換元法在解題中的應(yīng)用

?哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院 鄒佳珊

換元法又稱輔助元素法、變量代換法，是在解題的過程中引進(jìn)新的變量，把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推理論證過程簡化.換元法是高中數(shù)學(xué)解題中的一類重要而巧妙的解題方法.在數(shù)學(xué)中，“元”是未知數(shù)的意思，我們在解題中經(jīng)常遇到含有未知數(shù)的情形，例如方程、不等式、函數(shù)等.利用換元法來解決這類問題，不僅有利于快速找到解題思路，而且解題過程方便靈活，掌握換元法的基本思想及方法對提升數(shù)學(xué)解題能力大有益處[1].

常見的換元方法有整體換元、三角換元等，下面以具體的習(xí)題為例，探究何時可以利用換元法解題.

1 整體換元法的應(yīng)用

當(dāng)某個代數(shù)式作為“整體”反復(fù)多次出現(xiàn)，為了簡化計(jì)算，可以將重復(fù)出現(xiàn)的部分進(jìn)行“換元”處理.

為何“換元”：此題如果直接去分母進(jìn)行求解，會得到一個四次方程.通過觀察可以發(fā)現(xiàn)x2-x既在等式左邊出現(xiàn)，又是等式右邊的分母，把這一部分替換成另一個未知數(shù)，可以達(dá)到降冪的效果，將難解的高階方程化為熟悉的一元二次方程.

把x=(t-1)2代入原解析式中，則f(t)=t2-2t+3(t≥1).

我們知道，對應(yīng)關(guān)系與自變量取哪個字母無關(guān)，故f(x)=x2-2x+3(x≥1).

理解換元法的本質(zhì)進(jìn)而用換元法來求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn).本題比較簡單，雖然也可以利用其他方法來求解，但是對學(xué)生理解換元法的內(nèi)涵有啟發(fā)作用[3].

圖1

2 三角換元法的應(yīng)用

三角換元常用于去根號，或者將代數(shù)式變換為三角形式更易求解.主要利用已知代數(shù)式與三角知識的某種聯(lián)系進(jìn)行換元.

為何“換元”：不難發(fā)現(xiàn)x的取值范圍是{x|0≤x≤1}，恰好是正弦函數(shù)y=sinx值域的子集，我們又有去根號的需要，希望可以通過換元將被開方數(shù)的次數(shù)變?yōu)?.

如變量x，y適合條件x2+y2=r2時，也可以作三角代換：x=rcosθ，y=rsinθ.

例7(2020年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃)若x2+y2≤1，則x2+xy-y2的取值范圍是.

為何“換元”：前面已經(jīng)提到了x2+y2=r2的換元方法，此題不過是對r的取值范圍做了限制.

如何“換元”：，若設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，θ∈[0,2π)根據(jù)題意可知r≤1，則

x2+xy-y2

=r2cos2θ+r2cosθsinθ-r2sin2θ

例8(2020年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+2xy=1，求x2+y2的最小值.

為何“換元”：看到x2+y2=r2， 依然是三角換元法的常見形式，可以先換元，再檢驗(yàn)是否可行.

如何“換元”：設(shè)x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈[0,2π)，代入x2+2xy=1中，可以得到r2cos2θ+2r2sinθcosθ=1.由于我們要求的是r2，因此整理得

根據(jù)輔助角公式,可得

本題啟發(fā)我們，x2+y2=r2無論是在題干中出現(xiàn)，還是求它的取值范圍，都可以考慮利用三角換元法來求解.

孔子曰：“舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也.”經(jīng)過以上幾道例題的分析，可以總結(jié)得出何時應(yīng)用換元法解題：若題目中有重復(fù)出現(xiàn)的部分，則常常可以對重復(fù)出現(xiàn)的部分進(jìn)行換元，利用整體換元法求解；而三角換元法則往往是被換元部分的取值范圍與三角函數(shù)值的范圍[-1,1]或(0,1)等相關(guān)，或有“去根號”的需要，合理利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角恒等變換、輔助角公式等進(jìn)一步化簡求值.