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    圖形優(yōu)美 思維精妙
    ——探究?jī)蓷l拋物線相切的問(wèn)題

    2022-12-19 02:33:08甘肅省張家川縣第一高級(jí)中學(xué)李曉東
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年23期
    關(guān)鍵詞:判別式靈活運(yùn)用切點(diǎn)

    ?甘肅省張家川縣第一高級(jí)中學(xué) 李曉東

    平時(shí),我們經(jīng)常遇到直線與拋物線相切的問(wèn)題,也掌握了處理此類(lèi)問(wèn)題的常用方法.那么,當(dāng)遇到一條拋物線與另一條拋物線相切時(shí),該如何處理呢?實(shí)際上,可根據(jù)圖形特征,轉(zhuǎn)化為存在一條直線與兩條拋物線均相切;亦可根據(jù)切點(diǎn)的唯一性,轉(zhuǎn)化為相關(guān)方程有唯一解.下面結(jié)合一道試題的多解探究以及變式訓(xùn)練,領(lǐng)會(huì)解題思維,提升解題技能.

    1 好題采擷

    (2021年廣東地區(qū)中科大強(qiáng)基測(cè)試第2題)設(shè)拋物線y=x2與x=ay2+1相切,則a=______.

    分析:本題以兩條拋物線相切為載體,具有一定的創(chuàng)新性,看似簡(jiǎn)單,實(shí)則內(nèi)涵豐富;側(cè)重考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力;有利于數(shù)學(xué)思想方法、知識(shí)在解題中的靈活運(yùn)用,能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、創(chuàng)新意識(shí),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    圖1

    2 多解探究

    如圖1,在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫(huà)出拋物線y=x2與x=ay2+1(該拋物線顯然恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)).根據(jù)題意易知a>0.(先確定參數(shù)的取值范圍,便于進(jìn)一步分析.)

    由圖可知,在兩條拋物線的公共點(diǎn)處,存在一條直線與兩條拋物線均相切.

    視角一:由于題設(shè)兩條拋物線相切可轉(zhuǎn)化為存在一條直線與兩條拋物線均相切,又因?yàn)楫?dāng)直線與拋物線相切時(shí),可考慮對(duì)應(yīng)二次方程的判別式Δ=0在處理問(wèn)題中的靈活運(yùn)用,所以本題可充分利用“判別式為零”,并結(jié)合切點(diǎn)的坐標(biāo)加以靈活分析.

    點(diǎn)評(píng):該解法的關(guān)鍵是充分利用直線與拋物線相切,根據(jù)Δ=0巧求切點(diǎn)的坐標(biāo),突出體現(xiàn)了“方程思想”在解題中的靈活運(yùn)用,對(duì)運(yùn)算求解能力的要求較高.

    視角二:由于題設(shè)兩條拋物線相切可轉(zhuǎn)化為存在一條直線與兩條拋物線均相切,又因當(dāng)直線與拋物線相切時(shí),可考慮導(dǎo)數(shù)的幾何意義在分析、解決問(wèn)題中的靈活運(yùn)用,所以本題可充分利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,并結(jié)合相關(guān)導(dǎo)數(shù)知識(shí)加以靈活分析.

    解法2:依題意,對(duì)y=x2求導(dǎo)得y′=2x;對(duì)x=ay2+1求導(dǎo)得1=2ayy′.

    點(diǎn)評(píng):解法2的關(guān)鍵是充分利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切點(diǎn)在拋物線上,構(gòu)建等式.此外,要注意對(duì)x=ay2+1的求導(dǎo),應(yīng)靈活運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

    點(diǎn)評(píng):解法3與解法2不同之處在于需要先轉(zhuǎn)化題設(shè)條件,以便能夠直接利用求導(dǎo)公式;同時(shí)要注意兩條拋物線在切點(diǎn)處的切線斜率相等及導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用.

    視角三:由于題設(shè)兩條拋物線相切可轉(zhuǎn)化為存在一條直線與兩條拋物線均相切,又因當(dāng)直線與拋物線相切時(shí),可考慮對(duì)應(yīng)二次方程的判別式Δ=0與導(dǎo)數(shù)的幾何意義,所以本題可將“判別式為零”與“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”在解題中同時(shí)加以靈活運(yùn)用.

    點(diǎn)評(píng):解法4的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用了Δ=0和導(dǎo)數(shù)的幾何意義,同時(shí)要注意直線方程點(diǎn)斜式的運(yùn)用.顯然,該解法對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用能力的考查較強(qiáng),有利于較好地培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

    視角四:考慮“等價(jià)轉(zhuǎn)化思想”的靈活運(yùn)用,可先將題設(shè)兩條拋物線相切轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或者關(guān)于y的方程有唯一解,再結(jié)合其他知識(shí)加以靈活分析.

    解法5:將y=x2代入x=ay2+1,可得

    ax4=x-1.

    依題意知方程⑤有唯一解,所以直線y=x-1與拋物線y=ax4必相切.

    點(diǎn)評(píng):解法5需要先將題設(shè)條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程有唯一解,再等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與拋物線相切,最后借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)和方程思想加以靈活求解.顯然,該解法突出考查了學(xué)生靈活運(yùn)用“等價(jià)轉(zhuǎn)化思想”分析、解決目標(biāo)問(wèn)題的能力.

    圖2

    點(diǎn)評(píng):解法6需要先將題設(shè)條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn),再借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想加以靈活求解,有利于較好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    3 變式訓(xùn)練

    說(shuō)明:有興趣的讀者可參考前述例題的多種不同解法,給出本題的其他解法.

    綜上,處理兩條拋物線相切的問(wèn)題,有多種不同的解題視角以及對(duì)應(yīng)的具體解法.需要我們特別關(guān)注的是:(1)要學(xué)會(huì)以圖形的直觀、明了性作為分析、解決問(wèn)題的切入點(diǎn),便于幫助我們迅速獲得具體的解題思路;(2)要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用“等價(jià)轉(zhuǎn)化思想”,將不熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題,便于根據(jù)已掌握的知識(shí)、方法順利求解;(3)通過(guò)試題的多解探究以及變式訓(xùn)練,努力提高直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象以及邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),進(jìn)而提高分析、解決此類(lèi)問(wèn)題的技能技巧.

    4 結(jié)語(yǔ)

    一言以蔽之,小題不小,蘊(yùn)含豐富,具有較好的思維價(jià)值、探究?jī)r(jià)值,值得我們?nèi)ゼ?xì)細(xì)品味、深思;有利于提高學(xué)生對(duì)所學(xué)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的綜合運(yùn)用能力,也有利于進(jìn)一步拓寬視野,提高思維的靈活性、嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性,進(jìn)而提升理性思維能力.

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