智能汽車軌跡跟蹤與橫擺穩(wěn)定性協(xié)同控制

劉紅鑠，陶 剛，李德潤，張 曦，龔建偉，

（1.北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081；2.北京理工大學(xué)重慶創(chuàng)新中心，重慶 401120）

現(xiàn)有的智能汽車駕駛系統(tǒng)包括環(huán)境感知和定位、決策規(guī)劃以及車輛控制［1］。智能汽車駕駛系統(tǒng)的目的是使車輛能夠安全穩(wěn)定地行駛。車輛行駛道路可以分為直線道路和曲線道路，當(dāng)車輛在曲線道路下行駛時車輪會承受更復(fù)雜的橫縱向耦合作用力，李煒等［2］研究發(fā)現(xiàn)，智能汽車在曲線道路下難以在保證穩(wěn)定性的同時進(jìn)行高精度的運(yùn)動控制。當(dāng)前對于智能汽車控制的研究主要分為路徑跟蹤和軌跡跟蹤兩個方面。

路徑跟蹤中的參考軌跡點(diǎn)為不包含速度信息的路徑點(diǎn)［3］，通常假設(shè)車輛的行駛工況為勻速工況，通過主動轉(zhuǎn)向?qū)崿F(xiàn)對車輛的橫向控制。現(xiàn)有的研究通常采用模糊邏輯控制、PID控制、模型預(yù)測控制、線性二次調(diào)節(jié)控制等方法及其結(jié)合的方式設(shè)計路徑跟蹤控制器［4-7］。雖然在路徑跟蹤的研究中忽略了車輛的參考速度，但是將車輛的實際速度作為不確定信息添加到了路徑跟蹤控制器中，可以提高控制器的魯棒性［8］。軌跡跟蹤同時考慮車輛的橫向運(yùn)動和縱向運(yùn)動，更滿足車輛的實際行駛需求，其設(shè)計的控制器分為解耦式和耦合式兩種。在解耦式軌跡跟蹤控制器的研究中，鄭戍華等［9］采用粒子群PID控制算法分別設(shè)計了橫向控制器和縱向控制器，在橫向控制器中忽略了縱向速度的變化。在耦合式軌跡跟蹤控制器的研究中，SONG Xiaohua等［10］提出了一種時變模型的軌跡跟蹤方法，實現(xiàn)了低速復(fù)雜駕駛條件下的軌跡跟蹤，但是未對高速場景進(jìn)行驗證。陳龍等［11］建立了橫縱向耦合的動力學(xué)模型，通過非線性模型預(yù)測控制器實現(xiàn)了對期望路徑和期望縱向速度的跟蹤控制，但其設(shè)置的跟蹤速度為勻速，未對變速情況下控制器的跟蹤能力進(jìn)行驗證。

為提高智能汽車穩(wěn)定地通過變曲率彎道的能力，以四輪獨(dú)立驅(qū)動智能電動汽車為研究對象，設(shè)計了模型預(yù)測控制與直接橫擺力矩控制協(xié)同控制規(guī)則。本文的主要貢獻(xiàn)在于：

（1）建立了橫縱向耦合的車輛動力學(xué)模型，并利用2階龍格庫塔離散法保證了模型的離散精度，保證控制器具有對變速工況精確跟蹤的能力。

（2）基于簡化的2自由度動力學(xué)模型推導(dǎo)了車輛橫擺穩(wěn)定性約束，利用模型預(yù)測控制器顯示處理約束的能力提高了智能汽車的橫擺穩(wěn)定性。

（3）設(shè)計了直接橫擺力矩控制與模型預(yù)測控制的協(xié)同控制規(guī)則，利用直接橫擺力矩控制能夠改變車輛橫擺角速度與航向角的特點(diǎn)，補(bǔ)償了模型預(yù)測控器作為非線性規(guī)劃問題存在的無法求得可行解的問題，以及添加約束后導(dǎo)致最優(yōu)性降低的問題，在保證控制精度的條件下提高了車輛行駛的穩(wěn)定性。

1 車輛動力學(xué)模型

為了滿足模型預(yù)測控制算法對狀態(tài)預(yù)測的要求，預(yù)測模型應(yīng)能夠準(zhǔn)確描述車輛的運(yùn)動學(xué)約束和動力學(xué)約束，從而預(yù)測車輛未來時刻的狀態(tài)。忽略道路垂向變化，對車輛進(jìn)行受力分析，車輛受力如圖1所示。

圖1 車輛受力圖

假設(shè)車輛前輪轉(zhuǎn)向角相等，汽車的縱向動力學(xué)、橫向動力學(xué)和橫擺動力學(xué)方程分別為：

式中：Vx、Vy、、分別為縱、橫向速度和加速度；ψ?為車輛橫擺角加速度；ψ?為車輛橫擺角速度；δ為前輪轉(zhuǎn)向角；M為汽車總質(zhì)量；Iz為車輛繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量；Lf、Lr為質(zhì)心到前后軸的距離；Lb為輪距的一半；Fxij為輪胎縱向力，F(xiàn)yij為輪胎側(cè)向力，ij=lf，rf，lr，rr分別表示車輛的左前輪、右前輪、左后輪、右后輪。

輪胎所受縱向力由各個輪胎受到的牽引力矩決定，車輛總牽引力矩可表示為：

式中：TW為車輛總牽引力矩；TDmax和TBmax為車輛最大驅(qū)動力矩和最大制動力矩；T為驅(qū)動指令，其值在-1和1之間。

對輪胎縱向力進(jìn)行分配：

式中：Txr為前輪總縱向力矩；Txf為后輪總縱向力矩；ζ為前后輪縱向力矩分配系數(shù)，本文按平均分配原則，取ζ為0.5；Re為輪胎有效半徑；Fxi為軸上輪胎縱向力之和，i=f，r分別表示前輪和后輪，軸上左右輪胎縱向力分配原則見2.2節(jié)。

考慮在變曲率道路下輪胎受力的非線性，采用魔術(shù)公式［12］對輪胎側(cè)向力進(jìn)行計算：

式中：B，C，D，E為特性參數(shù)，通過輪胎試驗數(shù)據(jù)擬合得到；αij為輪胎側(cè)偏角，ij=lf，rf，lr，rr分別表示車輛的左前輪、右前輪、左后輪、右后輪。

2 軌跡跟蹤控制器

2.1 非線性模型預(yù)測控制器

采用模型預(yù)測控制算法作為軌跡跟蹤的基本控制策略。模型預(yù)測控制算法的目標(biāo)是在預(yù)測時域內(nèi)計算得到一系列的控制序列，當(dāng)將此控制序列輸入預(yù)測模型時，由參考軌跡和車輛狀態(tài)之間的差值設(shè)計的損失函數(shù)在滿足約束條件下最小。將控制序列中的第一個控制量作為實際控制量，實現(xiàn)車輛控制，完成軌跡跟蹤。

為計算參考軌跡與車輛狀態(tài)之間的差值，需要對車輛位置進(jìn)行描述。車輛慣性坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系的關(guān)系轉(zhuǎn)換解析式為：

式中：X，Y為全局坐標(biāo)系下的車輛坐標(biāo)；ψ為車輛航向角。

結(jié)合式（1）～（3）、式（13）～（14），建立模型預(yù)測控制器的非線性動力學(xué)狀態(tài)方程為：

式中：ξ為狀態(tài)變量，u為控制變量，u=[δT]T；Fxf為前輪總縱向力；Fxr為后輪總縱向力；Fyf為前輪總橫向力；Fyr為后輪總橫向力；ψ?的具體解析式如式（3）所示。

式（15）為連續(xù)時間狀態(tài)方程，為在模型預(yù)測控制器中實現(xiàn)狀態(tài)預(yù)測，需要對其進(jìn)行離散化。推導(dǎo)適用于車輛非線性動力學(xué)狀態(tài)方程的2階龍格庫塔離散法，由此得到預(yù)測車輛狀態(tài)為：

式中：H為模型預(yù)測控制器的采樣時間；ξk為車輛當(dāng)前時刻狀態(tài)量；uk為當(dāng)前時刻控制量；ξk+1為預(yù)測車輛下一時刻狀態(tài)量。

通過離散化模型得到的車輛預(yù)測狀態(tài)信息與參考軌跡信息，可以構(gòu)造模型預(yù)測控制器的損失函數(shù)。選取縱向位置誤差el、橫向位置誤差ec、航向角誤差eo和速度誤差ev設(shè)計誤差函數(shù)，以實現(xiàn)對參考路徑和參考速度的綜合跟蹤，誤差示意圖如圖2所示。

圖2 誤差示意圖

對于跟蹤過程中還需要要求控制量的穩(wěn)定性，因此設(shè)計控制量約束函數(shù)與誤差函數(shù)相協(xié)同，得到損失函數(shù)為：

考慮到變曲率道路下控制指令的時變性和非線性，當(dāng)輪胎受到的橫縱向耦合力接近飽和時，繼續(xù)增大前輪轉(zhuǎn)向角會使輪胎側(cè)偏力急劇增大，使智能汽車喪失橫擺穩(wěn)定性導(dǎo)致危險的發(fā)生。因此，對于變曲率道路下行駛的智能汽車必須進(jìn)行橫擺穩(wěn)定性控制。

式（1）～（3）橫縱向耦合的動力學(xué)模型可以滿足四輪縱向獨(dú)立驅(qū)動的需求。在建模過程中對車輛橫向動力學(xué)進(jìn)行了簡化，假設(shè)左右前輪轉(zhuǎn)向角一致；并且當(dāng)不介入直接橫擺力矩控制時，左右車輪的縱向力相同，因此縱向力不影響橫擺穩(wěn)定性的分析，可將式（1）和式（3）簡化為單軌動力學(xué)模型，對前輪轉(zhuǎn)向角δ作小角度假設(shè)，得到：

式中：Fyf為前輪總橫向力，F(xiàn)yr為后輪總橫向力，由式（8）~（12）可得：

式中：Cαi為輪胎名義側(cè)偏剛度，αi為輪胎名義側(cè)偏角，其中i=f，r分別表示前輪和后輪。

車輛的側(cè)向力大小受路面摩擦因數(shù)的制約，根據(jù)式（22）可知，車輛的側(cè)向加速度由兩部分組成，由向心力產(chǎn)生的側(cè)向加速度通常占85%，因此，車輛橫擺角速度的閾值為：

為防止車輛在轉(zhuǎn)彎過程中發(fā)生側(cè)滑喪失穩(wěn)定性，車輛都被設(shè)計為具有不足轉(zhuǎn)向特性，質(zhì)心位置在中性轉(zhuǎn)向點(diǎn)之前，前輪側(cè)偏角和側(cè)偏力均大于后輪，所以根據(jù)式（22）～（26）和地面附著力限制，對車輛前輪進(jìn)行橫擺穩(wěn)定性約束，如式（27）所示。

式中：αf，lim為保證車輛安全的前輪極限側(cè)偏角。

構(gòu)建非線性規(guī)劃問題得到模型預(yù)測控制器為：

式中：N為模型預(yù)測控制器的時域長度，控制時域與預(yù)測時域長度相同。

2.2 直接橫擺力矩協(xié)同控制

模型預(yù)測控制器本質(zhì)上是求解一個帶有不等式約束的非線性規(guī)劃問題。通過非線性動力學(xué)方程構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，考慮車輛橫擺穩(wěn)定性添加不等式約束，使非線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解在約束范圍內(nèi)，從而保證車輛的橫擺穩(wěn)定性。但是包含不等式約束的非線性規(guī)劃問題可能不存在可行解，求得的最優(yōu)解超出可行域范圍，當(dāng)智能汽車將該最優(yōu)解作為控制量執(zhí)行時，會使車輛的橫擺角速度超出約束范圍，增加車輛失穩(wěn)的風(fēng)險。

直接橫擺力矩控制通過獨(dú)立控制各個車輪的驅(qū)動力或制動力，使車輛左側(cè)車輪和右側(cè)車輪之間或是前側(cè)車輪與后側(cè)車輪之間受力不同產(chǎn)生主動橫擺力矩，直接控制車輛的橫擺角速度。利用模型預(yù)測控制器輸出的最優(yōu)控制量和車輛預(yù)測狀態(tài)，使用直接橫擺力矩控制器對期望橫擺角速度進(jìn)行跟蹤，保證車輛執(zhí)行模型預(yù)測控制器輸出的最優(yōu)控制量時橫擺角速度始終在約束范圍之內(nèi)。

假設(shè)前輪轉(zhuǎn)向角δ在控制周期內(nèi)保持穩(wěn)定，根據(jù)式（17）模型預(yù)測控制器預(yù)測得到的車輛未來時刻狀態(tài)量，以及式（27）和式（29）得到符合橫擺穩(wěn)定性約束的期望橫擺角速度為：

直接橫擺力矩控制器通過對期望橫擺角速度的跟蹤，使智能汽車的橫擺角速度保持在穩(wěn)態(tài)橫擺角速度附近，保證車輛的橫擺穩(wěn)定性。由于車輛設(shè)計為轉(zhuǎn)向不足特性，車輛前輪受力更容易接近飽和，根據(jù)式（27）通過模型預(yù)測控制器對前輪的橫擺穩(wěn)定性進(jìn)行約束，所以直接橫擺力矩控制器利用后輪的富余附著力產(chǎn)生主動橫擺力矩，與模型預(yù)測控制器輸出的最優(yōu)控制量協(xié)同作用，跟蹤期望橫擺角速度。根據(jù)式（5）～（7），式（17）和式（30）得到智能汽車輪胎縱向力的分配為：

通過式（32）的等式約束，保證車輛的縱向總力在直接橫擺力矩協(xié)同控制執(zhí)行前后不變，從而保證智能汽車的縱向跟蹤性能不受影響；通過式（33）的不等式約束，保證車輪上的附著力不會因為直接橫擺力矩協(xié)同控制超過其附著極限，從而保證車輛的行駛安全。

式中：Fzir為輪胎的垂向力，其中i=l，r分別表示左輪和右輪；μ為附著系數(shù)。

如圖2所示，直接橫擺力矩控制器在調(diào)整車輛橫擺角速度的同時也改變了車輛的航向角，影響了智能汽車的軌跡跟蹤精度。當(dāng)參考軌跡在車輛逆時針方向時，逆時針的主動橫擺力矩會使智能汽車航向偏向于參考軌跡，使其趨向于減小橫向誤差；順時針的主動橫擺力矩會使車輛航向遠(yuǎn)離參考軌跡，使其趨向于擴(kuò)大橫向誤差。

綜合考慮跟蹤誤差和橫擺穩(wěn)定性，設(shè)計主動橫擺力矩控制與模型預(yù)測控制協(xié)同控制規(guī)則，當(dāng)預(yù)測橫擺角速度超出期望橫擺角速度時，在不影響橫向跟蹤誤差的前提下維持車輛的橫擺穩(wěn)定性；當(dāng)預(yù)測橫擺角速度未超出期望橫擺角速度時，利用富余的橫擺穩(wěn)定性減小橫向跟蹤誤差。轉(zhuǎn)向控制指令為逆時針時，δ為正；參考軌跡在車輛逆時針方向時，ec為正。協(xié)同控制規(guī)則如圖3所示。

圖3 協(xié)同控制規(guī)則

當(dāng)模型預(yù)測控制器中存在不可行解時，通過與直接橫擺力矩控制器的協(xié)同控制減小車輛的橫擺角速度，保證車輛的橫擺穩(wěn)定性，進(jìn)一步提高了控制器的魯棒性。協(xié)同控制對橫向跟蹤誤差的優(yōu)化也彌補(bǔ)了模型預(yù)測控制器中存在的約束條件與最優(yōu)性相矛盾的問題，同時保證了智能汽車的跟蹤精度和穩(wěn)定性。

3 仿真試驗研究

為驗證本文控制方法的有效性，基于CarSim/Simulink軟件對MPC-DYC協(xié)同控制器進(jìn)行軌跡跟蹤仿真。選擇變曲率U型彎作為參考路徑，驗證本文控制方法通過變曲率彎道的跟蹤精度和穩(wěn)定性；參考路徑的最大速度為70 km/h，根據(jù)參考路徑曲率信息和加速度限制設(shè)計參考速度，驗證本文控制方法對變速軌跡的跟蹤能力。參考路徑曲率信息如圖4所示，最大曲率為0.02 m-1。參考速度信息如圖5所示，道路允許最大速度為70 km/h，進(jìn)入彎道時減速，駛出彎道時加速，最小速度為56 km/h。

圖4 軌跡曲率

圖5 軌跡參考速度

分別用經(jīng)典MPC控制器、考慮橫擺穩(wěn)定性約束的MPC控制器、DYC-MPC協(xié)同控制器對變曲率U形彎進(jìn)行跟蹤。軌跡跟蹤效果如圖6所示，3種控制器都能較好地跟蹤參考軌跡，在軌跡曲率最大處，DYC-MPC協(xié)同控制器的行駛軌跡距離參考軌跡最近，進(jìn)行橫擺穩(wěn)定性約束的MPC控制器的行駛軌跡距離參考軌跡最遠(yuǎn)。

圖6 跟蹤軌跡對比

對軌跡跟蹤精度進(jìn)行觀察。橫向跟蹤誤差如圖7所示，3種控制器的最大橫向跟蹤誤差均發(fā)生在曲率最大處，考慮橫擺穩(wěn)定性約束的MPC控制器誤差最大，DYC-MPC協(xié)同控制器誤差最??；整體趨勢看DYC-MPC協(xié)同控制器橫向誤差曲線距離0參考線最近，考慮橫擺穩(wěn)定性約束的MPC控制器橫向誤差曲線距離0參考線最遠(yuǎn)，與圖6所示的跟蹤軌跡效果一致。航向跟蹤誤差如圖8所示，在進(jìn)入彎道路段，經(jīng)典MPC控制器與考慮橫擺穩(wěn)定性約束的MPC控制器的航向跟蹤誤差曲線基本一致，駛出彎道路段，考慮橫擺穩(wěn)定性約束的MPC控制器的航向跟蹤誤差曲線與經(jīng)典MPC控制器相比更接近0參考線，而DYC-MPC協(xié)同控制器在全路段均最接近0參考線。速度跟蹤誤差如圖9所示，3種控制器速度跟蹤誤差曲線基本一致，MPC控制器速度跟蹤的均方根誤差為0.015 9 m/s，考慮橫擺穩(wěn)定性約束的MPC控制器速度跟蹤的均方根誤差為0.017 2 m/s，DYC-MPC控制器速度跟蹤的均方根誤差為0.015 7 m/s，說明3種控制器均具有較好的速度跟蹤能力，且DYC-MPC控制器提升了MPC控制器的縱向軌跡跟蹤能力。

圖7 橫向跟蹤誤差對比

圖8 航向跟蹤誤差對比

圖9 速度跟蹤誤差對比

從橫擺穩(wěn)定性角度考慮，如圖10所示，進(jìn)行橫擺角速度約束后MPC控制器產(chǎn)生的橫擺角速度降低，但在某些工況下仍然超出橫擺角速度閾值，說明此時MPC控制器沒有可行解；DYC-MPC協(xié)同控制器產(chǎn)生的橫擺角速度始終保持在閾值內(nèi)，保證了車輛的橫擺穩(wěn)定性。整體來看，DYC-MPC協(xié)同控制器產(chǎn)生的橫擺角速度最低，經(jīng)典MPC控制器產(chǎn)生的橫擺角速度最高。

產(chǎn)生直接橫擺力矩的后輪驅(qū)動轉(zhuǎn)矩如圖11所示，結(jié)合圖4和圖10可知，在54 m處、76 m處和104 m處，道路曲率發(fā)生變化導(dǎo)致車輛產(chǎn)生較大的橫擺角速度，通過左后輪和右后輪之間的轉(zhuǎn)矩差產(chǎn)生橫擺力矩，使橫擺角速度值減小至閾值之下。

圖10 橫擺角速度對比

圖11 后輪轉(zhuǎn)矩分配

4 結(jié)論

（1）建立了橫縱向耦合的車輛動力學(xué)模型，采用2階龍格庫塔離散法保證了離散模型的精度。試驗結(jié)果表明，基于此模型設(shè)計的軌跡跟蹤控制器能夠精確地跟蹤變速變曲率軌跡，具有較好的路徑跟蹤能力和速度跟蹤能力。

（2）考慮變曲率道路下橫縱向耦合力的突變性和不穩(wěn)定性，根據(jù)簡化的車輛單軌動力學(xué)模型設(shè)計了橫擺穩(wěn)定性約束條件，基于非線性模型控制理論建立了上層控制器。試驗結(jié)果表明，進(jìn)行橫擺穩(wěn)定性約束的MPC控制器與經(jīng)典MPC控制器相比降低了車輛行駛的橫擺角速度，增強(qiáng)了智能汽車的橫擺穩(wěn)定性；控制器的航向跟蹤誤差有所降低，但是橫向跟蹤誤差增大，損失了跟蹤精度。在曲率發(fā)生變化的工況下，進(jìn)行橫擺穩(wěn)定性約束的MPC控制器存在無可行解的情況，在車輛實際行駛中表現(xiàn)為橫擺角速度超出閾值。

（3）利用直接橫擺力矩控制能夠改變車輛橫擺角速度和航向角的特點(diǎn)，考慮模型預(yù)測控制器的預(yù)測狀態(tài)、控制量以及跟蹤誤差，設(shè)計了協(xié)同控制規(guī)則，建立了DYC-MPC協(xié)同控制器。仿真結(jié)果表明，DYC-MPC協(xié)同控制器與進(jìn)行橫擺穩(wěn)定性約束的MPC控制器相比進(jìn)一步降低了橫擺角速度和航向跟蹤誤差以及速度跟蹤誤差，保證了橫擺角速度始終在閾值內(nèi)并且補(bǔ)償了模型預(yù)測控制器中的約束條件造成的橫向跟蹤誤差，使控制器的跟蹤精度和橫擺穩(wěn)定性均得到提高，實現(xiàn)了多目標(biāo)綜合控制。