夜福利视频在线观看| 欧美日韩亚洲高清精品| 色在线成人网| 黄色女人牲交| 国产一区二区三区综合在线观看| 美女高潮喷水抽搐中文字幕| 亚洲专区中文字幕在线| 亚洲国产欧美网| 久久草成人影院| 久久久国产精品麻豆| 亚洲精品在线观看二区| 欧美精品啪啪一区二区三区| 欧美大码av| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 久久香蕉国产精品| 最好的美女福利视频网| 国产精品98久久久久久宅男小说| 欧美大码av| 欧美丝袜亚洲另类 | 免费在线观看影片大全网站| 一级毛片女人18水好多| 91麻豆av在线| 日韩大尺度精品在线看网址 | 国产深夜福利视频在线观看| 99国产综合亚洲精品| 成人亚洲精品av一区二区 | 日日干狠狠操夜夜爽| 国产精品 欧美亚洲| 在线观看www视频免费| 美女高潮到喷水免费观看| 操美女的视频在线观看| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 午夜a级毛片| 在线观看午夜福利视频| 免费观看精品视频网站| 日韩精品青青久久久久久| 久久中文字幕一级| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 757午夜福利合集在线观看| 午夜福利一区二区在线看| 91国产中文字幕| 在线观看舔阴道视频| 午夜福利欧美成人| 久久99一区二区三区| 成人影院久久| 成人av一区二区三区在线看| 91成年电影在线观看| 精品无人区乱码1区二区| 亚洲国产精品合色在线| 午夜a级毛片| 麻豆av在线久日| 欧美最黄视频在线播放免费 | 视频区欧美日本亚洲| 欧美丝袜亚洲另类 | 精品一品国产午夜福利视频| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o| 免费在线观看日本一区| 最好的美女福利视频网| 母亲3免费完整高清在线观看| svipshipincom国产片| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 国产精品九九99| 精品午夜福利视频在线观看一区| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 免费av毛片视频| 99热国产这里只有精品6| 亚洲专区字幕在线| 一区二区日韩欧美中文字幕| 在线观看免费日韩欧美大片| 免费一级毛片在线播放高清视频 | 亚洲自拍偷在线| 又大又爽又粗| 黄色毛片三级朝国网站| 亚洲精品在线观看二区| 亚洲一码二码三码区别大吗| 制服人妻中文乱码| 欧美日韩亚洲高清精品| 国产精品av久久久久免费| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 国产视频一区二区在线看| 午夜福利免费观看在线| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 黄色成人免费大全| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀| 99在线视频只有这里精品首页| 免费日韩欧美在线观看| 欧美黑人欧美精品刺激| 国产成人av教育| 欧美日韩av久久| 岛国视频午夜一区免费看| 国产极品粉嫩免费观看在线| 亚洲色图av天堂| 亚洲中文av在线| 亚洲avbb在线观看| 亚洲精品中文字幕在线视频| 久久人妻熟女aⅴ| 人妻丰满熟妇av一区二区三区| 村上凉子中文字幕在线| 人成视频在线观看免费观看| 男女高潮啪啪啪动态图| 日本五十路高清| 两性夫妻黄色片| 一本大道久久a久久精品| 日韩欧美一区视频在线观看| 欧美精品一区二区免费开放| 色播在线永久视频| 黄色女人牲交| 人人妻人人澡人人看| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 国产欧美日韩精品亚洲av| 亚洲欧美精品综合久久99| 老司机在亚洲福利影院| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 亚洲熟妇中文字幕五十中出 | 久久人妻av系列| 日韩国内少妇激情av| 久久久国产欧美日韩av| 91成年电影在线观看| av福利片在线| 美女扒开内裤让男人捅视频| 精品国产乱子伦一区二区三区| 黑人巨大精品欧美一区二区mp4| 亚洲自拍偷在线| 黄色视频,在线免费观看| 免费在线观看亚洲国产| 久久伊人香网站| 777久久人妻少妇嫩草av网站| 日韩精品青青久久久久久| 国产三级黄色录像| 69精品国产乱码久久久| 黄色怎么调成土黄色| 精品国产亚洲在线| 国产精品免费一区二区三区在线| 国产精品久久视频播放| 丁香六月欧美| avwww免费| 久久这里只有精品19| 在线观看www视频免费| 高清黄色对白视频在线免费看| 91老司机精品| 在线视频色国产色| 国产精品 国内视频| 窝窝影院91人妻| 免费少妇av软件| 亚洲一卡2卡3卡4卡5卡精品中文| 国产免费男女视频| 宅男免费午夜| 女人被狂操c到高潮| 欧美日韩黄片免| 精品免费久久久久久久清纯| 淫妇啪啪啪对白视频| 日本欧美视频一区| 一级作爱视频免费观看| 久久久久国产精品人妻aⅴ院| 国产成年人精品一区二区 | 亚洲国产欧美日韩在线播放| 久久人妻福利社区极品人妻图片| 淫妇啪啪啪对白视频| 丁香欧美五月| 后天国语完整版免费观看| 欧美人与性动交α欧美软件| 老汉色av国产亚洲站长工具| 首页视频小说图片口味搜索| 国产精品98久久久久久宅男小说| 亚洲成av片中文字幕在线观看| 亚洲男人的天堂狠狠| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 亚洲一码二码三码区别大吗| 成人精品一区二区免费| 一a级毛片在线观看| 两性夫妻黄色片| 亚洲专区国产一区二区| 国内毛片毛片毛片毛片毛片| 多毛熟女@视频| 午夜日韩欧美国产| 亚洲精品中文字幕一二三四区| 欧美黄色淫秽网站| 女人被躁到高潮嗷嗷叫费观| av网站免费在线观看视频| 看片在线看免费视频| 午夜免费观看网址| 国产成人欧美在线观看| 国产深夜福利视频在线观看| 亚洲九九香蕉| 怎么达到女性高潮| 国产一区在线观看成人免费| 97超级碰碰碰精品色视频在线观看| 在线观看www视频免费| 最近最新中文字幕大全免费视频| 一级毛片精品| 亚洲av美国av| 法律面前人人平等表现在哪些方面| 新久久久久国产一级毛片| 在线观看日韩欧美| 又紧又爽又黄一区二区| 日日干狠狠操夜夜爽| 亚洲av成人一区二区三| 精品乱码久久久久久99久播| 欧美中文综合在线视频| 亚洲精品一区av在线观看| 69精品国产乱码久久久| 在线观看www视频免费| 在线观看午夜福利视频| 我的亚洲天堂| 久热这里只有精品99| 美女扒开内裤让男人捅视频| 日韩成人在线观看一区二区三区| 日本vs欧美在线观看视频| 一进一出抽搐gif免费好疼 | 亚洲一区二区三区不卡视频| 久久久久久大精品| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 久久久水蜜桃国产精品网| 我的亚洲天堂| 99国产精品免费福利视频| 欧美久久黑人一区二区| 亚洲第一青青草原| www.熟女人妻精品国产| av在线播放免费不卡| 欧美一级毛片孕妇| 天天影视国产精品| 女人被狂操c到高潮| 久久国产乱子伦精品免费另类| 夜夜夜夜夜久久久久| 久久国产乱子伦精品免费另类| 黄色片一级片一级黄色片| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 亚洲人成电影免费在线| 精品一区二区三卡| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | 免费观看人在逋| 久久香蕉精品热| 三级毛片av免费| 亚洲片人在线观看| 中文字幕av电影在线播放| 久久精品国产亚洲av高清一级| 精品国产亚洲在线| 国产单亲对白刺激| 深夜精品福利| 老司机深夜福利视频在线观看| a在线观看视频网站| 波多野结衣高清无吗| 黑人猛操日本美女一级片| 国产精品九九99| 美女国产高潮福利片在线看| 99香蕉大伊视频| 欧美在线黄色| 可以在线观看毛片的网站| 最近最新中文字幕大全免费视频| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 人妻久久中文字幕网| 在线天堂中文资源库| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 国产精品偷伦视频观看了| 国产亚洲精品第一综合不卡| 9色porny在线观看| 18禁美女被吸乳视频| 999久久久精品免费观看国产| 久久久国产成人精品二区 | 热re99久久国产66热| 免费人成视频x8x8入口观看| 91字幕亚洲| 成人18禁在线播放| 一个人免费在线观看的高清视频| 国产视频一区二区在线看| 夜夜夜夜夜久久久久| 88av欧美| 亚洲国产精品合色在线| 女警被强在线播放| 欧美黑人精品巨大| 精品卡一卡二卡四卡免费| 亚洲人成电影观看| 久久久国产欧美日韩av| 精品国产乱子伦一区二区三区| 满18在线观看网站| 纯流量卡能插随身wifi吗| svipshipincom国产片| 亚洲人成77777在线视频| 国产亚洲精品久久久久久毛片| 性少妇av在线| 黄片小视频在线播放| 两性午夜刺激爽爽歪歪视频在线观看 | 午夜精品在线福利| 天天影视国产精品| 亚洲精品av麻豆狂野| 母亲3免费完整高清在线观看| 波多野结衣高清无吗| 最近最新中文字幕大全电影3 | 在线观看一区二区三区激情| 人妻丰满熟妇av一区二区三区| 久久久久久久精品吃奶| 国产深夜福利视频在线观看| 久久国产精品人妻蜜桃| 国产伦人伦偷精品视频| 国产精品综合久久久久久久免费 | 日日夜夜操网爽| 久久亚洲真实| 99国产极品粉嫩在线观看| 亚洲情色 制服丝袜| 精品免费久久久久久久清纯| 午夜精品国产一区二区电影| 亚洲精品国产色婷婷电影| 国内毛片毛片毛片毛片毛片| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 久久伊人香网站| 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_| 日本黄色视频三级网站网址| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 成人免费观看视频高清| 亚洲三区欧美一区| 精品欧美一区二区三区在线| 亚洲中文av在线| 亚洲熟女毛片儿| 成熟少妇高潮喷水视频| 久久久久久大精品| 精品国产超薄肉色丝袜足j| 精品欧美一区二区三区在线| 久久精品人人爽人人爽视色| 在线观看www视频免费| 国产精品久久电影中文字幕| 99精国产麻豆久久婷婷| 亚洲国产欧美日韩在线播放|