一道2022年高考題的推廣

李院德

(安徽省教育科學(xué)研究院)

筆者受2022年全國新高考Ⅰ卷第12題的啟發(fā),證明了連續(xù)周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù),探究了其原函數(shù)也是周期函數(shù)的一個(gè)充要條件.本文通過幾個(gè)例子對這兩個(gè)定理進(jìn)行進(jìn)一步說明,并在此基礎(chǔ)上給出了幾點(diǎn)啟示.

1 問題的提出

在本題中,函數(shù)g(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),通過推理我們不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)g(x)和f(x)均為周期函數(shù),并且周期相同.眾所周知,函數(shù)f(x)＝cosx與其原函數(shù)F(x)＝∫cosxdx＝sinx＋c均是周期為2π的函數(shù),那么一個(gè)函數(shù)與其原函數(shù)周期的這種關(guān)系是否具有一般性呢?

2 連續(xù)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)、原函數(shù)周期性之間的關(guān)系探究

2.1 周期函數(shù)的定義

設(shè)f(x)是定義在數(shù)集M上的函數(shù),如果存在非零常數(shù)T具有性質(zhì):f(x＋T)＝f(x),則稱f(x)是數(shù)集M上的周期函數(shù),常數(shù)T稱為f(x)的一個(gè)周期.如果在所有正周期中有一個(gè)最小的,則稱它是函數(shù)f(x)的最小正周期.

注 由周期函數(shù)的定義不難發(fā)現(xiàn):

1)周期函數(shù)的定義域不必是一個(gè)連續(xù)區(qū)間,如f(x)＝1(x∈Z)是一個(gè)最小正周期為1的函數(shù),它的定義域是整數(shù)集.

2)周期函數(shù)的周期T可以是負(fù)值,且周期函數(shù)未必有最小正周期,如常數(shù)函數(shù)是以任何非零實(shí)數(shù)為周

2.2 連續(xù)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系

定理1 已知f(x)是定義在數(shù)集M上的周期為T的函數(shù),且處處可導(dǎo),導(dǎo)函數(shù)為f′(x),則f′(x)也是周期為T的函數(shù).

證明 由于函數(shù)f(x)是定義在數(shù)集M上的周期為T的函數(shù),則有f(x＋T)＝f(x),又f(x)處處可導(dǎo),則有

故導(dǎo)函數(shù)f′(x)也是周期為T的函數(shù).

2.3 連續(xù)函數(shù)與其原函數(shù)的關(guān)系

對于一個(gè)定義在某區(qū)間的已知函數(shù)f(x),如果存在可導(dǎo)函數(shù)F(x),使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)都存在F′(x)＝f(x),則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù).

由定理1,若一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)為周期函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)也必然是周期函數(shù).然而,連續(xù)周期函數(shù)的原函數(shù)卻未必是周期函數(shù),如函數(shù)f(x)＝cosx＋1(x∈R),其原函數(shù)為F(x)＝sinx＋x＋c就不是周期函數(shù),其圖像如圖1所示.

圖1

現(xiàn)在我們來探究使得連續(xù)周期函數(shù)的原函數(shù)是周期函數(shù)的條件.

定理2 已知函數(shù)f(x)是定義在數(shù)集M上的周期為T的函數(shù),且處處連續(xù),則其原函數(shù)F(x)也是周期為T的函數(shù)的充要條件是存在一個(gè)點(diǎn)x0∈M使得F(x0＋T)＝F(x0).

證明 必要性顯然成立,現(xiàn)證明充分性.

由于F(x)是函數(shù)f(x)的原函數(shù),則對任意x∈M有

因此F(x＋T)＝F(x),所以原函數(shù)F(x)是周期為T的函數(shù).

注 定理1揭示了可導(dǎo)的周期函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)也一定是周期函數(shù),而定理2本質(zhì)上是給出了定理1的逆定理也成立的一個(gè)充要條件.

3 原題回顧

定理2的優(yōu)勢在于可操作性強(qiáng),便于運(yùn)用,學(xué)生只需要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的周期性,結(jié)合兩個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值相等便能夠判斷其原函數(shù)也是周期函數(shù).下面運(yùn)用定理解決2022年全國新高考Ⅰ卷選擇題第12題.

綜上,選BC.

根據(jù)題目條件能推導(dǎo)出g(x)是周期為2的函數(shù),運(yùn)用定理2可以快速證明f(x)也是周期為2的函數(shù),在此基礎(chǔ)上容易判斷出本題各選項(xiàng)的正誤.

推論 已知函數(shù)f(x)是定義在數(shù)集M上的周期為T的函數(shù),且處處連續(xù),若原函數(shù)F(x)存在一條對稱軸,則F(x)也是周期為T的函數(shù).

4 幾個(gè)例子

定理1和定理2分別證明了連續(xù)周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與其原函數(shù)的周期性之間的關(guān)系.下面將通過幾個(gè)例子對這兩個(gè)定理做進(jìn)一步說明.

例1 已知函數(shù)f(x)＝|x－2k|,x∈[2k－1,2k＋1),試判斷其導(dǎo)函數(shù)的周期性.

根據(jù)周期函數(shù)的定義,函數(shù)f(x)是周期為2的函數(shù),函數(shù)f(x)的圖像如圖2所示.

雖然函數(shù)f(x)是連續(xù)的,但在整數(shù)點(diǎn)上其導(dǎo)數(shù)都不存在.對任意的x∈R,x?Z,有

圖3

顯然函數(shù)f(x)在整數(shù)點(diǎn)上不連續(xù),因此在整數(shù)點(diǎn)上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都不存在.對于任意點(diǎn)x∈R,x?Z,有f′(x)＝1,易得f′(x)是周期為1的函數(shù).

例1中函數(shù)f(x)為連續(xù)函數(shù),且?guī)缀跆幪幙蓪?dǎo)(除整數(shù)點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)不存在以外),該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍然為周期函數(shù).而對于例2,函數(shù)f(x)在整數(shù)點(diǎn)上不連續(xù),其他點(diǎn)處均連續(xù)且可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)也為周期函數(shù).因此,由例1和例2不難發(fā)現(xiàn),存在一些點(diǎn)不可導(dǎo)甚至不連續(xù)的函數(shù),但其導(dǎo)函數(shù)仍然保持了周期性.因此定理1中的條件并不是必要條件,可以進(jìn)行弱化.

例3 已知函數(shù)f(x)＝cosx的定義域?yàn)镽,試判斷其原函數(shù)是否為周期函數(shù).

圖4

5 啟示

5.1 數(shù)學(xué)教學(xué)要注重概念教學(xué),突出數(shù)學(xué)本質(zhì)

5.2 數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注過程性和綜合性,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力

在知識的交會點(diǎn)設(shè)計(jì)試題是高考命題的一個(gè)立足點(diǎn).本題的另一個(gè)特色是原函數(shù)f(x)與它的導(dǎo)函數(shù)g(x)互相聯(lián)系,又結(jié)合了函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),特別是周期性與對稱性,綜合程度非常高.如此巧妙的綜合立意新穎,需要學(xué)生具備更高的問題解決能力,所以我們在教學(xué)中要適當(dāng)關(guān)注問題與知識的綜合性,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一些較為深入的探究.這樣我們的課堂才顯得有深度、有內(nèi)涵,引人入勝.尤其是在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的后期,學(xué)生已經(jīng)具備了相關(guān)知識和能力,如果再一味刷題、機(jī)械重復(fù),勢必會扼殺學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問題、探索新思路的創(chuàng)新思維和能力.本題為高中一線教學(xué)特別是后期的復(fù)習(xí)課堂設(shè)計(jì)提供了很好的素材,也為探究課堂提質(zhì)增效的具體實(shí)施起到了很好的引領(lǐng)作用.因此,教師在教學(xué)中要注重知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和發(fā)生發(fā)展過程,幫助學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò),要重視學(xué)生探究能力的提升,引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般發(fā)現(xiàn)和提出問題,發(fā)展思維水平,培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力,培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識靈活解決問題的能力.

5.3 數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注差異性和層次性,促進(jìn)不同數(shù)學(xué)水平的學(xué)生都能有所發(fā)展

2022年高考全國卷對周期函數(shù)進(jìn)行了重點(diǎn)考查,幾套試卷中的相關(guān)題目都有一定的難度.周期函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一,在高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中,學(xué)生學(xué)習(xí)了周期函數(shù)的概念,并重點(diǎn)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)這一特殊周期函數(shù)的圖像和性質(zhì).教材通過從特殊到一般的編排形式幫助學(xué)生進(jìn)一步加深了對周期函數(shù)及其性質(zhì)的理解.通過學(xué)習(xí),學(xué)生能夠正確理解三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)及其之間的聯(lián)系與區(qū)別.在一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的學(xué)習(xí)中,學(xué)生又學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),進(jìn)一步加深了對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)之間關(guān)系的理解.在高中選修課程中,?普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)?又將微積分的基礎(chǔ)知識作為高中數(shù)學(xué)A 類課程和B類課程的重點(diǎn)內(nèi)容,通過學(xué)習(xí)選修課程,學(xué)生能理解微分和積分之間的關(guān)系.這些內(nèi)容的學(xué)習(xí),為學(xué)生理解周期函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)及其原函數(shù)的關(guān)系提供了可能.對于這道題目,大部分學(xué)生利用高中數(shù)學(xué)知識通過數(shù)學(xué)推理發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)的關(guān)系,進(jìn)而解決問題,還有些學(xué)生利用特殊法代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算,進(jìn)而選擇出正確答案.因此,這道高考題很好地為不同程度的學(xué)生提供了不同解決問題的途徑,真正體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)課理念:實(shí)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育、不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.

因此,教師在教學(xué)中要落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念和要求,注重將因材施教和面向全體相結(jié)合,根據(jù)學(xué)情、校情的實(shí)際開好必修、選擇性必修和選修課程,努力讓不同的學(xué)生都能得到發(fā)展.同時(shí),教師應(yīng)重視自身專業(yè)的學(xué)習(xí),站在更高的高度理解數(shù)學(xué)知識,深入淺出地開展課堂教學(xué),注重循循善誘,促進(jìn)教學(xué)相長,不斷提升課堂教學(xué)的效果,真正使得學(xué)生的核心素養(yǎng)得到提升和發(fā)展.