《概率論》混合式教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

牛瀟萌，李浩然

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

1 引言

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門(mén)應(yīng)用性很強(qiáng)的課程，是我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門(mén)專業(yè)核心課程，學(xué)時(shí)是48學(xué)時(shí)，內(nèi)容涵蓋了隨機(jī)事件與概率，隨機(jī)變量及其分布，多維隨機(jī)變量及其分布，隨機(jī)變量的數(shù)字特征等內(nèi)容，需要講授的內(nèi)容比較多。受學(xué)時(shí)限制，傳統(tǒng)的教學(xué)過(guò)程中，教師為了完成教學(xué)任務(wù)，存在與學(xué)生互動(dòng)少，重理論，輕實(shí)踐等問(wèn)題。當(dāng)下由于疫情的影響，建設(shè)混合式教學(xué)模式很有必要。近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)于混合式教學(xué)都進(jìn)行了研究[1-5]。本文基于泛雅平臺(tái)，以全概率公式為例，從課前準(zhǔn)備、課前預(yù)習(xí)、課堂講解、隨堂練習(xí)、課后作業(yè)等方面進(jìn)行線上、線下混合式教學(xué)設(shè)計(jì)。

線上部分教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明及思路如下：

課前預(yù)習(xí)：教師需要提前一周在泛雅平臺(tái)設(shè)計(jì)好預(yù)習(xí)題目，學(xué)生在學(xué)習(xí)通上完成相應(yīng)的題目，教師根據(jù)預(yù)習(xí)情況調(diào)整講課內(nèi)容。另外，針對(duì)比較難理解的章節(jié)，教師錄制了微課視頻，便于更好地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行預(yù)習(xí)。

隨堂練習(xí)：為了提高學(xué)習(xí)效率，課堂上必須讓學(xué)生思考，隨堂練習(xí)就是有效檢驗(yàn)學(xué)生是否聽(tīng)課、是否思考的有效措施。所以在每次上課前，教師需要提前設(shè)計(jì)好隨堂練習(xí)。由于課堂時(shí)間有限，隨堂練習(xí)設(shè)計(jì)的不能太難，計(jì)算也不要太復(fù)雜，題目要讓大多數(shù)同學(xué)能在短時(shí)間內(nèi)作出來(lái)。由于學(xué)習(xí)通上能看到所有學(xué)生的課堂練習(xí)情況，有效預(yù)防了有些偷懶學(xué)生上課不聽(tīng)課、不思考的情況。

課后作業(yè)：課后作業(yè)能有效檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的掌握情況，所以課后作業(yè)是非常重要的一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。教師需要根據(jù)講課內(nèi)容，重點(diǎn)、難點(diǎn)設(shè)計(jì)多種形式的作業(yè)，學(xué)生完成作業(yè)后，在學(xué)習(xí)通上提交。根據(jù)學(xué)生的完成情況，教師針對(duì)共性問(wèn)題，錄制微課進(jìn)行講解。數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的《概率論》只有48學(xué)時(shí)，課時(shí)較少，針對(duì)這一實(shí)際情況，教師不可能把每道課后題都在課堂上進(jìn)行講解，所以在每章學(xué)完后，教師把提前錄制好的課后題講解視頻上傳到泛雅平臺(tái)，學(xué)生們根據(jù)自己的實(shí)際情況進(jìn)行有選擇的學(xué)習(xí)。

階段性測(cè)試：為了檢驗(yàn)學(xué)生每章的掌握情況，便于教師發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，在每講完一章后，需要進(jìn)行一次階段性測(cè)試，階段性測(cè)試不占用課堂時(shí)間，利用學(xué)生課余時(shí)間在學(xué)習(xí)通上完成。

2 教學(xué)過(guò)程

下面以《概率論》第一章第四節(jié)全概率公式為例，說(shuō)明如何更好地實(shí)現(xiàn)線上與線下混合式教學(xué)。

2.1 課前準(zhǔn)備

上課前要求學(xué)生下載學(xué)習(xí)通APP，教師提前在泛雅平臺(tái)建課，將班級(jí)邀請(qǐng)碼發(fā)給學(xué)生加入學(xué)習(xí)通的班級(jí)。進(jìn)入學(xué)習(xí)通班級(jí)后，要求學(xué)生首先熟悉學(xué)習(xí)通的功能，以便后續(xù)的操作。教師提前一周布置學(xué)習(xí)任務(wù)，以便學(xué)生進(jìn)行預(yù)習(xí)。

2.2 課前預(yù)習(xí)

回顧與全概率公式這節(jié)內(nèi)容相關(guān)的知識(shí)。

全概率公式是概率論這門(mén)課程比較重要的公式，在很多領(lǐng)域有著重要的廣泛的應(yīng)用。這個(gè)公式是前面學(xué)習(xí)過(guò)的條件概率的拓展和延伸。因此在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前需要讓學(xué)生復(fù)習(xí)條件概率的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。這部分內(nèi)容在學(xué)習(xí)通進(jìn)行布置，要求學(xué)生完成相關(guān)任務(wù)。在學(xué)習(xí)通上布置內(nèi)容如下：

學(xué)習(xí)通練習(xí)1復(fù)習(xí)條件概率公式、加法公式、乘法定理；

學(xué)習(xí)通練習(xí)2試著用加法公式和乘法定理解決如下問(wèn)題：某人坐火車、坐汽車的概率分別為0.3，0.7，若果坐火車，他遲到的概率是0.2；如果坐汽車，他遲到的概率是0.15。求此人最后遲到的概率。

教師上課之前要檢查學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，根據(jù)完成情況進(jìn)行打分，并將分?jǐn)?shù)計(jì)入平時(shí)成績(jī)中。教師根據(jù)學(xué)生的預(yù)習(xí)情況、學(xué)習(xí)通練習(xí)2的做題情況和泛雅平臺(tái)討論區(qū)的留言，適當(dāng)調(diào)整線下的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，以提高課堂教學(xué)效率。

2.3 課堂講解

2.3.1 回顧舊知識(shí)

復(fù)習(xí)本節(jié)課用到的知識(shí)點(diǎn)：設(shè)A、B是兩個(gè)事件，

條件概率公式：

乘法公式：

教師提前在學(xué)習(xí)通的隨堂練習(xí)中設(shè)計(jì)好如下題目：

學(xué)習(xí)通練習(xí)3寫(xiě)出條件概率公式和乘法公式。

上課時(shí)間發(fā)放此練習(xí)，要求學(xué)生利用2分鐘寫(xiě)出這兩個(gè)公式，并學(xué)習(xí)通上提交，老師此時(shí)可以檢查一下學(xué)生對(duì)這兩個(gè)公式的掌握情況。

2.3.2 引入新知識(shí)

引例設(shè)有A、B、C三個(gè)箱子，A箱子中有4個(gè)排球和5個(gè)籃球；B袋子中有3個(gè)排球和7個(gè)籃球，C袋子中有5個(gè)排球和3個(gè)籃球?，F(xiàn)在從三個(gè)箱子中任意選一個(gè)箱子，再?gòu)闹腥我膺x一球，則取到的是排球的概率？

教師提前在學(xué)習(xí)通的隨堂練習(xí)中設(shè)計(jì)出如下題目：

學(xué)習(xí)通練習(xí)4取到排球有 種可能性；每種可能性出現(xiàn)的概率是___。

讓同學(xué)們?cè)囍脤W(xué)過(guò)的知識(shí)自己解決上面問(wèn)題，把答案?jìng)鞯綄W(xué)習(xí)通，此時(shí)教師看一下同學(xué)們的解題過(guò)程是否正確。然后根據(jù)學(xué)生的回答情況做進(jìn)一步講解。

分析易知，取到排球有三種可能性，一種是取到A箱子后取到排球，其概率為取到A箱子的概率乘以取到A箱子的條件下取到排球的概率，即1/3×4/9；一種是取到B箱子后取到排球，其概率為取到B箱子的概率乘以取到B箱子的條件下取到排球的概率，即1/3×1/10；一種是取到C箱子后取到排球，其概率為取到C箱子的概率乘以取到C箱子的條件下取到排球的概率，即1/3×5/8，將這三種可能性的值加起來(lái)就是所要求的概率了。

解設(shè)A={取到的是排球}，B1={從A箱子取球}，B2={從B箱子取球}，B3={從C箱子取球}，則

A發(fā)生有三種可能性，或者從A箱子取球且取到排球，或者從B箱子取球且取到排球，或者從C箱子取球且取到排球，即

由加法公式可得

由乘法定理可得

即取到排球的概率為0.456。

需要指出的是上面的例子的實(shí)質(zhì)是把一個(gè)復(fù)雜事件劃分成了三個(gè)互不相容的簡(jiǎn)單事件，然后利用乘法定理和加法公式，求出了這個(gè)復(fù)雜事件的概率。此種方法能否推廣到一般情形呢？由此引出全概率公式。

2.3.3 全概率公式

定義1[6]設(shè)Ω為實(shí)驗(yàn)E的樣本空間，A1,A2,…,An為E的一組事件。如果

（1）AiAj=Φ，i≠j,i,j=1,2,…,n,

（2）A1∪A2∪…∪An=Ω，

則稱A1,A2,…,An為樣本空間Ω的一個(gè)劃分。

定理1[6]設(shè)Ω為實(shí)驗(yàn)E的樣本空間，B為E的事件，A1,A2,…,An為樣本空間Ω的一個(gè)劃分，且P(Ai)>0(i=1,2,…,n)，則稱

為全概率公式。

全概率教學(xué)過(guò)程中的難點(diǎn)是如何確定樣本空間的劃分，在應(yīng)用全概率公式時(shí)要注意劃分的選擇，務(wù)必把引起B(yǎng)事件發(fā)生的所有情況A1,A2,…,An都找到，而且這些事件A1,A2,…,An必須是兩兩互不相容的，A1∪A2∪…∪An=Ω。例如引例中B1={從A箱子取球}，B2={從B箱子取球}，B3={從C箱子取球}就是樣本空間的一個(gè)劃分。

教師提前在學(xué)習(xí)通設(shè)計(jì)如下有關(guān)劃分的題目：

學(xué)習(xí)通練習(xí)5設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E：擲一顆骰子觀察其點(diǎn)數(shù)，其樣本空間為Ω={1,2,3,4,5,6}，則下面敘述正確的是（ ）

A.E的一組事件A1={1,2}，A2={4}，A3={5,6}是樣本空間的一個(gè)劃分；

B.E的一組事件B1={1,3}，B2={3,4}，B3={4,5}是樣本空間的一個(gè)劃分；

C.E的一組事件C1={1,2}，A2={3,4,6}，A3={5,6}是樣本空間的一個(gè)劃分；

D.E的一組事件A1={1,2,3}，A2={4}，A3={5,6}是樣本空間的一個(gè)劃分。

例1[6]盒子中放有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)是新的，第一次比賽時(shí)從中任取3個(gè)來(lái)用，比賽后仍放回去，第二次比賽從盒子中又任取3個(gè)球，求第二次取到的球都是新球的概率。

解設(shè)

則B0，B1，B2，B3是樣本空間的一個(gè)劃分。應(yīng)用全概率公式可得

從而

總結(jié)：應(yīng)用全概率公式的解題過(guò)程：

（1）找出樣本空間的劃分：A1,A2,…,An；

（2）求出P(B|Ai)，i=1,2,…,n；

（3）求出P(Ai)，i=1,2,…,n；

在講完本節(jié)內(nèi)容之后，在學(xué)習(xí)通上設(shè)計(jì)作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用全概率公式解題的能力。

3 過(guò)程性考核

采用過(guò)程化考核，除了傳統(tǒng)方式中考核學(xué)生的課堂表現(xiàn)和期末成績(jī)以外，要求學(xué)生在理解和掌握課程內(nèi)容的基礎(chǔ)上，結(jié)合師范專業(yè)的特點(diǎn)，選取一個(gè)以實(shí)際問(wèn)題為切入點(diǎn)，完成一個(gè)關(guān)于概率問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)。因此，成績(jī)考核主要由平時(shí)成績(jī)+章節(jié)測(cè)試+教學(xué)設(shè)計(jì)+期末成績(jī)四個(gè)部分組成。平時(shí)成績(jī)包括學(xué)習(xí)通完成任務(wù)點(diǎn)得分，課前完成學(xué)習(xí)通上留的預(yù)習(xí)題目得分，課中完成學(xué)習(xí)通中的隨堂練習(xí)得分和課后完成作業(yè)得分。章節(jié)測(cè)試占百分之三十，教學(xué)設(shè)計(jì)占百分之十，期末測(cè)試占百分之四十。這樣，將考核貫穿在整個(gè)課程的實(shí)施過(guò)程中，能從多方面、比較全面地對(duì)學(xué)生掌握知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的程度進(jìn)行考核。

4 結(jié)束語(yǔ)

線上線下混合式教學(xué)提高了教學(xué)效率，能更好地引導(dǎo)學(xué)生做到課前預(yù)習(xí)，課中集中精力聽(tīng)課，課后及時(shí)完成作業(yè)，能更好地使教師了解學(xué)生課前預(yù)習(xí)情況，課中知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。教學(xué)過(guò)程以學(xué)生為中心，使教學(xué)過(guò)程能夠成為學(xué)生主動(dòng)參與、思考、分析、解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)過(guò)程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。