半球諧振陀螺電路增益非對稱分析及抑制方法

趙萬良，江文杰，張?zhí)煜瑁?琦，邵添羿

（1.上海航天控制技術研究所，上海 201109；2.上海慣性工程技術研究中心，上海 201109）

半球諧振陀螺具有穩(wěn)定的化學、物理性質，其力平衡模式在衛(wèi)星、深空探索、潛艇等載體上已得到廣泛應用[1]。力平衡模式控制下的半球諧振陀螺的測量范圍和帶寬較小，無法滿足捷聯(lián)慣導對陀螺儀的動態(tài)要求，全角模式半球諧振陀螺有著更大的測量范圍和帶寬，更加適用于捷聯(lián)慣導、導彈制導等具有一定動態(tài)性能要求的應用場景。

不同于力平衡工作模式中被鎖定在固定軸的駐波[2]，全角模式中駐波可以自由進動。由于駐波可能出現(xiàn)在360 °的任意方向，對陀螺的對稱性提出了更高要求。這種對稱性要求主要體現(xiàn)在表頭的頻差、阻尼不均勻、電極安裝誤差，以及檢測和驅動電路的增益、相移非對稱[3-7]。目前國內外針對陀螺非對稱性提出了補償或者校準的方法[8-11]，文獻[12]從信號解調的角度分析了檢測驅動電路增益非對稱誤差對駐波解算角度的影響[12]，但沒有研究檢測驅動電路非對稱性對陀螺標度因子和零偏的影響。

本文針對全角模式中檢測、驅動電路的增益和相移非對稱，對駐波的進動特性進行理論分析，得到檢測驅動電路非對稱性對陀螺標度因子線性度和穩(wěn)定度的影響機理，提出對0 °和45 °電極的檢測以及驅動電路進行復用，該方法基本消除了兩路的增益和相移非對稱性，并通過仿真和實驗驗證了該方法的有效性。

1 增益與相移誤差理論分析

1.1 陀螺動力學模型

帶有非理想因素的半球諧振陀螺諧振子動力學模型可表示為[13]：

ωx和ωy為兩個振動模態(tài)的諧振頻率，θ ω為剛性頻率簡正軸，τx和τy為兩個阻尼簡正軸的時間衰減常數，k為進動因子，Δω為陀螺的頻差，Ω 為外界輸入角速度，當諧振子處于四波腹振蕩狀態(tài)時，n=1，ΔGx(ΔGy)和Δφx(Δφy)代表x(y)檢測驅動電路的增益和相移非對稱性，f(ΔGx,Δφx)、f(ΔGy,Δφy)為控制電極對諧振子的施力項。

式(1)包含了表頭的頻差和阻尼不均勻對陀螺的影響，而檢測驅動電路的增益和相移非對稱誤差對陀螺的影響機理尚不明確，為進一步探討f(ΔGx,Δφx)和f(ΔG y,Δφy)的具體形式，分別對檢測端和驅動端的電路進行建模并代入到動力學模型進行分析。

1.2 檢測電路增益與相移非對稱誤差分析

信號檢測電路將陀螺的振動信號轉化為可以利用的電信號，信號檢測電路示意圖如圖1 所示。

圖1 信號檢測電路Fig.1 Signal detection circuitry

定義x和y檢測電路的增益為Gx=KCVx K folx K difx KADx、G y=K CVyK foly K dify KADy，定義x和y檢測電路的相移為Δφ x、Δφ y，檢測到的振動信號分別記為xt、yt，檢測信號滿足式(2)。

當檢測電路相移很小時，檢測信號和陀螺振動信號之間的關系滿足式(3)。

結合式(3)(4)得到式(5)：

對矩陣求逆，得到陀螺振動信號的表達式：

將式(6)代入到式(1)，得到含有檢測電路增益和相移的半球諧振動力學模型：益和相移的動力學模型，將動力學模型轉化為描述振型的慢變量方程[14]：

與檢測驅動增益和相移有關的項為：

其中a、q、θ和φ分別為陀螺駐波的振幅、正交誤差、進動角和相位，式(9)表示了檢測電路的增益與相移非對稱性對陀螺振幅、正交誤差、駐波進動角和振動相位的影響，陀螺的標度因子由第三項決定，其中-KΩ 為半球諧振陀螺的駐波進動角速度，別代表檢測電路增益和相移非對稱性造成的影響。

1.3 驅動電路增益與相移非對稱誤差分析

半球諧振陀螺全角模式的控制環(huán)路包括頻相跟蹤環(huán)路、幅度控制環(huán)路、正交控制環(huán)路，陀螺的驅動信號為：

其中FE為幅度控制環(huán)路驅動力，F(xiàn) q為正交控制環(huán)路驅動力，Gc和Δφc表示0°驅動電路的增益和相移，Gs和Δφs表示45°驅動電路增益和相移。

引入驅動電路增益和相項后，增益和相移的非對稱導致駐波產生漂移，記引入增益項后的駐波角度為θd，θd滿足式(11)

將式(11)對時間求導，得到包含驅動電路增益與相移的駐波角度表達式

其中T=2π/ω，則等式右邊第三項為零，可得

1.4 電路增益和相移誤差對陀螺的影響

綜合考慮檢測和驅動電路增益與相移非對稱對陀螺的影響，聯(lián)立式(8)(14)，忽略二階小量，得到包含檢測驅動電路增益和相移非對稱性的駐波進動角速度表達式：

因此全角模式下陀螺的零偏為：

標度因子為：

分析式(9)(17)可知，在標度因子的影響因素中與相移有關的項為相移非對稱與正交誤差量的乘積，當正交回路達到穩(wěn)態(tài)后，該項的影響可以忽略。因此檢測驅動電路非對稱性對陀螺的影響主要體現(xiàn)在增益非對稱。驅動電路增益非對稱和檢測電路增益非對稱通過對陀螺振幅a和正交q的影響間接影響了陀螺的零偏，但在陀螺的閉環(huán)控制中，正交誤差被抑制到接近 0，所以對零偏的影響可以忽略，但它們對標度因子則產生了直接影響，且驅動和檢測電路的非對稱性對標度因子的影響形式基本相同。根據4.1 節(jié)實測的增益非對稱數據，按照式(17)繪制不同增益非對稱下的標度因子與駐波角度的關系如圖2 所示。

圖2 標度因子和駐波角度的關系Fig.2 The relationship between the scale factor and the standing wave angle

由圖2 可知，檢測和驅動電路的增益非對稱性會造成全角模式下陀螺的標度因子和駐波的角度有關，導致的標度因子的非線性；此外，非對稱性往往還會隨著溫度的變化而變化，導致了標度因子的不穩(wěn)定性。

2 增益非對稱抑制方法

2.1 電路增益變化特性

在實際的電路中，以下因素會導致電路增益的非對稱：

1.陀螺檢測和驅動電路主要由運算放大器和阻容元件組成，不同檢測驅動電路的器件參數值存在誤差。

2.當外界溫度變化時，由于溫度梯度的存在，不同器件的溫度變化不同，電阻、電容的值以及運算放大器的開環(huán)增益、帶寬等參數隨溫度的變化呈非對稱性。

由于檢測驅動電路主要由運放與其外圍器件構成，差分放大器的特性能較好反映電路增益變化規(guī)律，其結構如圖3 所示。

圖3 差分放大器結構Fig.3 The architecture of differential amplifier

令R1=R3，R2=R4，考慮增益帶寬積，差分放大器的傳遞函數為

其中f0為運放的開環(huán)增益低頻極點，Gbw為運放的增益帶寬積，以OP470 和薄膜電阻為例，其參數如表1 所示。OP470增益帶寬積隨溫度變化如圖4所示。

表1 OP470 和薄膜電阻參數Tab.1 The parameters of OP470 and thin film resistance

圖4 OP470 增益帶寬積與溫度的關系Fig.4 OP470 gain bandwidth product vs.temperature

令R1、R2、R3和R4的初始值相等，R2和Gbw的值隨溫度變化，根據式(18)繪制增益-溫度變化圖，由圖5 可知，差分放大器增益變化與溫度基本呈線性關系。

圖5 差分放大器增益與溫度的關系Fig.5 Differential amplifier gain vs.temperature

2.2 增益非對稱抑制方法

根據第一章的分析結果，陀螺的檢測和驅動電路的非對稱會造成標度因子非線性和不穩(wěn)定性，為解決這個問題，可以通過切換的方式使得兩路信號共用檢測和驅動回路來抑制增益非對稱性，原理如圖6 所示。

圖6 驅動和檢測電路單路復用原理圖Fig.6 Single-way multiplexing schematic ofdrive and detection circuits

1.狀態(tài)一：檢測0°軸，驅動45°軸

2.狀態(tài)二：檢測45°軸，驅動0°軸

陀螺0°軸和45°軸通過同一個檢測電路和驅動電路，單路復用的電路增益和相移非對稱性滿足式(19)：

由式(19)可知，單路復用理論上可以消除檢測驅動電路的增益和相移非對稱性，信號處理模塊前后的反切換使得信號恢復為0 °和45 °信號，所以單路復用在減少電路硬件的同時不用改變信號處理的邏輯，原理圖中的開關可以使用遠高于陀螺諧振頻率的切換信號，當切換頻率大于或等于AD(DA)兩倍采樣率時，數字信號處理電路理論上可以獲得與雙路驅動檢測相同的信號，因此不會對陀螺的角度變化帶寬帶來影響，實際中可以采用具有高切換頻率的模擬開關器件，由FPGA 產生大于或等于AD(DA)兩倍采樣率的開關控制信號，單路復用的關鍵在于信號的切換，必須保證信號在切換過程中不互相干擾且能夠完全復原。

3 仿真驗證

為確定單路復用的可行性，在matlab 中搭建陀螺的控制模型，進行信號切換的功能性仿真并在全角模式下驗證單路復用對標度因子非線性和穩(wěn)定性的提升。

根據式(1)在matlab 中建立陀螺數學模型并作為控制系統(tǒng)的受控對象，用160 kHz 的方波作為開關控制信號將0 °軸和45 °軸的檢測信號切換到同一個檢測通道，信號切換結果如圖7 所示

圖7 檢測電路前端信號切換Fig.7 Detects front-end signal switching in the circuit

模擬信號經過AD 采樣后變?yōu)閿底中盘?，在數字處理器中對該信號進行反切換，將其還原為0 °軸信號和45 °軸信號，AD 采集的信號以及信號的還原過程如圖8 所示。

圖8 檢測電路后端信號還原Fig.8 circuit back-end signal restoration

驅動端的信號切換過程與檢測端類似，所有切換的控制信號為同一個信號，保證信號切換的同步性。

根據1.3 節(jié)結論，檢測驅動非對稱對陀螺的影響主要體現(xiàn)在增益非對稱，由下文中4.1 節(jié)的增益非對稱溫度實驗可知在25℃到85℃的溫度范圍內，增益非對稱最大值為5.8‰，根據理論以及實驗結果，在仿真中設置檢測驅動增益非對稱GΔ 為6‰，其余仿真參數如表2 所示。

表2 陀螺雙路檢測驅動與單路復用仿真參數Tab.2 Gyro dual detection drive and single multiplexed simulation parameters

其中，f為陀螺諧振頻率，Δω為陀螺頻差，Q為陀螺的品質因數，θw和θτ分別為陀螺頻率軸和阻尼軸，以上參數按照接近陀螺真實情況設置；模擬外界角速度，分別設置為 ±1 °/s、±1 0°/s、±5 0°/s、±100°/s，記錄全角模式下陀螺角度的輸出，對比雙路檢測和單路復用情況下標度因子的線性度，陀螺的輸入輸出以及擬合曲線如圖9-10 所示。

圖9 雙路檢測驅動標度因數仿真Fig.9 Dual-channel detection drives scale factor simulation

圖10 單路復用標度因數仿真Fig.10 Single multiplexed scale factor simulation

全角模式標度因子非線性度的計算方法為：

仿真結果顯示雙路檢測驅動的標度因數非線性為296.7 ppm，單路復用的標度因數非線性為0.3 ppm，提升了約4 個數量級。

按照4.1 節(jié)增益非對稱實驗結果設置溫度從25℃到85℃時的增益非對稱性參數，共10 個溫度點，如表3 所示。

表3 不同溫度下的增益非對稱參數Tab.2 Gain asymmetrical parameters at different temperatures

不同溫度下設外界輸入角速度分別為±1°/s、±10°/s、±50°/s、±100°/s，計算不同溫度下的標度因數，對比雙路檢測驅動和單路復用的標度因數穩(wěn)定性，仿真結果如圖11 所示。

圖11 標度因子與溫度的關系Fig.11 The relationship between the scale factor and temperature

雙路檢測驅動和單路復用的標度因子分別變化了970.7 ppm 和0.1 ppm，降低了約5 個數量級。

以上仿真結果表明，檢測和驅動電路的單路復用基本可以消除檢測增益非對稱性對標度因子線性度和穩(wěn)定性的影響。

4 實驗驗證

4.1 電路增益非對稱性實驗

為確定電路增益非對稱性與溫度的關系，用正弦信號測試陀螺0 °和45 °的驅動檢測電路增益，原理如圖12 所示。

圖12 電路增益檢測原理Fig.12 The schematic of circuit gain detection

將陀螺檢測驅動電路放進溫箱，設置溫度變化程序為：初始值25℃，保持10 分鐘后以1℃/min 的溫變速率上升到85℃并保持十分鐘，然后以-1℃/min 的溫變速率下降到初始值，記錄兩路檢測驅動電路的增益，并做歸一化處理，結果如圖13 所示。

圖13 電路增益非對稱溫度實驗Fig.13 Circuit gain asymmetric temperature experiment

由圖16 可知，0 °和45 °檢測驅動電路的增益在25℃存在0.9‰的差異，隨著溫度的上升，兩路的增益非對稱性也逐漸增大，且近似呈線性關系，到85℃時增益非對稱達到了5.8‰。

4.2 控制電路單路復用實驗

為了進一步驗證理論分析和仿真結果，根據2.2節(jié)提出的單路復用方法設計驅動檢測切換電路并測試單路復用下的CV 輸出，如圖14 所示。

圖14 單路復用切換電路及CV 輸出Fig.14 Single multiplexed switching circuit and CV output

對比圖14 和圖7 可知，單路復用下的CV 輸出與仿真結果基本相符。接下來搭建陀螺測試平臺，分別開展雙路檢測驅動和單路復用的轉臺實驗，先后將兩種硬件狀態(tài)的陀螺和控制電路固定在轉臺上，控制轉臺以±1 °/s,±5 °/s,±10 °s/ ±20 °/s,±50 °/s 的轉速旋轉，當轉臺轉速穩(wěn)定后，記錄每個轉速下60 s 的角度輸出數據，測試平臺如圖18 所示。

圖15 是測試轉臺正向輸入20 °/s 時，雙路檢測驅動與單路復用的角速度-方位角曲線。

圖15 半球諧振陀螺測試平臺Fig.15 Hemispheric resonant gyroscope test platform

由圖16 可知，與雙路檢測驅動相比，單路復用將角速度漂移降低了82%，根據式(15)，剩余的角速度漂移為與阻尼不均勻有關的零偏。按照式(20)計算雙路檢測驅動與單路復用的標度因數非線性，結果如圖17 所示。

圖16 雙路檢測驅動與單路復用的角度-角速度對比Fig.16 Angular-angular velocity comparison between dual detection driver and single multiplexed

圖17 雙路檢測驅動與單路復用的標度因數非線性對比Fig.17 Nonlinear comparison of scale factor of dual detection driver and single multiplexing

由圖17 可知，單路復用將標度因數非線性從6%降低到了1.3%，與角速度漂移一樣，如果需要進一步降低標度因數非線性，需要解決諧振子阻尼不均勻問題。

5 結論

本文首先推導了含有檢測驅動電路非對稱項的半球諧振陀螺非理想動力學模型，得出檢測驅動電路非對稱對陀螺的影響主要體現(xiàn)在增益非對稱的結論；然后通過仿真得到在6‰檢測驅動增益非對稱下標度因子的非線性和不穩(wěn)定性分別為 296.7 ppm 和970.7 ppm，提出一種單路復用方法抑制電路的增益非對稱，仿真結果顯示通過單路復用可將增益非對稱帶來的標度因數非線性和不穩(wěn)定性分別降到0.3 ppm 和0.1 ppm，證明了方法的有效性；接下來開展溫度實驗證明了電路的增益非對稱與溫度基本呈線性關系；最后開展雙路檢測驅動與單路復用的對比實驗，實驗結果顯示單路復用將角速度漂移降低了82%，將標度因數非線性從6%降低到了1.3%，結合理論分析可知剩余的誤差主要取決于諧振子的阻尼不均勻；根據仿真和實驗結果得出結論：單路復用可以有效解決全角模式的電路增益非對稱問題。