檢測信號非線性引起的全角半球諧振陀螺漂移模型

徐睿東，郜中星，南方伯，韓瑩冰，張勇剛

（1.哈爾濱工程大學(xué)智能科學(xué)與工程學(xué)院，哈爾濱 150001；2.青島哈爾濱工程大學(xué)創(chuàng)新發(fā)展中心，青島 266000）

半球諧振陀螺（Hemispherical Resonator Gyro,HRG）憑借其在高精度、高可靠性和抗輻射等方面的突出優(yōu)勢，被廣泛應(yīng)用于軍用領(lǐng)域和民用領(lǐng)域。半球諧振陀螺具有兩種工作模式，分別為力平衡模式（Force-To-Rebalance,FTR）和全角模式（Whole-Angle,WA）。其中，力平衡模式具有檢測精度高的特點，但受限于控制器抑制駐波進(jìn)動的能力，僅僅適用于動態(tài)測量范圍較窄的應(yīng)用場景。全角模式下駐波能夠自由進(jìn)動，陀螺具有無限大的帶寬和動態(tài)測量范圍，因此有著廣闊的發(fā)展前景[1-4]。

然而，受到制備工藝的限制，在加工和裝配半球諧振陀螺的過程中會引入如：阻尼各向異性、剛度各向異性、電極裝配誤差等多種非理想因素。為了提升陀螺的性能指標(biāo)，國內(nèi)外學(xué)者對于HRG 的誤差機理進(jìn)行了多角度的分析研究，并分別提出了誤差抑制與補償方法。郭錁琛等提出了基于電阻熱耗散原理的阻尼不對稱修調(diào)方法。然而，由于修調(diào)系統(tǒng)中存在干擾阻尼修調(diào)的非線性項，因此該方法不適用于振幅較大的諧振陀螺[1]。Z.X.Hu 等研究了速率積分陀螺中存在的多種非線性誤差因素，仿真并分析了多種非線性誤差源整體對于陀螺儀控制系統(tǒng)以及角度漂移的影響，但是沒有單獨分析每一種非線性誤差源對于陀螺輸出的影響[2]。寧友歡等研究了裝配傾角誤差能夠?qū)е掳肭蛑C振子剛度在周向角度上呈正弦規(guī)律變化進(jìn)而引起頻率裂解的問題。研究結(jié)果表明，當(dāng)剛度變化0.05%時，可引起1 Hz 的頻率裂解[3]。張勇猛等給出了由檢測電極裝配誤差引起的電增益不一致可導(dǎo)致角度漂移在周向角度上呈周期性變化的結(jié)論[4]。

與上述誤差源不同的是，由電容變間距檢測方法導(dǎo)致檢測信號產(chǎn)生非線性失真（以下簡稱為：檢測信號非線性）進(jìn)而引起的全角半球諧振陀螺漂移并不是由加工或裝配非理想造成的，而是由于系統(tǒng)自身特性產(chǎn)生的誤差，因此只能通過補償且很難利用修調(diào)等物理手段消除。綜上所述，針對檢測信號非線性進(jìn)行詳細(xì)的分析，對于明晰陀螺漂移的產(chǎn)生機理，探索漂移的補償方法以及提升陀螺的整體性能都具有重要意義。

本文針對電容變間距檢測方法引起全角半球諧振陀螺漂移誤差的問題開展研究，提出了一種用于描述這種角度漂移的數(shù)學(xué)模型。首先，本文給出了理想半球諧振子的運動學(xué)模型，闡明了電容變間距檢測方法的工作原理以及檢測信號中非線性項的來源；然后，介紹了全角半球諧振陀螺的控制系統(tǒng)，并根據(jù)駐波位置的解調(diào)原理逐步推導(dǎo)了檢測信號中的非線性項對于角度解算的影響，進(jìn)而提出了一種描述角度漂移的數(shù)學(xué)模型；隨后，對陀螺進(jìn)行了轉(zhuǎn)臺實驗并對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行了頻譜分析，結(jié)果表明在解算角速度的頻譜圖中存在四次諧波漂移和八次諧波漂移；最后，基于Simulink 工具箱搭建了全角半球諧振陀螺的多參數(shù)仿真平臺，利用該仿真平臺驗證了檢測信號非線性對于陀螺輸出角度的影響。

1 半球諧振陀螺的電容變間距檢測方法

1.1 半球諧振子的運動學(xué)模型

為了解耦分析電容變間距檢測方法對于檢測信號的影響，需要忽略阻尼誤差、剛度誤差、裝配誤差等非理想因素，僅給出理想半球諧振子在笛卡爾坐標(biāo)系下的運動方程[5,6]。

式(1)中，x和y分別為半球諧振子在x模態(tài)和y模態(tài)上振動的位移。τ為阻尼時間常數(shù)，ω為諧振角頻率，Ω 為外界輸入轉(zhuǎn)速，γ≈0.27為振型進(jìn)動因子，n=2為振型階數(shù)。

半球諧振子的二階振型如圖1 所示，在科氏力的作用下，駐波以γ-Ω的角速度相對于半球諧振子進(jìn)行反向進(jìn)動。半球諧振子的運動方程在笛卡爾坐標(biāo)系與橢圓坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換方程為[5,6]：

圖1 半球諧振子邊沿的運動軌跡Fig.1 Motion trajectory on the edge of hemispherical shell resonator

其中，a、q分別表示半球諧振子駐波的幅值信號和正交信號，θ表示半球諧振子的駐波方位角，φ表示等效質(zhì)點運動的相位，θ0和φ0分別為駐波的初始方位角和初始相位。

1.2 電容變間距檢測方法

半球諧振陀螺的電極分布如圖2 所示，在諧振子周向上均勻地分布著八個電極板。其中，D1、D2 分別為兩組差分驅(qū)動電極，通過施加驅(qū)動力來激勵諧振子起振并維持駐波穩(wěn)定。S1、S2 分別為兩組差分檢測電極，將半球諧振子的形變轉(zhuǎn)化為可量測的電壓信號。圖2 中的八個電極板被固定在基座上，而半球諧振子通過金屬化鍍膜工藝在表面上附著了一層金屬薄膜。電極板與其正對面積的金屬薄膜形成了可變間距的電容器，電容值由介電常數(shù)ε、電極板正對面積S和極板間距d決定。其中，d=d0-x，d0為初始極板間距，x為極板隨著半球諧振子形變產(chǎn)生的位移變化[7]。電容變間距檢測方法如圖2 所示。

圖2 半球諧振陀螺的電容變間距檢測方法Fig.2 Variable gap detection method for the capacitor of HRG

與此同時，由于半球諧振子的駐波在機械角度間隔90 °的任意兩個方向上具有完全相反的形變量，因此可以通過差分檢測方法來減小信號傳輸過程中引入的共模干擾。式(3)給出了間隔90 °的兩組差分檢測電極上量測的電壓檢測信號VSx+、VSx-。

其中，V dc為直流偏置電壓，C0為初始電容值，R為放大電阻值。為了分析檢測信號中的非線性項，將式(3)進(jìn)行泰勒展開。由于振幅過大會增加半球諧振子損壞的風(fēng)險，通常令x?d0，因此可以忽略泰勒展開式中高于三階的余項[2]，如式(4)所示。

差分檢測信號VSx可表示為：

2 半球諧振陀螺工作原理與檢測信號非線性分析

全角半球諧振陀螺的控制系統(tǒng)框圖如圖3 所示。在檢測電極后端的模擬電路中依次使用了差分檢測、跨阻放大、帶通濾波等方法對檢測信號VSx、VSy進(jìn)行處理，以此提高檢測信號的信噪比。將優(yōu)化的檢測信號通過模數(shù)信號轉(zhuǎn)換模塊轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號，再與參考信號Vrc、V rs進(jìn)行乘法解調(diào)，分別通過IIR 低通濾波得到用于橢圓參數(shù)解算的信號：Cx、Sx、Cy、Sy。再通過橢圓參數(shù)解算方程分別得到半球諧振子駐波的橢圓參數(shù)：a、q、θ、δ[8]。其中a、q、δ分別應(yīng)用于幅值控制回路、正交控制回路、相頻控制回路。θ既是陀螺輸出信號，同時也參與驅(qū)動信號的調(diào)制合成，來實現(xiàn)驅(qū)動力與駐波方位角的對準(zhǔn)。

圖3 全角半球諧振陀螺的控制系統(tǒng)框圖Fig.3 Block diagram of HRG control system with WA mode operation

在幅值控制回路與正交控制回路的作用下，a?q，因此可以將式(2)化簡得到式(6)。隨后，將式(6)代入式(5)中，得到經(jīng)過帶通濾波器（Band Pass Filter,BPF ）后的檢測信號如式(7) 所示，其中N=-2aω RVdcC0/d0。

同理，可得：

在相頻控制回路的作用下，參考信號相對于檢測信號具有固定的相位差。令：Vrc=Accos（φ-π/2），Vrs=Acsin（φ-π/2），Ac為參考信號幅值。解調(diào)后通過低通濾波器（Low Pass Filter,LPF）濾除諧振頻率的二次諧波項，得到Cx、Sx、Cy、Sy，如式(9)所示。

其中，A=α2+αβ，B=α2+2αβ。

式(11)給出了解算角度θc與駐波方位角θ的關(guān)系表達(dá)式，式(12)給出了由檢測信號非線性引起的角度漂移數(shù)學(xué)模型。

在式(12)中，=γ-Ω表示駐波轉(zhuǎn)速，將A、B的展開式帶入式(12)中進(jìn)一步化簡，如式(13)所示：

3 實驗驗證與仿真結(jié)果分析

陀螺正常工作時為了保證半球諧振子的安全，振幅間距比λ通常小于1/10。為了不失一般性，本文選擇λ=7.45%。首先，給出當(dāng)λ=7.45%時式(11)(12)的計算結(jié)果，如圖4 所示：橫坐標(biāo)為駐波進(jìn)動角度；紅色線條對應(yīng)右側(cè)縱坐標(biāo)，為解算角度θc；藍(lán)色線條對應(yīng)左側(cè)縱坐標(biāo)，為解算角速度。圖4 表明，檢測信號非線性引起了中的八次諧波漂移誤差項。

圖4 λ=7.45%時，解算角度 θ c與解算角速度在駐波進(jìn)動角度上呈現(xiàn)周期性變化Fig.4 The periodic variations of θ cand within the standing wave precession angle as λ=7.45%

隨后對陀螺進(jìn)行了轉(zhuǎn)臺實驗驗證，實驗裝置包括單軸速率轉(zhuǎn)臺以及半球諧振陀螺，如圖5 所示。通過轉(zhuǎn)臺為陀螺提供穩(wěn)定的外界輸入轉(zhuǎn)速400 °/s，令駐波能夠保持勻速進(jìn)動。通過傅里葉變換的方法對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析，并對幅值特性進(jìn)行歸一化處理，如圖6 所示。

圖5 轉(zhuǎn)臺實驗裝置Fig.5 The equipment for turntable experiment

圖6 解算角速度的歸一化頻譜圖Fig.6 The normalized frequency spectrogram of the calculation angular velocity

實驗結(jié)果表明：在解算角速度的歸一化頻譜圖中可以清晰地觀測到四次諧波項和八次諧波項，八次諧波項歸一化幅值為四次諧波項歸一化幅值的14.52%。其中，四次諧波漂移誤差[5]主要是由阻尼各向異性引起的，如式(16)所示。

八次諧波漂移誤差則主要是由檢測信號非線性引起的，如式(14)所示。為了驗證所提出的檢測信號非線性理論對于陀螺控制系統(tǒng)的影響，利用Simulink 工具箱搭建全角半球諧振陀螺的多參數(shù)仿真平臺，如圖7 所示。靜電驅(qū)動模塊包含了數(shù)模信號轉(zhuǎn)換與高壓放大電路；電容非線性檢測模塊包含了電容變間距檢測與模數(shù)信號轉(zhuǎn)換；信號解調(diào)模塊、橢圓參數(shù)解算模塊、信號調(diào)制模塊分別對應(yīng)了圖3 中的檢測信號幅相解調(diào)模塊、橢圓參數(shù)解算模塊以及驅(qū)動信號調(diào)制合成模塊；理想半球諧振子模塊包含了式(1)中的運動方程，排除了半球諧振子振動模型中的非理想因素，因此消去了解算中由阻尼各向異性和剛度各向異性引起的漂移誤差[5,9]。表1 列出了應(yīng)用于仿真模型的外界輸入轉(zhuǎn)速、理想半球諧振子的特征參數(shù)以及結(jié)構(gòu)參數(shù)。圖8(a)展示了當(dāng)駐波轉(zhuǎn)速為108 °/s而振幅間距比變化時，在周向角度上的解算角速度曲線?？芍寒?dāng)使用電容變間距檢測方法時，中存在八次諧波誤差項，并且A8th與λ呈正相關(guān)。由圖8(b)可以得出如下結(jié)論：當(dāng)不變時，A8th與λ呈高階多項式正相關(guān)，與式(15)的趨勢一致。由于電極初始間距d0保持不變，可以通過減小半球諧振子的振幅來削弱八次諧波誤差。然而，振幅減小也會導(dǎo)致檢測信號信噪比降低，同樣不利于半球諧振陀螺精度的提高。因此，需要在后續(xù)研究過程中探索效果更好的補償方法。

圖7 全角半球諧振陀螺仿真模型Fig.7 Simulation model of HRG with WA mode operation

圖8 =108 °/s 時，振幅間距比不同的檢測信號非線性對于解算角速度以及八次諧波幅值的影響Fig.8 The influence of nonlinear detection signal with different amplitude gap ratio on the calculation angular velocity and the amplitude of 8th harmonic as =108 °/s

表1 半球諧振陀螺仿真參數(shù)設(shè)置Tab.1 Simulation parameters of HRG

圖9 中藍(lán)色線條表示當(dāng)λ=7.45%而駐波轉(zhuǎn)速變化時，全角HRG 仿真模型的運行結(jié)果，紅色線條表示當(dāng)λ=7.45%而駐波轉(zhuǎn)速變化時直接利用式(15)計算A8th的運算結(jié)果。由圖9 可知：當(dāng)λ不變時，A8th與駐波轉(zhuǎn)速呈線性正相關(guān)；此外，HRG 仿真模型的運行結(jié)果與式(15)的計算結(jié)果基本一致，其中存在計算誤差的原因在于：在式(10)的化簡過程中忽略了系數(shù)為2β的極小諧波誤差項。綜上所述，通過式(15)可以直接計算八次諧波誤差項的幅值，同時也為八次諧波誤差的補償提供了理論支持。

圖9 λ=7.45%時，駐波轉(zhuǎn)速對于八次諧波幅值的線性影響Fig.9 Linear influence of standing wave precession velocity on the amplitude of 8th harmonic as λ=7.45%

4 結(jié)論

本文分析了在理想半球諧振子中，電容變間距檢測方法引起的全角半球諧振陀螺角度漂移，并給出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。隨后分別對陀螺進(jìn)行了轉(zhuǎn)臺實驗驗證以及Simulink 程序仿真，實驗與仿真結(jié)果均表明：電容變間距檢測方法會引起檢測信號的非線性失真，進(jìn)而導(dǎo)致解算角度中存在與周向角度八次諧波相關(guān)的漂移。進(jìn)一步的仿真結(jié)果表明：此項漂移的幅值與振幅間距比呈高階多項式正相關(guān)，與駐波轉(zhuǎn)速呈線性正相關(guān)。下一步的工作將會利用單軸速率轉(zhuǎn)臺采集陀螺輸出的數(shù)據(jù)集對八次諧波漂移進(jìn)行實時校準(zhǔn)與補償。