AR（p）模型均值變點(diǎn)的CUSUM估計(jì)

許天明，魏岳嵩，張婷婷

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

0 引言

變點(diǎn)理論結(jié)合時(shí)間序列分析和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)和研究方法，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中非常重要的分支［1］. 變點(diǎn)理論最早由Page［2］提出，并用于解決產(chǎn)品生產(chǎn)的質(zhì)量控制工程問(wèn)題. 變點(diǎn)理論在金融、地質(zhì)、計(jì)算機(jī)、統(tǒng)計(jì)、醫(yī)學(xué)和氣象等更多領(lǐng)域有全新的應(yīng)用［3-5］.

變點(diǎn)的種類(lèi)大致可分3 種：突變點(diǎn)、漸近變點(diǎn)及流行變點(diǎn)［6］. 對(duì)于AR 模型變點(diǎn)的理論研究，Gombay等［7］在Page的基礎(chǔ)上將變點(diǎn)的在線(xiàn)監(jiān)測(cè)模型問(wèn)題推廣至AR（p）模型中. 薛義新等［8］在Gombay的基礎(chǔ)上，分析AR（p）模型參數(shù)變點(diǎn)的在線(xiàn)監(jiān)測(cè)問(wèn)題，得出參數(shù)的最小二乘估計(jì)量，確立參數(shù)變點(diǎn)的殘差CUSUM監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)量. 楊吉斌［9］用貝葉斯法研究AR（p）模型的變點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題和模型參數(shù)的貝葉斯估計(jì)問(wèn)題. 李暢等［10］在楊吉斌的基礎(chǔ)上先后利用極大似然法和貝葉斯估計(jì)法探討AR（p）模型中的變點(diǎn)性質(zhì)，并采用多元統(tǒng)計(jì)方法，得出變點(diǎn)位置估計(jì)的表達(dá)式. Pang等［11］對(duì)于AR（1）模型在未知時(shí)間附近參數(shù)可能發(fā)生結(jié)構(gòu)突變時(shí)的漸近推斷做系列研究，并用蒙特卡羅模擬證明估計(jì)量的有限樣本性質(zhì). Venkatesan［12］分析AR（p）時(shí)間序列模型的方差可能在未知時(shí)間點(diǎn)發(fā)生多次變化，對(duì)于發(fā)生變化的未知時(shí)間點(diǎn)和模型參數(shù)，均發(fā)現(xiàn)后驗(yàn)分布. Qin 等［13］研究線(xiàn)性過(guò)程方差變化的強(qiáng)收斂速度，證明迭代法搜索方差變化較為有效. 張立文［14］對(duì)于AR（p）模型提出2種新型的估計(jì)法：門(mén)限自回歸分位數(shù)復(fù)合估計(jì)法與分位數(shù)平均估計(jì)法. 對(duì)于AR模型變點(diǎn)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的研究，Cliff等［15］提出空間自回歸模型的概念，并對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)與檢驗(yàn)，周佳琪［16］在其基礎(chǔ)上建立空間網(wǎng)絡(luò)自回歸模型，對(duì)合肥市住宅價(jià)格的空間變化進(jìn)行分析.

基于以往的研究，AR（p）模型變點(diǎn)檢測(cè)問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的研究成果較多，對(duì)變點(diǎn)估計(jì)量理論性質(zhì)研究較少. 本文主要討論AR（p）模型均值變點(diǎn)的估計(jì)量的性質(zhì)問(wèn)題，假設(shè)只存在一個(gè)均值變點(diǎn)的情況下，討論變點(diǎn)CUSUM估計(jì)量的相合性及其收斂速度.

1 模型構(gòu)建

2 主要結(jié)論

由引理可知，對(duì)任意ε ＞0 和足夠大的N可得

根據(jù)上式，只需證明當(dāng)n→∞時(shí)，

故定理2得證.

3 結(jié)論

本文討論AR（p）模型單均值變點(diǎn)CUSUM估計(jì)量的性質(zhì). 當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，定理1證明估計(jì)量的強(qiáng)相合性，定理2給出估計(jì)量的強(qiáng)收斂速度. 但是在實(shí)際問(wèn)題的處理中，變點(diǎn)個(gè)數(shù)往往不止一個(gè)，且可能同時(shí)存在多個(gè)均值和方差變點(diǎn)，下一步可以考慮推廣至復(fù)雜的多變點(diǎn)情況，嘗試得到更多結(jié)果.