挖掘典型試題的探究功能

戈峰

【摘 要】為適應(yīng)國(guó)家培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的需求，高考考試內(nèi)容改革從“考知識(shí)”到“考能力”轉(zhuǎn)向“考素養(yǎng)”，從“解答題目”轉(zhuǎn)向“解決問題”。數(shù)學(xué)課堂倡導(dǎo)探究性活動(dòng)，不僅有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而且有利于學(xué)生提升分析問題、解決問題的能力，更重要的是還可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生科學(xué)精神的形成。

【關(guān)鍵詞】試題探究；開放課堂；開發(fā)教材；核心素養(yǎng)

一、引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，為適應(yīng)國(guó)家培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的需求，高考考試內(nèi)容改革從“考知識(shí)”到“考能力”轉(zhuǎn)向“考素養(yǎng)”，從“解答題目”轉(zhuǎn)向“解決問題”。近年來，高考創(chuàng)新了試卷結(jié)構(gòu)，研制了多種新題型，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)和關(guān)鍵能力的考查，這就要求教師在教學(xué)中要重視學(xué)習(xí)過程，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，增強(qiáng)思維能力，提升核心素養(yǎng)。在課堂上，教師要引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的探究能力。數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程，具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探究、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論［1］。本文以一道逆用“阿波羅尼斯圓”性質(zhì)的試題為例，挖掘典型試題的探究功能，以期為教師教學(xué)提供參考。

二、案例分析

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），點(diǎn)B是圓C：x2+y2+2x-3=0上的動(dòng)點(diǎn)，則[AB]+2[BO]的最小值為? ? ?。

1.思路分析

從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，該題有以下常見解題思路。

思路1（從代數(shù)運(yùn)算思考） 設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)，[AB]+2[BO]將會(huì)表示為兩個(gè)根式和的形式。

思路2（從幾何轉(zhuǎn)化思考） 形如[AB]+2[BO]的最值問題容易聯(lián)想起2[BO]中的系數(shù)“2”可能與橢圓、雙曲線的離心率有關(guān)系，從而將2[BO]與圓錐曲線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離聯(lián)系起來。

思路3（從軌跡觀點(diǎn)思考） 設(shè)[OE]=2[OB]，E（x，y），B（x1，y1），則由B點(diǎn)在圓C上運(yùn)動(dòng)可以求出E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程：x2+y2+4x-12=0，此時(shí)[AB]+2[BO]=[AB]+[EO]。

2.解法探究

思路3把[AB]+2[BO]中的2[BO]轉(zhuǎn)化為[EO]，但[AB]+[EO]中點(diǎn)B，E都是動(dòng)點(diǎn)，因此解題難度還是比較大。如果把2[BO]轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到另一個(gè)定點(diǎn)的距離[BD]，那么該題就可理解為圓上一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和的最值。教師可以按照以下探究思路進(jìn)行教學(xué)。

探究1：是否存在定點(diǎn)D，使得[BD]=2[BO]？如果存在，求[AB]+2[BO]的最小值。

生1：假設(shè)存在定點(diǎn)D（a，b），使得[BD]=2[BO]，設(shè)B（x，y），則（x-a）2+（y-b）2=4x2+4y2，化簡(jiǎn)整理得3x2+3y2+2ax+2by-a2-b2=0。

又因?yàn)辄c(diǎn)B（x，y）在圓C：x2+y2+2x-3=0上，兩式消去x2，y2項(xiàng)，整理得（2a-6）x+2by+9-a2-b2=0，由題意知該式有無數(shù)組解，于是有[2a-6=0，2b=0，9-a2-b2=0，]解得[a=3，b=0，]所以D（3，0）。

于是問題轉(zhuǎn)化為[AB]+2[BO]=[AB]+[BD]的最小值，又點(diǎn)A（0，1）在圓C內(nèi)，點(diǎn)D（3，0）在圓C外，點(diǎn)B在圓C上，故[AB]+2[BO]=[AB]+[BD][≥][AD]=[10]，因此所求的最小值為[10]。

【反思小結(jié)】如圖1，上述解法實(shí)際上是將生成圓C（“阿波羅尼斯圓”）的另外一個(gè)點(diǎn)D找到了，其滿足[BD]=2[BO]。它與點(diǎn)O共同生成圓C，從而將[AB]+2[BO]的最小值問題轉(zhuǎn)化為[AB]+[BD]的最小值問題，利用兩點(diǎn)之間線段最短即可解決。學(xué)生在平時(shí)的解題中習(xí)慣于由動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比是一個(gè)不等于1的正實(shí)數(shù)求出圓方程。而本題是已知圓方程、其中一個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)和比值2，由此可求出另外一個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)，這可以看作是“阿波羅尼斯圓”的逆應(yīng)用。教師可以充分利用本題的探究功能對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生思考與發(fā)現(xiàn)問題。

3.本質(zhì)探究

生2：點(diǎn)D（a，0）滿足[BD]=2[BO]，設(shè)B（x，y），則有（x-a）2+y2=4x2+4y2，化簡(jiǎn)整理得3x2+3y2+2ax-a2=0。又因?yàn)辄c(diǎn)B（x，y）在圓C：x2+y2+2x-3=0上，代入前式消去x2，y2項(xiàng)，整理得（2a-6）x+9-a2=0，該式有無數(shù)組解，于是有[2a-6=0，9-a2=0，]解得a=3，所以D（3，0），下同上面生1的解法。

生3：求出圓C與x軸正半軸交點(diǎn)B0（1，0），再由[B0D]=2[B0O]，得D（3，0）。

【反思小結(jié)】在考試過程中，學(xué)生在求解填空題時(shí)常會(huì)用到一些簡(jiǎn)便方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)直覺意識(shí)和方法特殊化。值得注意的是，無論上述哪個(gè)解法都默認(rèn)了點(diǎn)D在x軸上，當(dāng)筆者詢問學(xué)生點(diǎn)D為什么在x軸上時(shí)，他們的回答基本都是：受教材上的一道題目啟發(fā)猜測(cè)而來。

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修2“圓的方程”課后有一道這樣的習(xí)題：已知點(diǎn)M（x，y）與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離之比為[12]，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？畫出滿足條件的點(diǎn)M所構(gòu)成的曲線［2］。設(shè)M（x，y）是所求曲線上任意一點(diǎn)，則把[MOMA]=[12]代入[x2+y2x-32+y2]=[12]，化簡(jiǎn)整理得x2+y2+2x-3=0，而本案例中的圓恰好就是該圓。因此，如果學(xué)生對(duì)教材這道題目比較熟悉，他馬上就會(huì)意識(shí)到該式[MA]=2[MO]中的點(diǎn)A（3，0）就是要找的點(diǎn)D，問題也就迎刃而解了。如果學(xué)生只是知道教材上有一道這樣的題目，就會(huì)有上述的猜測(cè)，這隱含了生成“阿波羅尼斯圓”的兩定點(diǎn)和圓心三點(diǎn)共線的直覺和想法。

探究2：已知A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P滿足[PA]=λ[PB]（λ>0，λ≠1），則點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，試探究點(diǎn)P所在圓的圓心M與A，B三點(diǎn)是否共線？

生4：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由[PA]=λ[PB]（λ>0，λ≠1），得（x-x1）2+（y-y1）2=λ2[（x-x2）2+（y-y2）2]，整理得（1-λ2）x2-2（x1-λ2x2）x+（1-λ2）y2-2（y1-λ2y2）y=λ2（x22+y22）-（x12+y12），化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x-x1-λ2x21-λ22]+[y-y1-λ2y21-λ22]=[λ2（x22+y22）-（x12+y12）1-λ2]+[x1-λ2x21-λ22]+[y1-λ2y21-λ22]，進(jìn)一步整理可得[x-x1-λ2x21-λ22]+[y-y1-λ2y21-λ22]=[λ1-λ22][（x1-x2）2+（y1-y2）2]，…………………①

故圓心M[x1-λ2x21-λ2，y1-λ2y21-λ2]，半徑r=[λ1-λ2][（x1-x2）2+（y1-y2）2=][λ1-λ2][AB]，又由A（x1，y1），B（x2，y2），M[x1-λ2x21-λ2，y1-λ2y21-λ2]，知[MA]=[λ21-λ2]（x2-x1，y2-y1），[MB]=[11-λ2]（x2-x1，y2-y1），易知[MA]//[MB]，又因?yàn)辄c(diǎn)M是公共點(diǎn)，所以A，B，M三點(diǎn)共線。

探究3：既然證明了M，A，B三點(diǎn)共線，能否進(jìn)一步找到三點(diǎn)位置的數(shù)量關(guān)系？

生5：顯然[MA]=λ2[MB]，因?yàn)棣?0，λ≠1，所以當(dāng)λ>1時(shí)，[MA]>[MB]，點(diǎn)M在線段AB的延長(zhǎng)線上；當(dāng)λ∈（0，1）時(shí)，[MA]<[MB]，點(diǎn)M在線段BA的延長(zhǎng)線上。由[MA]=λ2[MB]得[AM]=-λ2[MB]，可知點(diǎn)M分線段AB成定比-λ2。

【反思小結(jié)】如圖2，原題中，學(xué)生想到了利用特殊化的方法求出D點(diǎn)，事實(shí)上，除了圓C與x軸正半軸的交點(diǎn)B0（1，0），圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)B1（0，[3]）也是一個(gè)特殊點(diǎn)，滿足[B1D]=2[B1O]，易得D（3，0）。

探究4：在[△B1CD]中，[OC]=1，[B1O]=[3]，[OD]=3，不難發(fā)現(xiàn)∠CB1D=[90°]，即直線B1D恰好是圓C的切線，這是巧合還是有必然的內(nèi)在聯(lián)系？

生6：如圖3，不妨設(shè)點(diǎn)B（x2，y2）在圓M外，若BP，BQ為圓M的兩條切線，P、Q為切點(diǎn)，因?yàn)镸[x1-λ2x21-λ2，y1-λ2y21-λ2]，所以以BM為直徑的圓的方程為（x-x2）[x-x1-λ2x21-λ2]+（y-y2）[y-y1-λ2y21-λ2]=0。………………………………………②

①-②得直線PQ的方程為[x2-x1-λ2x21-λ2][x-x1-λ2x21-λ2]+[y2-y1-λ2y21-λ2y-y1-λ2y21-λ2]=[λ1-λ22][（x1-x2）2+（y1-y2）2]，將A（x1，y1）代入上式，左邊=[x2-λ2x2-x1+λ2x21-λ2][x1-λ2x1-x1+λ2x21-λ2]+[y2-λ2y2-y1+λ2y21-λ2y1-λ2y1-y1+λ2y21-λ2]=[x2-x11-λ2][λ2（x2-x1）1-λ2]+[y2-y11-λ2][λ2（y2-y1）1-λ2]=[λ1-λ22][（x1-x2）2+（y1-y2）2]=右邊，這就證明了點(diǎn)A在直線PQ上，由圓的性質(zhì)有PA⊥AB。反之，若PA⊥AB，因[MA]+[AB]=[MB]，又[MA]=[λ2][MB]，所以[MA]+[AB]=[1λ2][MA]，解得[MA]=[λ21-λ2][AB]，故[MB]=[11-λ2][AB]。在Rt[△MAP]中，由[MP2]=r2=[λ1-λ22][AB2]，[MA]=[λ21-λ2][AB]，所以[PA2]=[MP2]-[MA2]=[λ21-λ2][AB2]。在Rt[△]BAP中，[PB2]=[PA2]+[AB2]=[11-λ2][AB2]，于是有[PB2]+[MP2]=[11-λ2][AB2]+[λ1-λ22][AB2]=[11-λ22][AB2]=[MB2]，所以MP⊥PB，故點(diǎn)P為切點(diǎn)，同理可得點(diǎn)Q也為切點(diǎn)。

生7：如圖4，不妨設(shè)點(diǎn)B在圓M外，若過點(diǎn)B的直線BP、BQ與圓M相切于P、Q兩點(diǎn)，直線AB與圓M交于P1，P2兩點(diǎn)，設(shè)P1在線段AB上，P2在線段AB外，則[PA]=λ[PB]，因?yàn)锽P與圓M相切于點(diǎn)P，由弦切角定理得∠BPP1=∠AP2P，又[PA]=λ[PB]，[P1A]=λ[P1B]，在[△]? ?PAB中，由平面幾何知識(shí)有∠? ?BPP1=∠? ? ? APP1，故∠? ? ? AP2P=∠? ? ? ?APP1，因?yàn)镻P1⊥PP2，所以∠ APP1+∠ APP2=[90°]，故有 ∠? ? ? AP2P+∠? ? APP2=[90°]，所以PA⊥AB。反之，設(shè)點(diǎn)B在圓M外，過A作AB的垂線交圓M于P，Q兩點(diǎn)，由相交弦定理得[PA]·[AQ]=[P1A]·[P2A]，又由PA⊥AB，所以[PA]=[AQ]，[PA2]=[P1A]·[P2A]，又[P1A]=λ[P1B]，[P2A]=λ[P2B]，于是有[PA2]=λ2[P1B]·[P2B]，又[PA]=λ[PB]，所以[PB2]=[P1B]·[P2B]，[P1B]=[MB]-[MP1]=[MB]-[MP]，[P2B]=[MB]+[MP2]=[MB]+[MP]，所以[PB2]=[MB2]-[MP2]，也就是[PB2]+[MP2]=[MB2]，所以MP⊥[PB]，即PB為圓M的切線，同理BQ也為圓M的切線。

4.總結(jié)遷移

師：我們?cè)趯ふ疑伞鞍⒉_尼斯圓”的另外一個(gè)點(diǎn)的過程中，發(fā)現(xiàn)了一些結(jié)論：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）為不同的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足[PA]=λ[PB]（λ>0，λ≠1），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，記為圓M（圓心為M），不妨設(shè)λ∈（0，1），點(diǎn)B在圓M外，點(diǎn)A在圓M內(nèi)，則有如下結(jié)論：

（1）M，A，B三點(diǎn)共線，且點(diǎn)M分線段AB成定比-λ2，即[AM]=-λ2[MB]。

（2）圓M的半徑r=[λ1-λ2][（x1-x2）2+（y1-y2）2=][λ1-λ2][AB]（λ>0，λ≠1）。

（3）當(dāng)點(diǎn)B在圓M外時(shí)，過點(diǎn)B作圓M的兩條切線與圓M切于P、Q兩點(diǎn)，則直線PQ過A點(diǎn)；反之，若過點(diǎn)A作直徑的垂線交圓M于P、Q兩點(diǎn)，則P、Q為過點(diǎn)B所作圓M兩切線的切點(diǎn)。

【反思小結(jié)】我們?cè)诮鉀Q原問題時(shí)，求另一個(gè)定點(diǎn)（D）的方法可以用“阿波羅尼斯圓”的定義，也就是用代數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程有無數(shù)組解來求解；也可以利用結(jié)論（1）（2）（3）中的任何一個(gè)來進(jìn)行求解。

三、教學(xué)反思

1.開放課堂，激發(fā)探究熱情

傳統(tǒng)的課堂是以傳授知識(shí)為主的課堂，教學(xué)理念比較滯后，課堂設(shè)計(jì)比較封閉，教學(xué)形式比較單一。在傳統(tǒng)的課堂，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、思維活躍度、探究學(xué)習(xí)的熱情就會(huì)大打折扣。隨著社會(huì)的發(fā)展，新時(shí)代需要的是創(chuàng)新型的人才。因此，我們需要開放的教學(xué)理念，釋放學(xué)生的思維；需要開放的教學(xué)設(shè)計(jì)，營(yíng)造寬松的課堂氛圍；開放的組織形式，構(gòu)建新型的師生關(guān)系。開放課堂，使學(xué)生在寬松的氛圍下進(jìn)行平等、愉快地探索學(xué)習(xí)，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，激發(fā)探究問題的熱情；開放課堂，使學(xué)生在課堂上敢想、敢說、敢問、敢做，自主表達(dá)自己的所想、所思、所疑、所創(chuàng)，學(xué)生真正成為課堂的主體。在本教學(xué)過程中，筆者營(yíng)造了寬松的學(xué)習(xí)氛圍，學(xué)生從已獲得的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，體會(huì)了3種解題思路在解決問題中的局限性。在接下來尋找“阿波羅尼斯圓”的另一個(gè)定點(diǎn)時(shí)，學(xué)生的主動(dòng)性被充分調(diào)動(dòng)起來，展開了積極的討論和探究，通過一般情形和特殊情形兩種情況，代數(shù)計(jì)算和幾何推理兩種方法，找到了另一個(gè)定點(diǎn)，最終解決了問題。筆者不是把教學(xué)內(nèi)容簡(jiǎn)單地告訴學(xué)生，而是把獨(dú)立思維的空間和合作探究的時(shí)間留給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、自主探究、合作討論、敢于質(zhì)疑、勇于表達(dá)，把課堂打造為培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和創(chuàng)造性思維的開放式課堂。

2.開發(fā)教材，挖掘探究潛能

高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的趣味性和啟發(fā)性，對(duì)學(xué)生的自主探究具有積極的作用。在日常教學(xué)中，教師大部分的教學(xué)活動(dòng)都是圍繞教材展開的。教材是教師進(jìn)行教學(xué)的依據(jù)，因此，教師在教學(xué)前必須對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行深度挖掘，對(duì)教材內(nèi)容不斷創(chuàng)新。教師對(duì)教材挖掘的深度與準(zhǔn)確度，對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果有著重要的作用。2019年人教版高中數(shù)學(xué)教材中安排了“探究與發(fā)現(xiàn)”和“數(shù)學(xué)探究”欄目，但在實(shí)際的教學(xué)過程中，很多教師未認(rèn)真組織學(xué)生對(duì)這些欄目?jī)?nèi)容進(jìn)行深入探索和思考。事實(shí)上，這些內(nèi)容為探究型課堂教學(xué)提供了豐富的探索素材，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與探究能力提供了廣闊的天地。如果學(xué)生一直以被動(dòng)接受的方式來獲取知識(shí)，那么學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探究能力必然會(huì)成為無源之水、無本之木?！疤骄亢桶l(fā)現(xiàn)”和“數(shù)學(xué)探究”內(nèi)容為學(xué)生提供一個(gè)重新發(fā)現(xiàn)知識(shí)的平臺(tái)。學(xué)生通過親身經(jīng)歷知識(shí)發(fā)現(xiàn)、結(jié)論證明、新知識(shí)應(yīng)用過程，促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)充滿興趣，從而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和探究能力。教材上的例題和習(xí)題不僅是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的主要資料，還是高考命題的重要參考依據(jù)，所以教材上的例題和習(xí)題的探究?jī)r(jià)值也不容忽視?！鞍⒉_尼斯圓”在高中教材中沒有直接給出，只是在蘇教版高中數(shù)學(xué)必修2“圓的方程”課后習(xí)題中出現(xiàn)，但一直是高考命題的熱點(diǎn)。對(duì)于教材上的例題和習(xí)題，教師應(yīng)該注重挖掘其背景和應(yīng)用，體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，適時(shí)對(duì)有關(guān)聯(lián)的各類例題和習(xí)題進(jìn)行整合、重組、演變，使學(xué)生能通過這些變化與聯(lián)系，從不同側(cè)面和多角度把握問題本質(zhì)，觸類旁通。本案例的背景是“阿波羅尼斯圓”，難點(diǎn)是從已知的圓方程、一個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)和比值，求出“阿波羅尼斯圓”另外一個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)，是對(duì)“阿波羅尼斯圓”的逆應(yīng)用，也是對(duì)知識(shí)的延伸和方法的拓展。

3.開展探究，提升核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，教師在課堂教學(xué)過程中“理解數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生與發(fā)展過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想”“關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維品質(zhì)的形成，關(guān)注學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的能力……”［1］。學(xué)生在課堂上不僅學(xué)到大量的科學(xué)知識(shí)，更重要的是在學(xué)習(xí)過程中學(xué)到了研究問題和解決問題的方法、思想、能力，這就要求教師積極開展探究性教學(xué)，注重培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是讓學(xué)生進(jìn)行“再創(chuàng)造”，即數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造，教師的任務(wù)不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生，而是幫助和引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“再創(chuàng)造”工作。這與新課程所倡導(dǎo)的探究活動(dòng)的理念是一致的。本案例的主要任務(wù)是對(duì)一道試題的解法進(jìn)行探究，師生共同經(jīng)歷了“思路分析—解法探究—本質(zhì)探究—總結(jié)遷移”的探究過程。學(xué)生從中不僅學(xué)會(huì)了該題的解法，加深了對(duì)“阿波羅尼斯圓”的認(rèn)識(shí)，而且積累了數(shù)學(xué)探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升了分析問題和解決問題的能力，更重要的是培養(yǎng)了創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］徐稼紅.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2（必修）［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2012.

（責(zé)任編輯：陸順演）