簡(jiǎn)諧激勵(lì)下阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)多尺度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

倪維宇，張橫，姚勝衛(wèi)

緩沖與隔振

簡(jiǎn)諧激勵(lì)下阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)多尺度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

倪維宇a，張橫b，姚勝衛(wèi)a

（上海理工大學(xué) a.公共實(shí)驗(yàn)中心 b.機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093）

為得到抗振性能良好的板殼結(jié)構(gòu)，保證設(shè)備的正常工作，文中提出一種板殼阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)多尺度優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。以動(dòng)柔度為目標(biāo)，建立頻域激勵(lì)下和固定頻率點(diǎn)激勵(lì)下板殼阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)中阻尼材料宏觀分布和微結(jié)構(gòu)協(xié)同設(shè)計(jì)的多尺度問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)目標(biāo)函數(shù)和約束條件對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度，并基于移動(dòng)漸近線法求解優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。所提多尺度設(shè)計(jì)方法可以有效獲得板殼結(jié)構(gòu)最優(yōu)阻尼材料宏觀布局和最優(yōu)阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)構(gòu)型，提高了結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能，同時(shí)結(jié)果也表明涂敷阻尼復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)相較于僅涂敷單一阻尼材料的振動(dòng)響應(yīng)大幅減小。研究表明，不同激勵(lì)頻率下阻尼材料的宏觀分布形態(tài)不同，阻尼材料主要分布于結(jié)構(gòu)模態(tài)振型位移的最大處和支撐端，通過(guò)加強(qiáng)結(jié)構(gòu)的剛度，抑制了結(jié)構(gòu)變形，減小了振動(dòng)響應(yīng)。微結(jié)構(gòu)構(gòu)型基本類似，其基本形態(tài)都是低剛度、高阻尼材料呈條狀分布，條狀分布的阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)在受彎方向上的剛度較大，可以有效抵制結(jié)構(gòu)的彎曲變形。

阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)；多尺度；拓?fù)鋬?yōu)化；阻尼層；簡(jiǎn)諧激勵(lì)

隨著尖端科技的不斷發(fā)展，高精度的產(chǎn)品設(shè)備在包裝以及運(yùn)輸過(guò)程中對(duì)包裝材料的隔振降噪的要求越發(fā)嚴(yán)格。在大面積的板殼包裝材料中，外部激勵(lì)產(chǎn)生的振動(dòng)往往需要一定的消退時(shí)間，板殼振動(dòng)問(wèn)題在包裝工程中顯得尤為突出，因此，低質(zhì)量、高剛度特性板殼材料的振動(dòng)特性研究近年來(lái)成為新的研究熱點(diǎn)。在包裝工程的振動(dòng)控制領(lǐng)域，通常希望在一定的設(shè)計(jì)條件下有效降低振動(dòng)的幅值，以提高設(shè)備結(jié)構(gòu)的工作精度和可靠性。在設(shè)備結(jié)構(gòu)上增加阻尼材料形成復(fù)合結(jié)構(gòu)，是控制結(jié)構(gòu)振動(dòng)的有效辦法，通過(guò)阻尼材料的耗能實(shí)現(xiàn)減小振動(dòng)幅值和快速衰減振動(dòng)的目的，如運(yùn)載裝備中承受動(dòng)態(tài)載荷的板殼結(jié)構(gòu)，可通過(guò)對(duì)阻尼層的優(yōu)化設(shè)計(jì)減小板殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)，減小噪聲，提高舒適性，因此，針對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)載荷的響應(yīng)最小化問(wèn)題開展研究具有重要價(jià)值。

在阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)宏觀分布設(shè)計(jì)方面，Kang等[1]以簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)最小為目標(biāo)對(duì)殼結(jié)構(gòu)的阻尼材料分布進(jìn)行了設(shè)計(jì)。Kim等[2]通過(guò)將結(jié)構(gòu)模態(tài)的阻尼比最大作為設(shè)計(jì)目標(biāo)，以殼結(jié)構(gòu)阻尼材料的分布為研究對(duì)象進(jìn)行了設(shè)計(jì)。Yamamoto等[3]基于改進(jìn)的模態(tài)應(yīng)變能法，將系統(tǒng)的模態(tài)阻尼比最大為優(yōu)化目標(biāo)，研究了板殼結(jié)構(gòu)的阻尼層優(yōu)化問(wèn)題。Takezawa等[4]以減小共振響應(yīng)幅值為目標(biāo)，研究了阻尼材料的最優(yōu)分布問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)最小的附加質(zhì)量條件下得到最優(yōu)阻尼材料分布形式。房占鵬等[5]優(yōu)化了頻帶激勵(lì)下阻尼材料的分布。蔣亞禮等[6]、賀紅林等[7]同樣研究了阻尼材料的分布問(wèn)題。盡管阻尼材料的分布設(shè)計(jì)可以有效提高結(jié)構(gòu)阻尼，但是由于高阻尼材料（如橡膠）模量小、密度大的特點(diǎn)，不可避免地會(huì)減小原結(jié)構(gòu)的動(dòng)剛度，由此可能引發(fā)新的振動(dòng)問(wèn)題，因此在不降低結(jié)構(gòu)剛度的前提下，對(duì)結(jié)構(gòu)阻尼的優(yōu)化設(shè)計(jì)就顯得尤為重要。從材料設(shè)計(jì)的角度出發(fā)，通過(guò)對(duì)復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì)，使得設(shè)計(jì)的復(fù)合材料兼具高剛度高阻尼特性，有效提高結(jié)構(gòu)的剛度和阻尼。

針對(duì)材料微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題，Yi等[8-10]研究表明復(fù)合材料的剛度和阻尼與其微結(jié)構(gòu)構(gòu)型有關(guān)，以提高材料阻尼為目標(biāo)，采用逆均勻化方法，實(shí)現(xiàn)了復(fù)合材料的微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。Chen等[11]研究了材料剪切模量與阻尼之間的關(guān)系，以剪切模量最大為目標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)。Huang等[12]對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的選擇在阻尼復(fù)合材料中的影響進(jìn)行了研究，分析了剛度和阻尼作為設(shè)計(jì)目標(biāo)對(duì)微結(jié)構(gòu)構(gòu)型的影響。上述的研究都是針對(duì)復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究的，設(shè)計(jì)目標(biāo)多為復(fù)合材料的材料屬性，如阻尼、剛度等，而非兼顧到關(guān)于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題。再例如，以結(jié)構(gòu)的宏觀性能為目標(biāo)進(jìn)行研究時(shí)，Liu等[13]在對(duì)阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的微結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，是在以結(jié)構(gòu)頻率為約束的前提下完成的。Chen等[14]同樣是以結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比為目標(biāo)，經(jīng)過(guò)優(yōu)化實(shí)現(xiàn)了復(fù)合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)值都有所減小。Andreassen等[15]研究了一種關(guān)于阻尼結(jié)構(gòu)的多尺度設(shè)計(jì)方法，通過(guò)最大化阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)的阻尼性能，在獲得阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)構(gòu)型的優(yōu)化結(jié)果后，再采用優(yōu)化已經(jīng)得到的微結(jié)構(gòu)構(gòu)型在宏觀上進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)而得到其宏觀上的最優(yōu)分布，但該研究方法實(shí)際上仍是2個(gè)單尺度設(shè)計(jì)方法，并非多尺度設(shè)計(jì)方法。Zhang等[16]以結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比最大為目標(biāo)，對(duì)自由阻尼層結(jié)構(gòu)的多尺度設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行了研究，并未對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行研究。

目前，關(guān)于阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究多數(shù)停留在僅宏觀尺度或僅微觀尺度，而多尺度設(shè)計(jì)的研究較少，但其可以在保證不降低結(jié)構(gòu)性能的前提下最大限度的節(jié)省材料。基于以上分析，文中對(duì)阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)在給定簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的響應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，研究在動(dòng)態(tài)載荷作用下阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的兩尺度設(shè)計(jì)問(wèn)題，如何對(duì)阻尼材料的分布以及阻尼材料微結(jié)構(gòu)同時(shí)進(jìn)行設(shè)計(jì)，進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的靈敏度分析，以結(jié)構(gòu)柔度為目標(biāo)，分別對(duì)頻帶激勵(lì)下和固定頻率點(diǎn)激勵(lì)下的阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)進(jìn)行兩尺度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

1 阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔度

=T(1)

式（1）為動(dòng)柔度定義，為結(jié)構(gòu)的位移列陣，為載荷向量。由于阻尼材料的作用，結(jié)構(gòu)的位移列陣為復(fù)數(shù)，因此動(dòng)柔度也是復(fù)數(shù)，其表達(dá)式為：

=R+iI(2)

式中：R、I分別為動(dòng)柔度的實(shí)部和虛部。

根據(jù)式（2），動(dòng)柔度又可表示為：

根據(jù)式（1）、式（2）可得，

=T=T(R+ iI?2)(4)

將結(jié)構(gòu)的位移列陣表示為復(fù)數(shù)形式，式（4）可改寫為式（5）所示形式。

經(jīng)整理得：

根據(jù)式（6），可得R，I分別為：

2 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型及靈敏度分析

以結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔度最小為目標(biāo)對(duì)阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)進(jìn)行兩尺度優(yōu)化設(shè)計(jì)，其數(shù)學(xué)模型為：

式中：為設(shè)計(jì)變量，其中x為微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量、y為基板上宏觀分布的設(shè)計(jì)變量；為結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔度；0MI、0MA分別為宏微觀原始結(jié)構(gòu)體積；MI、MA分別為宏微觀優(yōu)化后結(jié)構(gòu)體積；MI、MA分別是宏微觀體積分?jǐn)?shù)。

杜建鑌等[17]對(duì)動(dòng)柔度設(shè)計(jì)中激勵(lì)頻率對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果的影響問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)研究，指出在外部激勵(lì)略小于結(jié)構(gòu)的固有頻率時(shí)比在外部激勵(lì)略大于結(jié)構(gòu)固有頻率時(shí)可得到更理想的設(shè)計(jì)結(jié)果，但若實(shí)際激勵(lì)頻率大于結(jié)構(gòu)固有頻率時(shí)，可通過(guò)頻率漸變的方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)柔度最優(yōu)化設(shè)計(jì)。為了減小結(jié)構(gòu)在固有頻率附近的響應(yīng)，文中將激勵(lì)頻率均設(shè)置為略小于結(jié)構(gòu)的固有頻率，以得到理想的設(shè)計(jì)結(jié)果。

通過(guò)對(duì)式（3）求導(dǎo)，可得到目標(biāo)函數(shù)動(dòng)柔度對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度：

式（10）中R，I對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度分別為：

由于基板為非設(shè)計(jì)域，因此R對(duì)微觀和宏觀設(shè)計(jì)變量（x,y）的靈敏度可根據(jù)式（13）和式（14）計(jì)算得到。

I對(duì)微觀和宏觀設(shè)計(jì)變量(xy)的靈敏度可根據(jù)式（15）和（16）計(jì)算得到。

質(zhì)量矩陣分別對(duì)微觀設(shè)計(jì)變量x和宏觀設(shè)計(jì)變量y的靈敏度為：

將式（13）、（15）、（17）和式（14）、（16）、（18）分別代入式（11）和（12）即可得到動(dòng)柔度目標(biāo)函數(shù)分別對(duì)微觀設(shè)計(jì)變量x和宏觀設(shè)計(jì)變量y的靈敏度。

3 設(shè)計(jì)流程

將基板為非設(shè)計(jì)域，阻尼層為設(shè)計(jì)域，建立自由阻尼層兩尺度的優(yōu)化模型。通過(guò)對(duì)微結(jié)構(gòu)中單胞進(jìn)行模型，將其所有的單元設(shè)定為設(shè)計(jì)變量，采用均勻化方法進(jìn)行分析，可得單胞模型的等效復(fù)彈性矩陣。然后對(duì)結(jié)構(gòu)宏觀性能進(jìn)行有限元分析，借助已得到的單胞等效復(fù)彈性矩陣對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，從而得到復(fù)合結(jié)構(gòu)的整體性能。最后進(jìn)行2個(gè)尺度上的靈敏度分析，基于移動(dòng)漸進(jìn)算法更新設(shè)計(jì)變量x和y，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化過(guò)程中相連2次的差值小于允許的容差，或觸發(fā)迭代次數(shù)上限時(shí)，則退出尋優(yōu)，否則返回微結(jié)構(gòu)有限元分析，繼續(xù)優(yōu)化，迭代至收斂條件。具體優(yōu)化流程見圖1。對(duì)阻尼復(fù)合材料兩尺度優(yōu)化數(shù)學(xué)模型式（9）的求解，可通過(guò)移動(dòng)漸進(jìn)算法尋優(yōu)得到。

圖1 阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的多尺度設(shè)計(jì)流程

4 算例

以圖2a所示懸臂板結(jié)構(gòu)為例，其長(zhǎng)度=150 mm、寬度=100 mm，金屬基板和阻尼層的厚度均為2 mm。激勵(lì)點(diǎn)為圖2a中的圓點(diǎn)，其位于矩形板最右端中間位置。圖2b為簡(jiǎn)諧激勵(lì)載荷，激勵(lì)幅值為100 N。對(duì)于頻域激勵(lì)，文中算例都是均勻選取11個(gè)頻率點(diǎn)。算例中金屬板的材料為鋁合金，阻尼層中的兩相材料為橡膠和樹脂，分別代表2種典型的材料性能——低剛度高阻尼材料和高剛度低阻尼材料，材料性能見表1。

4.1 頻域激勵(lì)下的兩尺度設(shè)計(jì)

對(duì)圖2所示的懸臂板結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)，宏微觀體積分?jǐn)?shù)分別為MA=0.5和MI=0.8。由于不同初始構(gòu)型對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果有一定影響，故在不同初始構(gòu)型下對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行兩尺度設(shè)計(jì)，初始構(gòu)型見圖3。結(jié)構(gòu)在不同初始微結(jié)構(gòu)下初始結(jié)構(gòu)的前三階固有頻率分別約為75、250和450 Hz，因此在頻段激勵(lì)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，首先將激勵(lì)頻段設(shè)置為60～70 Hz，建立4種結(jié)構(gòu)：model 1的初始微結(jié)構(gòu)1，=7.304、MA=0.38、MI=0.49；model 2的初始微結(jié)構(gòu)2，=6.932、MA=0.39、MI=0.58；model 3的初始微結(jié)構(gòu)3，=6.538、MA=0.41、MI=0.72；model 4的初始微結(jié)構(gòu)4，=6.648、MA=0.41、MI=0.66。4種設(shè)計(jì)結(jié)果見圖4。從圖4結(jié)果可知，model 1、model 2、model 3、model 4這4種結(jié)構(gòu)的材料宏觀分布基本相同，阻尼復(fù)合材料均分布與板的左側(cè)部分，微結(jié)構(gòu)構(gòu)型基本類似，低剛度高阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)略有不同，其基本形態(tài)都是低剛度高阻尼材料分布，即呈條狀分布，由于加載點(diǎn)的位置在結(jié)構(gòu)上下對(duì)稱的中心線上，因此結(jié)構(gòu)主要受到彎矩作用，發(fā)生彎曲變形，條狀分布的阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)在結(jié)構(gòu)受彎方向上的模量較大，可以有效抵制結(jié)構(gòu)的彎曲變形，因此最終的阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)形態(tài)都類似。

圖2 懸臂板結(jié)構(gòu)激勵(lì)位置示意

表1 基板和阻尼材料的性能

Tab.1 Properties of substrates and damping materials

圖3 不同的初始微結(jié)構(gòu)構(gòu)型

圖4 懸臂板激勵(lì)頻率在60～70 Hz時(shí)設(shè)計(jì)結(jié)果

由于激勵(lì)頻段發(fā)生在基頻附近，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)主要是第1階模態(tài)起主要作用，因此結(jié)構(gòu)宏觀的材料分布于結(jié)構(gòu)支撐端，從而來(lái)加強(qiáng)結(jié)構(gòu)，以提高結(jié)構(gòu)基頻，減小振動(dòng)響應(yīng)。從圖4的迭代歷程中可以看出，不同初始構(gòu)型下的設(shè)計(jì)結(jié)果都最終收斂。從目標(biāo)函數(shù)值可以看出，初始構(gòu)型4得到的設(shè)計(jì)結(jié)果的目標(biāo)值最小，此時(shí)微結(jié)構(gòu)中高阻尼相的體積分?jǐn)?shù)為0.66。初始構(gòu)型3得到的設(shè)計(jì)結(jié)果的目標(biāo)函數(shù)值比初始構(gòu)型4得到設(shè)計(jì)結(jié)果的目標(biāo)函數(shù)值略大，同時(shí)其高阻尼相材料的體積分?jǐn)?shù)是最大的。

4.2 固定頻率激勵(lì)下的兩尺度設(shè)計(jì)

對(duì)固定頻率激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)最小化問(wèn)題進(jìn)行設(shè)計(jì)，激勵(lì)頻率設(shè)置為65 Hz，略小于初始結(jié)構(gòu)的基頻，設(shè)計(jì)的4種結(jié)構(gòu)：model 5的初始微結(jié)構(gòu)1，=0.638、MA=0.40、MI=0.49；model 6的初始微結(jié)構(gòu)2，=0.608、MA=0.41、MI=0.58；model 7的初始微結(jié)構(gòu)3，=0.565、MA=0.41、MI=0.68；model 8的初始微結(jié)構(gòu)4，=0.595、MA=0.41、MI=0.63。4種設(shè)計(jì)結(jié)果見圖5。從圖5中可以看出，4種不同構(gòu)型下阻尼材料的宏觀分布基本相同，均分布于板的左側(cè)部分，與60～70 Hz頻段激勵(lì)下的設(shè)計(jì)結(jié)果相同，均是因?yàn)榧?lì)頻率發(fā)生在結(jié)構(gòu)基頻附近，結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)起主導(dǎo)作用，故對(duì)第1階模態(tài)進(jìn)行抑制以減小目標(biāo)函數(shù)值。4種不同初始構(gòu)型下設(shè)計(jì)結(jié)果的微結(jié)構(gòu)構(gòu)型基本類似，且在相同的初始構(gòu)型下與60～70 Hz頻段激勵(lì)下的設(shè)計(jì)結(jié)果相同，不同初始構(gòu)型下設(shè)計(jì)結(jié)果微結(jié)構(gòu)中低剛度高阻尼材料體積分?jǐn)?shù)略有不同。從目標(biāo)函數(shù)值可以看出，初始構(gòu)型3得到的設(shè)計(jì)結(jié)果的目標(biāo)函數(shù)值最小，此時(shí)微結(jié)構(gòu)中高阻尼相的體積分?jǐn)?shù)為0.68。

通過(guò)對(duì)不同的初始構(gòu)型下，以動(dòng)柔度為目標(biāo)的阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)兩尺度設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行研究，證明了該設(shè)計(jì)方法可用于不同初始構(gòu)型下的設(shè)計(jì)，同時(shí)設(shè)計(jì)結(jié)果也表明初始構(gòu)型3下得到的結(jié)果最優(yōu)。當(dāng)懸臂板激勵(lì)頻率為235 Hz，初始構(gòu)型為3時(shí)的設(shè)計(jì)結(jié)果，如圖6所示（激勵(lì)頻率235 Hz，初始微結(jié)構(gòu)3，=0.103、MA=0.49、MI=0.62），可知阻尼材料的宏觀分布與激勵(lì)頻率為65 Hz時(shí)不同，主要是因?yàn)?5 Hz接近于結(jié)構(gòu)的第1階固有頻率，故第1階模態(tài)的響應(yīng)起主要作用，而235 Hz接近于結(jié)構(gòu)的第2階固有頻率，所以第2階模態(tài)的響應(yīng)起主要作用。優(yōu)化后微結(jié)構(gòu)的形態(tài)基本相同，低剛度高阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)為0.62。懸臂板激勵(lì)頻率為420 Hz時(shí)，初始構(gòu)型為3時(shí)的設(shè)計(jì)結(jié)果如圖7所示（激勵(lì)頻率為420 Hz，初始微結(jié)構(gòu)3，=0.300、MA=0.40、MI=0.62），可知阻尼材料的宏觀分布與激勵(lì)頻率為65 Hz和235 Hz時(shí)的不同，主要是因?yàn)?20 Hz接近于結(jié)構(gòu)的第3階固有頻率，第3階模態(tài)的響應(yīng)起主要作用，微結(jié)構(gòu)的形態(tài)與上述算例基本相同。

圖5 懸臂板激勵(lì)頻率為65 Hz時(shí)設(shè)計(jì)結(jié)果

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及分析

為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果的正確性，故對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行試驗(yàn)測(cè)試，根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果判斷設(shè)計(jì)方法以及設(shè)計(jì)結(jié)果的優(yōu)劣性，實(shí)驗(yàn)測(cè)試方案布置見圖8，對(duì)結(jié)構(gòu)左側(cè)夾緊以模擬懸臂板結(jié)構(gòu)。根據(jù)4.1節(jié)和4.2節(jié)算例結(jié)果可知，設(shè)計(jì)結(jié)果中微結(jié)構(gòu)構(gòu)型形態(tài)基本相同，都是低剛度高阻尼材料呈條狀分布，不同之處僅是體積分?jǐn)?shù)有略微區(qū)別，對(duì)比不同微結(jié)構(gòu)初始構(gòu)型設(shè)計(jì)結(jié)果可知，最優(yōu)的微結(jié)構(gòu)中低剛度高阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)約為0.7，故實(shí)驗(yàn)中僅取體積分?jǐn)?shù)為0.7的結(jié)構(gòu)進(jìn)行制作，并分別制作了微結(jié)構(gòu)中僅有低剛度高阻尼材料和僅有高剛度低阻尼材料的試件，如圖9所示，3個(gè)樣件中鋁合金板厚度均為0.8 mm，都是整板左側(cè)涂敷50%，圖9a為左側(cè)涂敷環(huán)氧樹脂，圖9b為左側(cè)涂敷橡膠，圖9c左側(cè)是涂敷微結(jié)構(gòu)（橡膠的體積分?jǐn)?shù)為0.7）。

圖6 懸臂板激勵(lì)頻率為235 Hz時(shí)設(shè)計(jì)結(jié)果

圖7 懸臂板激勵(lì)頻率為420 Hz時(shí)設(shè)計(jì)結(jié)果

圖8 兩尺度阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)方案布置

圖9 不同微結(jié)構(gòu)形態(tài)的阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的實(shí)物

表2 兩尺度設(shè)計(jì)懸臂板仿真與實(shí)驗(yàn)對(duì)比

Tab.2 Comparison between simulation and experiment of cantilever plate with two scale design

圖10 實(shí)驗(yàn)測(cè)試頻率響應(yīng)

經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試，得到結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)見圖10，表2為實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果，盡管兩尺度設(shè)計(jì)的懸臂板實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果與仿真存在一定的誤差，但由于實(shí)驗(yàn)都是在相同實(shí)驗(yàn)條件下進(jìn)行，因此實(shí)驗(yàn)仍可反映設(shè)計(jì)結(jié)果的性能。

在結(jié)構(gòu)左側(cè)涂敷橡膠相較于全涂敷橡膠，實(shí)驗(yàn)測(cè)試和仿真結(jié)果都表明結(jié)構(gòu)的剛度增加，但結(jié)構(gòu)的阻尼減小，以實(shí)驗(yàn)結(jié)果為例，全部涂敷橡膠結(jié)構(gòu)的第1階頻率和阻尼分別為21.6 Hz和0.088，左側(cè)涂敷橡膠的第1階頻率和阻尼分別為28.0 Hz和0.080，結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)幅值變大；結(jié)構(gòu)左側(cè)涂敷環(huán)氧樹脂相較于全涂敷環(huán)氧樹脂，仿真結(jié)果中結(jié)構(gòu)的前兩階頻率增加。第3階頻率減小，實(shí)驗(yàn)結(jié)果中結(jié)構(gòu)的頻率變化不大，實(shí)驗(yàn)和仿真結(jié)果都表明結(jié)構(gòu)的阻尼減小，同樣結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)幅值變大，左側(cè)涂敷環(huán)氧樹脂的板結(jié)構(gòu)其各階模態(tài)頻率是最大的；而涂敷阻尼復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)，見圖9c。雖然其各階模態(tài)頻率略小于左側(cè)涂敷環(huán)氧樹脂結(jié)構(gòu)，但其頻率響應(yīng)在所有結(jié)構(gòu)中響應(yīng)是最小的，同時(shí)仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明，涂敷阻尼復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼在所有結(jié)構(gòu)中是最大的。與基板結(jié)構(gòu)相比，涂敷阻尼復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)其前兩階模態(tài)頻率都大于基板，頻率響應(yīng)減小了約8倍，因此，合理的微結(jié)構(gòu)形式可以使用最少的材料達(dá)到最優(yōu)的結(jié)構(gòu)性能，有效地減小結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。

6 結(jié)語(yǔ)

基于變密度法對(duì)阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的兩尺度優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行研究，通過(guò)兩尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法實(shí)現(xiàn)阻尼復(fù)合材料的微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及其在宏觀上的最優(yōu)分布設(shè)計(jì)。以結(jié)構(gòu)動(dòng)柔度為目標(biāo)對(duì)阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)研究，分別對(duì)頻域激勵(lì)下和固定頻率點(diǎn)激勵(lì)下板殼阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)進(jìn)行兩尺度設(shè)計(jì)。不同激勵(lì)頻率下阻尼材料的宏觀分布形態(tài)不同，阻尼材料主要分布在結(jié)構(gòu)模態(tài)振型位移最大處和支撐附件處，通過(guò)增加結(jié)構(gòu)剛度來(lái)抑制結(jié)構(gòu)變形，減小振動(dòng)響應(yīng)。由于加載位置位于結(jié)構(gòu)中線上，使得不同激勵(lì)頻率下微結(jié)構(gòu)構(gòu)型基本類似，其基本形態(tài)都是低剛度高阻尼材料呈條狀分布。條狀分布的阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)在受彎方向上的剛度較大，可以有效抵制結(jié)構(gòu)的彎曲變形。

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Multi-scale Topology Optimization Design for Damping Composite Structures under Harmonic Load

NI Wei-yua,ZHANG Hengb,YAO Sheng-weia

(a. Centre of Public Experiment, b. School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

The work aims to propose a multi-scale optimization design method of plate and shell damping composite structure to obtain a plate and shell structure with good anti vibration performance and ensure the normal operation of the equipment. Aiming at dynamic flexibility, a mathematical model of multi-scale problem was established under frequency domain excitation and fixed frequency point excitation. Macro distribution of damping materials and microstructure of plate and shell damping composite structure were collaboratively designed. The sensitivity of objective function and constraint conditions to design variables was derived, and the optimization mathematical model was solved based on the moving asymptote method. The proposed multi-scale design method can effectively obtain the optimal macro layout of damping materials and the optimal microstructure configuration of damping composites for plate and shell structures. It improved the structural dynamic performance. At the same time, the results also showed that the vibration response of the structure coated with damping composites was significantly reduced compared with that coated with only a single damping material. The research shows that the macro distribution of damping materials is different under different excitation frequencies. The damping materials are mainly distributed at the maximum displacement of the structural modal shape and the support end. By strengthening the structural stiffness, the structural deformation is restrained and the vibration response is reduced. The microstructure configuration is basically similar. Its basic morphology is that the distribution of low stiffness and high damping materials is strip-shaped. The strip-shaped damping composite microstructure has a large stiffness in the bending direction of the structure, which can effectively resist the bending deformation of the structure.

damping composite structures; multi-scale design; topology optimization; damping layer; harmonic load

TH113.1

A

1001-3563(2022)23-0225-09

10.19554/j.cnki.1001-3563.2022.23.027

2022–07–16

國(guó)家自然科學(xué)基金（52005337）

倪維宇（1986—），男，碩士，實(shí)驗(yàn)師，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械結(jié)構(gòu)優(yōu)化與振動(dòng)分析。

責(zé)任編輯：曾鈺嬋