利用加速度信號重構(gòu)位置反饋的振動控制方法

李金輝，朱會杰，趙洪濤，孟兆海

（1.陸軍研究院五所，無錫 214035；2.天津航海儀器研究所，天津 300131）

隨著北京S1 示范線、長沙機(jī)場線、鳳凰旅游專線等的建設(shè)和運(yùn)營，磁浮列車的低噪、安全等優(yōu)勢使其具備良好的應(yīng)用前景。然而磁浮系統(tǒng)還存在磁浮列車-支撐梁耦合自激振動難題。對于高鐵等輪式列車，當(dāng)其零速停靠在支撐梁上時，支撐梁會出現(xiàn)撓性變形，但不會出現(xiàn)持續(xù)的、自發(fā)的振動。

當(dāng)磁浮列車低速通過或靜止在支撐梁時，除撓性變形外，還可能出現(xiàn)持續(xù)的、自發(fā)的垂向振動。德國TR 系統(tǒng)、日本HSST 系統(tǒng)、中國S1 原型系統(tǒng)、韓國UTM 系統(tǒng)和美國AMT 系統(tǒng)，均出現(xiàn)過此類自激振動現(xiàn)象[1]。自激振動降低了支撐梁的使用壽命和安全性，極端情況下導(dǎo)致電磁鐵與支撐梁的碰撞，影響磁浮列車的安全運(yùn)行。

為了解決磁浮列車-支撐梁耦合系統(tǒng)自激振動難題，學(xué)者們提出了多種解決方案。從避免自激振動的方案來看，可總結(jié)為強(qiáng)化支撐梁和優(yōu)化懸制算法兩大類方法。

強(qiáng)化支撐梁方面，主要包括增加支撐梁的模態(tài)阻尼系數(shù)、增大支撐梁的線密度、降低支撐梁的一階模態(tài)頻率等[2]。然而強(qiáng)化支撐梁的方法顯著增加了磁浮系統(tǒng)的造價，降低了綜合競爭力，不利于商業(yè)推廣。優(yōu)化控制律方面，王志強(qiáng)等提出了跟蹤微分器[3]等算法，可以降低自激振動的幅值。李金輝等提出在狀態(tài)反饋控制方法中增加一個吸振模擬分量[4-5]，這種方法可在動態(tài)檢測振動頻率的基礎(chǔ)上延后壓制自激振動幅度。段宇星[6]等在無人機(jī)平臺振動方面提出了隔振優(yōu)化設(shè)計，也值得借鑒。

本文在借鑒磁浮列車-支撐梁耦合系統(tǒng)最小動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，分析了采用磁通強(qiáng)度作為內(nèi)環(huán)的系統(tǒng)框圖和基于根軌跡的系統(tǒng)穩(wěn)定性，提出剔除橋梁位移反饋并用加速度信號重構(gòu)電磁鐵位置信號的控制方案，并開展數(shù)值仿真分析和實驗研究以驗證控制方案的有效性。

1 懸浮系統(tǒng)建模

建立如圖1 所示的磁浮列車-支撐梁耦合系統(tǒng)最小動力學(xué)模型[7]。

圖1 簡化的磁浮列車-支撐梁耦合系統(tǒng)示意圖Fig.1 Simplified maglev train-bridge coupled system

其中，mB、mE分別為支撐梁和電磁鐵的等效質(zhì)量，yB、yE分別為支撐梁和電磁鐵的垂向位移，F(xiàn)E為電磁鐵吸引支撐梁的電磁力。當(dāng)采用懸浮電流i（t）作為主控狀態(tài)變量時，其電磁力FE（t）和電壓u（t）方程為式(1)所示。其中，μ0為真空磁導(dǎo)率、A為電磁鐵的極面積、N為懸浮線圈的匝數(shù)、R為懸浮線圈的電阻。

當(dāng)采用磁量通B（t）作為主控狀態(tài)變量時，其電磁力FE（t）和電壓u（t）方程為：

根據(jù)式(1)可知，當(dāng)采用電磁鐵中的電流作為內(nèi)環(huán)控制量時，電磁浮力FE（t）與懸浮電流i（t）的二次方成正比，與懸浮間隙δ（t）的二次方成反比，因此電磁浮力FE（t）由懸浮間隙δ（t）和電流i（t）綜合決定。

根據(jù)式(2)可知，當(dāng)采用懸浮氣隙間的磁通強(qiáng)度作為內(nèi)環(huán)控制量時，電磁浮力FE（t）與磁通強(qiáng)度B（t）的平方成正比，是磁通強(qiáng)度B（t）的單變函數(shù)，更有利提出改善磁浮列車-支撐梁耦合系統(tǒng)穩(wěn)定性的控制解決方案。

在控制領(lǐng)域，狀態(tài)反饋控制器應(yīng)用最為廣泛[8,9]，采用基于磁通內(nèi)環(huán)的狀態(tài)反饋控制算法，即：

其中，B（t）為懸浮間隙中實際的磁場強(qiáng)度，BE（t）為懸浮間隙中期望的磁場強(qiáng)度，kp、kd、ka、kB分別為反饋增益，uDC為穩(wěn)態(tài)懸浮電壓值，B0為穩(wěn)態(tài)磁場強(qiáng)度。當(dāng)采用如上狀態(tài)反饋控制器時，系統(tǒng)框圖如圖2。其中，kF=4AB0/μ0，黃底方框表示電磁鐵電壓方程。

圖2 采用磁場強(qiáng)度內(nèi)環(huán)狀態(tài)反饋時的系統(tǒng)框圖Fig.2 System diagram when the magnetic intensity as an inner state is adopted

根據(jù)圖2 可知，懸浮間隙中期望的磁場強(qiáng)度BE（t）為電磁鐵的垂向狀態(tài),y E（t）與支撐梁的位移y B（t）的線性組合。下面對磁浮列車-支撐梁耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

2 穩(wěn)定性分析

如式(4)所示，將期望磁通BE（t）分解為BE1（t）和BE2（t），其中BE1（t）為懸浮電磁鐵的垂向加速度、垂向速度和垂向位移的組合，BE2（t）為支撐梁的垂向振動位置反饋。

依據(jù)懸浮控制律式(3)所示，基于可加性原則，系統(tǒng)框圖可以化成如圖3 所示的框圖?？啥x電磁浮子系統(tǒng)的前向通道GE（s）和反饋通道H E（s）為：

圖3 變換后的系統(tǒng)框圖Fig.3 Transformed system diagram

定義支撐梁子系統(tǒng)的前向通道GB（s）和反饋通道H B（s）為：

其中，ξB為橋梁模態(tài)阻尼，ωB橋梁模態(tài)頻率。當(dāng)不考慮支撐梁的彈性，電磁浮力FE（s）到電磁鐵的垂向位移y E（s）的傳遞函數(shù)為：

將式(5)代入式(7)，其特征多項式ΔE為：

根據(jù)勞斯判據(jù)，當(dāng)不等式(9)成立時，電磁浮子系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

考慮支撐梁的彈性時，對于磁浮列車-支撐梁耦合系統(tǒng)，電磁浮力FE（s）到支撐梁位移y B（s）的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

依據(jù)傳遞函數(shù)（式(10)）可知，磁浮列車-支撐梁耦合系統(tǒng)的特征方程可整理為：

當(dāng)kp=1000，kd=30，ka=0.4，kB=30，mB=2300，mE=1000，N=360，A=0.0184,kF=35295，ξB=0.005時，特征根的實部R1、R2、R3如圖4 所示，在全頻段，R2、R3均為負(fù)數(shù)，因此其穩(wěn)定性取決于R1的情況。如圖 4 所示，在[67.2rad/s 118.7rad/ s]區(qū)間，R1為正數(shù)，當(dāng)支撐梁模態(tài)頻率落在此區(qū)間時，極易引發(fā)振動問題。

圖4 特征根實部隨模態(tài)頻率變化圖Fig.4 Diagram of real parts of characteristic root changing with modal frequency

3 控制算法優(yōu)化

在如式(12)所示的狀態(tài)反饋控制算法中，內(nèi)環(huán)采用比例控制以提高系統(tǒng)響應(yīng)速度。

在準(zhǔn)靜態(tài)工況下，懸浮系統(tǒng)的跟蹤能力要求較低，磁浮列車-支撐梁耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性是考慮的重點。在這種情況下，期望磁通強(qiáng)度（式(12)）可以寫成：

圖5 橋梁位移反饋增益為零時的系統(tǒng)框圖Fig.5 System diagram when reducing the position control gain to zero

4 位置反饋信號重構(gòu)

根據(jù)式(14)可知，期望磁通強(qiáng)度為電磁鐵的垂向加速度、垂向速度和垂向位置的組合，與支撐梁的振動狀態(tài)無關(guān)。實際工程中，懸浮電磁鐵的位置信號不能直接測量，可利用剛性安裝在電磁鐵上的加速度計信號對電磁鐵的位置進(jìn)行估計[10]。理論上，電磁鐵位置信號即加速度信號的兩次積分，為消除兩次積分的飽和效應(yīng)，需要采用二階自歸零積分器代替二階純積分器，有：

當(dāng)采用期望磁通強(qiáng)度（式(16)）時，如圖6 所示，橋梁子系統(tǒng)和懸浮子系統(tǒng)反饋通道的傳遞函數(shù)為：

圖6 利用加速度信號進(jìn)行信號重構(gòu)的系統(tǒng)框圖Fig.6 System diagram when the position feedback are reconstructed by the acceleration signals

磁浮列車-支撐梁耦合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（式(10)）為：

將式(5)(7)代入耦合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（式(18)），有：

根據(jù)上述分析，利用加速度信號對電磁鐵位置信號進(jìn)行重構(gòu)和反饋，可以保證任意支撐梁下的穩(wěn)定性。

5 仿真驗證

利用加速度信號對電磁鐵位置信號進(jìn)行重構(gòu)和反饋，為抑制耦合振動提供了一種解決方法。仿真采用全要素、非線性數(shù)值模型[11]。圖7 給出了利用加速度信號進(jìn)行位置重構(gòu)控制的仿真驗證。

圖7 利用加速度信號進(jìn)行位置重構(gòu)控制的仿真Fig.7 Simulation results when the position feedback are reconstructed by the acceleration signals

當(dāng)時間t＜4s 時，系統(tǒng)采用傳統(tǒng)的基于磁通內(nèi)環(huán)的狀態(tài)反饋控制率，耦合系統(tǒng)出現(xiàn)了內(nèi)生的、持續(xù)的垂向振動。

當(dāng)時間t=4s 時，基于加速度信號重構(gòu)的位置信號參與反饋控制，4.5 s 后，耦合自激振動幅度衰減至零。

懸浮電磁鐵位置信號y E（t）沒有能直接測量的感知手段，因此需要合理估計懸浮電磁鐵的位置信號。由圖7 所示，除動態(tài)響應(yīng)階段，估計值能準(zhǔn)確估計出其垂向位置信息。

仿真結(jié)果表明，利用加速度信號重構(gòu)電磁鐵垂向位置信號并進(jìn)行反饋，能夠保證耦合系統(tǒng)穩(wěn)定性，避免內(nèi)生、持續(xù)振動現(xiàn)象。

6 實驗驗證

為了充分驗證利用電磁鐵加速度信號重構(gòu)電磁鐵垂向位置信號控制振動方法在工程上的可行性，在北車集團(tuán)的磁浮基地開展了相關(guān)實驗。車輛空載重13 t，載荷重8 t，平衡點懸浮間隙為9 mm，磁浮列車懸停在道岔東邊的18 m 跨距的混凝土梁上，混凝土梁的線密度約為2.0 t/m。

如圖8 所示，在1 s 時刻，利用加速度信號重構(gòu)位置信號進(jìn)行反饋以后，支撐梁和電磁鐵的振幅迅速衰減；在2 s 時，振動幅值由1 mm 降低至自然噪聲0.1 mm 水平。為反向驗證算法的可行性，在3 s 時，恢復(fù)原有狀態(tài)反饋控制律，振動又開始出現(xiàn)，且幅值不斷增大。此次實驗證明，利用基于電磁鐵加速度信號重構(gòu)其位置信號，并進(jìn)行反饋的算法，可實現(xiàn)磁浮列車-支撐梁耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定，消除自激振動。

圖8 利用加速度信號進(jìn)行位置重構(gòu)控制的實驗Fig.8 Experiments results when the position feedback are reconstructed by the acceleration signals

7 結(jié)論

本文在借鑒磁浮列車-支撐梁耦合系統(tǒng)最小動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，分析了采用磁通強(qiáng)度內(nèi)環(huán)的系統(tǒng)框圖特點和基于根軌跡的系統(tǒng)穩(wěn)定性，提出了剔除橋梁位移反饋并采用電磁鐵加速度信號重構(gòu)垂向位置信號的控制方案，避免了磁浮列車低速式靜止時的自激振動問題，開展了仿真和實驗研究，驗證了解決方案的可行性。