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    “指、對(duì)同構(gòu)法”在不等式問(wèn)題中的應(yīng)用

    2022-12-19 03:09:56山東省博興縣第三中學(xué)王麗慧
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年23期
    關(guān)鍵詞:同構(gòu)切線對(duì)數(shù)

    ?山東省博興縣第三中學(xué) 王麗慧

    指數(shù)式與對(duì)數(shù)式綜合的不等式恒成立或不等式證明問(wèn)題,是各類(lèi)模擬考試及高考的常見(jiàn)題型.解答此類(lèi)問(wèn)題的常用策略是利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的變換關(guān)系,構(gòu)造相同的函數(shù)模型,并利用函數(shù)的性質(zhì)求解.下面針對(duì)這一方法的應(yīng)用引例說(shuō)明.

    1 題目呈現(xiàn)

    例1已知函數(shù)f(x)=x2e3x.

    (2)若x>0時(shí),恒有f(x)≥(a+3)x+2lnx+1,求實(shí)數(shù)a的范圍.

    本題第(1)問(wèn)較為基礎(chǔ),直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.第(2)問(wèn)由不等式恒成立求參數(shù)的范圍,題目所給的不等式既含有指數(shù)式,又含有對(duì)數(shù)式,可利用“同構(gòu)法”處理.下面詳細(xì)闡述同構(gòu)法的變形與應(yīng)用技巧.

    2 解法綜述

    在此類(lèi)問(wèn)題中常涉及如下幾種函數(shù)模型:

    這些函數(shù)的性質(zhì)直接利用導(dǎo)數(shù)即可判斷,在此不再贅述.

    同構(gòu)法的應(yīng)用有兩種變換方式:

    一種是化指數(shù)式,如

    另一種是化對(duì)數(shù)式,如

    切線放縮法主要有兩個(gè)切線模型,即ex≥x+1(x=0時(shí)取等號(hào))和x-1≥lnx(x=1時(shí)取等號(hào)).這兩個(gè)不等式也可利用導(dǎo)數(shù)法直接證明,過(guò)程略.

    3 問(wèn)題解答

    下面采用兩種同構(gòu)變形方式處理.

    3.1 “化指”

    由切線不等式ex≥x+1,得e2ln x+3x≥2lnx+3x+1,當(dāng)2lnx+3x=0時(shí)等號(hào)成立.

    所以

    即函數(shù)g(x)的最小值為0.

    所以滿(mǎn)足條件的a的范圍是(-∞,0).

    3.2 “化對(duì)”

    由切線不等式x-1≥lnx(x=1時(shí)取等號(hào)),得ln(x2e3x)+1≤x2e3x,當(dāng)x2e3x=1時(shí)等號(hào)成立.

    所以滿(mǎn)足條件的a的范圍是(-∞,0).

    4 小試牛刀

    例2對(duì)于任意x>0,不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的最小值為_(kāi)_____.

    解法1:“化指”.

    將不等式2ae2x-lnx+lna≥0變形,得2ae2x≥lnx-lna.

    因?yàn)?ae2x=eln(2a)e2x=eln a+2x+ln 2,所以e2x+ln a+ln 2≥lnx-lna,進(jìn)一步構(gòu)造得

    e2x+ln a+ln 2+2x+lna+ln 2≥lnx-lna+(2x+lna+ln 2).

    化簡(jiǎn)得

    e2x+ln a+ln 2+2x+lna+ln 2≥ln(2x)+2x.

    因?yàn)?x=eln(2x),所以

    e2x+ln a+ln 2+2x+lna+ln 2≥eln (2x)+ln (2x).

    設(shè)g(x)=ex+x,則式①為g(2x+lna+ln 2)≥g[ln(2x)].又g(x)=ex+x在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以2x+lna+ln 2≥ln(2x),即lna≥lnx-2x.

    解法2:“化對(duì)”.

    5 考題鏈接

    例3已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

    (1)當(dāng)a=e時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

    (2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

    本題是2020年新高考山東卷導(dǎo)數(shù)壓軸題,所給關(guān)系式中既有指數(shù)式,也有對(duì)數(shù)式,可利用同構(gòu)法處理.下面僅對(duì)第(2)問(wèn)進(jìn)行解答.

    解法1:“化指”.

    將不等式aex-1-lnx+lna≥1變形,得aex-1≥lnx-lna+1,即

    eln aex-1=eln a+x-1≥lnx-lna+1.

    進(jìn)一步變形得

    eln a+x-1+(lna+x-1)≥lnx-lna+1+(lna+x-1),即eln a+x-1+(lna+x-1)>lnx+x,即

    eln a+x-1+(lna+x-1)≥eln x+lnx.

    設(shè)g(x)=ex+x,則不等式③等價(jià)于

    g(lna+x-1)≥g(lnx).

    又g(x)為增函數(shù),所以lna+x-1≥lnx,即

    lnx-x+1≤lna.

    所以lna≥0,解得a≥1.故a∈[1,+∞).

    解法2:“化對(duì)”.

    所以lna≥0,解得a≥1.故a∈[1,+∞)

    總之,有關(guān)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的不等式問(wèn)題,雖然綜合性強(qiáng),但只要我們掌握相應(yīng)的處理策略及變形技巧,即可化難為易.

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