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    美英早期幾何教科書(shū)中與圓有關(guān)的角

    2022-12-22 02:14:50劉夢(mèng)哲汪曉勤
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年12期
    關(guān)鍵詞:外角圓心角圓周角

    劉夢(mèng)哲 汪曉勤

    (華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

    1 引言

    圓心角、圓周角和弦切角的概念及相關(guān)定理是“圓”一章的重要內(nèi)容,深刻揭示了圓中的弧、弦、角之間的關(guān)系.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出,要求學(xué)生理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念,了解等圓、等弧的概念;探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系,了解并證明圓周角定理及其推論[1].

    在已有的教學(xué)設(shè)計(jì)中,張安軍基于學(xué)生所學(xué)習(xí)過(guò)的垂徑定理,從圓的軸對(duì)稱性引出圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,從而探究弧、弦、圓心角之間的關(guān)系[2].高建成基于學(xué)科大概念對(duì)圓周角的教學(xué)進(jìn)行重構(gòu),由圓心角類比圓周角,由此形成定義,從分類討論中提煉模型,由此證明定理[3].林秋華在圓周角定義的基礎(chǔ)上,得到弦切角的定義,并從動(dòng)態(tài)的角度引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、歸納得到弦切角定理[4].可見(jiàn),在實(shí)際教學(xué)中,教師會(huì)讓學(xué)生通過(guò)觀察,給出圓心角、圓周角和弦切角的定義;通過(guò)探究圓的旋轉(zhuǎn)不變性,發(fā)現(xiàn)弧、弦、圓心角之間的關(guān)系;通過(guò)分類討論并利用三角形外角定理,證明圓周角定理.

    HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于學(xué)生理解知識(shí)、掌握技能以及增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)過(guò)程與方法的理解起到了十分重要的作用[5].然而,手頭無(wú)史料卻成為阻礙教師在教學(xué)過(guò)程中開(kāi)展HPM實(shí)踐的一大原因.教師對(duì)圓心角、圓周角和弦切角的歷史知之甚少,相關(guān)的HPM課例付之闕如.鑒于此,本文聚焦圓心角、圓周角和弦切角,對(duì)美英早期幾何教科書(shū)進(jìn)行考察,希望從中獲得恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)素材和思想啟迪,為今后的課例研究提供參考.

    2 早期教科書(shū)的選取

    本文選取1829—1948年間出版的87種美英早期幾何教科書(shū)作為研究對(duì)象,以20年為一個(gè)時(shí)間段進(jìn)行劃分,其出版時(shí)間分布情況如圖1所示.其中,對(duì)于同一作者再版的教科書(shū),若內(nèi)容無(wú)顯著變化,則選取最早的版本,若內(nèi)容有顯著變化,則將其視為不同的教科書(shū).

    圖1 87種美英早期幾何教科書(shū)的出版時(shí)間分布

    關(guān)于圓心角、圓周角和弦切角的內(nèi)容主要位于“圓”“直線和圓”“角度測(cè)量”“圓和正多邊形”等章節(jié)中.其中,圓心角和圓周角的概念大多出現(xiàn)在“圓”一章的“定義”一節(jié),圓心角定理大多出現(xiàn)在“圓心角”一節(jié),而圓周角定理和弦切角定理大多出現(xiàn)在“角度測(cè)量”一節(jié).

    3 圓心角的概念

    在58種給出圓心角概念的教科書(shū)中,定義方法可以分為鄰邊定義、靜態(tài)定義和頂點(diǎn)定義3類,具體分類情況見(jiàn)表1.

    表1 圓心角概念的定義分類

    4 圓心角定理

    所謂圓心角定理,即在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,相等的弧所對(duì)的圓心角相等.因此,證明圓心角定理需證明以下兩個(gè)命題:

    命題1 在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等;

    命題2 在同圓或等圓中,相等的弧所對(duì)的圓心角相等.

    4.1 命題1的證明

    ·疊合法

    圖2 命題1的證明

    ·弧弦關(guān)系法

    ·比例法

    4.2 命題2的證明

    ·疊合法

    類似于證明命題1的方法,通過(guò)平移和旋轉(zhuǎn)使兩扇形重合后同樣可以證明命題2.有46種教科書(shū)采用了疊合法,其中27種選擇從半徑重合出發(fā),14種選擇從弧重合出發(fā),5種僅提及使用這一方法.

    ·弧弦關(guān)系法

    ·反證法

    通過(guò)假設(shè)在同圓或等圓中,等弧所對(duì)圓心角不相等,再利用命題1中的結(jié)論即可導(dǎo)出矛盾.有3種教科書(shū)采用了這一方法.

    圖3 利用反證法證明命題2

    ·比例法

    有2種教科書(shū)采用這一方法.在同圓或等圓中,因?yàn)閳A心角所對(duì)的弧相等,即兩弧的比值為1,而圓心角的比值等于其所對(duì)弧長(zhǎng)的比值,所以兩弧所對(duì)圓心角也相等[11].

    ·圓周角法

    圖4 利用圓周角法證明命題2

    ·逆定律法

    所謂逆定律(law of converse)是指:若A>B?X>Y,A=B?X=Y,AY?A>B,X=Y?A=B,X

    5 圓周角的概念

    在87種美英早期教科書(shū)中,除5種沒(méi)有給出圓周角概念外,其余82種教科書(shū)通常將圓周角稱為an inscribed angle或an angle inscribed in a circle,并給出了詳細(xì)解釋.圓周角概念的定義方法可以分為靜態(tài)定義、鄰邊定義和動(dòng)態(tài)定義3類.表2是圓周角概念的定義分類情況.

    表2 圓周角概念的定義分類

    6 圓周角定理

    在87種美英早期教科書(shū)中,78種教科書(shū)將圓周角定理表述為:圓周角等于其所對(duì)弧的一半;9種教科書(shū)將其表述為:一條弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)圓心角的一半.后者與現(xiàn)行教科書(shū)給出的表述相一致.其中,證明上述定理的方法可以分為三角形外角法、平行線法以及弦切角法3類.

    6.1 三角形外角法

    在給出圓周角定理證明過(guò)程的86種教科書(shū)中,有93%的教科書(shū)利用了三角形外角定理.如圖5,在⊙O上任取一個(gè)圓周角∠BAC,于是可以分三種情況進(jìn)行討論,即圓心O在∠BAC的邊上、內(nèi)部以及外部[17].

    圖5 利用三角形外角法證明圓周角定理

    如圖5(1),即圓心O在∠BAC的邊AB上的情況.連結(jié)OC,因?yàn)镺A=OC,所以∠BAC=∠C,于是,由三角形外角定理可知,∠BOC=∠BAC+∠C=2∠BAC.對(duì)于圖5(2)的情況,因?yàn)椤螧OD=2∠BAD,∠DOC=2∠DAC,故∠BOC=2∠BAC.同理,對(duì)于圖5(3)的情況,也可得∠BOC=2∠BAC.

    6.2 平行線法

    圖6 利用平行線法證明圓周角定理

    有3種教科書(shū)采用了平行線法,即過(guò)圓心作圓心角一邊的平行線,進(jìn)而完成證明.對(duì)于圓周角一邊過(guò)圓心的情形,如圖6,過(guò)圓心O作OE∥AC,于是∠BAC=∠BOE,∠C=∠COE.又因?yàn)镺A=OC,所以∠BAC=∠C,于是∠BAC=∠BOE=∠COE,故∠BOC=2∠BAC.其他兩種情形的論證同6.1節(jié)[18].

    6.3 弦切角法

    圖7 利用弦切角定理證明圓周角定理

    另一種方法為Grund所采用.如圖7(2),因?yàn)椤螧OA=2∠BAE,∠COA=2∠CAD,2(∠BAE+∠BAC+∠CAD)=360°,故得∠BOC=360°-(∠BOA+∠COA)=360°-2(∠BAE+∠CAD)=2∠BAC.[11]

    7 弦切角及弦切角定理

    在87種美英早期教科書(shū)中,并沒(méi)有直接給出弦切角的概念,而只是在弦切角定理中有所提及.其中,有54種教科書(shū)在定理或證明中將弦切角定義為由一條切線和一條過(guò)切點(diǎn)的弦所夾的角;有32種教科書(shū)將弦切角定義為由切線和弦所夾的角,但沒(méi)有指出弦切角的頂點(diǎn)在圓周上,而是在圖中指明弦切角;剩余1種教科書(shū)中沒(méi)有弦切角定理.

    相比于弦切角概念的單一表述,弦切角定理的證明方法則非常豐富.所謂弦切角定理,即弦切角的大小等于它所夾的弧所對(duì)圓心角的一半,等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.在84種給出弦切角定理證明的教科書(shū)中,證明方法可以分為圓周角法、平行線法、垂徑定理法和動(dòng)態(tài)法4類.

    7.1 圓周角法

    有超過(guò)半數(shù)的教科書(shū)在證明弦切角定理的時(shí)候,不約而同地用到了圓周角定理的3個(gè)推論,即 ①同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,②直徑所對(duì)的圓周角是直角,③圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

    圖8 利用圓周角法證明弦切角定理

    7.2 平行線法

    圖9 利用平行線法證明弦切角定理

    7.3 垂徑定理法

    圖10 利用垂徑定理法證明弦切角定理

    7.4 動(dòng)態(tài)法

    圖11 利用動(dòng)態(tài)法證明弦切角定理

    8 教學(xué)啟示

    綜上所述,在與圓有關(guān)的角這一主題上,美英早期教科書(shū)為我們呈現(xiàn)出圓心角、圓周角和弦切角的多種定義方式以及圓心角定理、圓周角定理和弦切角定理的多種證明方法,這些方式或方法為今日教學(xué)帶來(lái)了諸多啟示.

    第一,在引入圓心角、圓周角和弦切角的概念時(shí),可以先讓學(xué)生嘗試從這幾個(gè)角的名字出發(fā)進(jìn)行描述,隨后向?qū)W生指出圓中這三個(gè)角的位置并讓學(xué)生予以補(bǔ)充,最后教師對(duì)不同的定義方法進(jìn)行總結(jié)和完善.這樣循循善誘的教法,一方面給予了學(xué)生今后自學(xué)概念的方法,更重要的是讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程,有助于構(gòu)建知識(shí)之諧.

    第二,在證明圓心角定理、圓周角定理以及弦切角定理時(shí),教科書(shū)上單一的證明方法可能會(huì)束縛學(xué)生的思維,形成思維定勢(shì),這并不符合創(chuàng)新性人才培養(yǎng)的要求.教師可以引導(dǎo)學(xué)生一題多思、一題多解、一題多變,在掌握課本上的證明方法之后,開(kāi)展小組探究活動(dòng),嘗試使用不同的工具來(lái)證明這些定理.一方面,“頭腦風(fēng)暴”式的數(shù)學(xué)課堂有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造能力,提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,最終開(kāi)拓學(xué)生的思路,發(fā)展學(xué)生的智力.另一方面,學(xué)生在探究中能加深對(duì)于這幾個(gè)定理的理解,在豁然開(kāi)朗時(shí)體會(huì)到成功所帶來(lái)的喜悅,有助于營(yíng)造探究之樂(lè).

    第三,抽絲剝繭,深入挖掘定理證明背后的數(shù)學(xué)思想.例如,采用疊合法證明圓心角定理中的類比思想、利用三角形外角定理證明圓周角定理中的分類討論思想、采用平行線法證明弦切角定理中的化歸思想等,無(wú)疑是數(shù)學(xué)課堂上的寶貴思想養(yǎng)料.這一切不僅使原本枯燥的定理學(xué)習(xí)變得精彩紛呈,同時(shí)還有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng),有助于彰顯方法之美、實(shí)現(xiàn)能力之助.

    第四,在介紹圓心角、圓周角和弦切角的概念及定理時(shí),可以借助微視頻,展示各國(guó)數(shù)學(xué)家探索這三類角的概念和有關(guān)定理的過(guò)程,追溯知識(shí)源流,呈現(xiàn)多元文化.與此同時(shí),數(shù)學(xué)家對(duì)于數(shù)學(xué)真理的不懈追求與熱愛(ài),有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,體會(huì)數(shù)學(xué)背后的理性精神,最終達(dá)成德育之效.

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