基于廣義已實(shí)現(xiàn)測(cè)度的滬深300股指期貨波動(dòng)率預(yù)測(cè)與風(fēng)險(xiǎn)度量

蘇小囡，張 蕾 ，邢 鈺 ，郝紅霞

(南京審計(jì)大學(xué) 1.統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院; 2.金融工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室; 3.金融學(xué)院, 南京 211815)

一直以來，金融資產(chǎn)收益波動(dòng)率的建模與預(yù)測(cè)都是金融領(lǐng)域關(guān)注的重點(diǎn)。有關(guān)學(xué)者對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行了大量的研究，其中Bollerslev(1986)[1]提出的GARCH模型最具有代表性，它能夠很好地描述波動(dòng)率的聚集性與尖峰厚尾現(xiàn)象。近年來隨著信息技術(shù)的發(fā)展，金融高頻數(shù)據(jù)越來越容易獲得，而GARCH類模型采用的是低頻數(shù)據(jù)，這將導(dǎo)致模型預(yù)測(cè)精度降低。如何將豐富的日內(nèi)信息與波動(dòng)率模型聯(lián)系起來成為一個(gè)學(xué)術(shù)熱點(diǎn)。Andersen和Bollerslev(1998)[2]首次基于高頻數(shù)據(jù)提出了已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率(Realized Volatility，RV)，RV為波動(dòng)率的一致估計(jì)量且計(jì)算簡便，被廣泛應(yīng)用于高頻金融數(shù)據(jù)的研究中。

Hansen等(2012)[3]將波動(dòng)率模型與已實(shí)現(xiàn)測(cè)度相結(jié)合，提出了Realized GARCH模型, 其不僅保留了GARCH模型的優(yōu)點(diǎn)而且有著更好的波動(dòng)率擬合與預(yù)測(cè)效果。之后學(xué)者對(duì)Realized GARCH模型進(jìn)行不斷地拓展，王天一和黃卓(2012)[4]將模型中的殘差分布推廣到厚尾分布的情形。施雅豐和艾春榮(2016)[5]將周內(nèi)效應(yīng)引入Realized GARCH模型，發(fā)現(xiàn)周內(nèi)特征能夠提高高頻波動(dòng)率的樣本外預(yù)測(cè)能力。Huang等(2016)[6]在模型中同時(shí)考慮日、周、月已實(shí)現(xiàn)測(cè)度，構(gòu)造了Realized HAR GARCH模型，該模型能夠更好地捕捉高頻時(shí)間序列中的長記憶性，提高模型的預(yù)測(cè)精度。蔡光輝和項(xiàng)琳(2020)[7]實(shí)證結(jié)果顯示在不同測(cè)度下Realized HAR GARCH模型有著更好的波動(dòng)率預(yù)測(cè)效果。蔣偉和顧研(2019)[8]與白娟娟和師榮蓉(2021)[9]均發(fā)現(xiàn)廣義已實(shí)現(xiàn)測(cè)度能夠改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)效果，提高VaR預(yù)測(cè)精度。此外，基于時(shí)變波動(dòng)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)模型建模，我們可以參見Gerlach和Storti (2018)[10]與蔡光輝和吳志敏(2021)[11]，前者將時(shí)變波動(dòng)持續(xù)性和多種已實(shí)現(xiàn)測(cè)度引入到Realized GARCH模型中，后者在模型中考慮了HAR結(jié)構(gòu)，得到了更好的波動(dòng)率擬合與預(yù)測(cè)效果。

基于上述分析，本文將綜合考慮時(shí)變波動(dòng)、HAR結(jié)構(gòu)、廣義已實(shí)現(xiàn)測(cè)度等因素，對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行建模。其中，廣義已實(shí)現(xiàn)測(cè)度與傳統(tǒng)已實(shí)現(xiàn)測(cè)度相比，包含較少的日內(nèi)收益率信息，減少了微觀結(jié)構(gòu)噪音，能夠更好地捕捉價(jià)格極端波動(dòng)，從而使模型可能具有更好的VaR預(yù)測(cè)效果。文章以滬深300股指期貨的5分鐘高頻數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象，在六種不同的測(cè)度下對(duì)Realized GARCH模型、SMA-Realized GARCH(Single Measure Adaptive)模型、Realized HAR GARCH模型、SMA-Realized HAR GARCH模型進(jìn)行VaR后驗(yàn)測(cè)試與模型可信集(Model Confidence Set，MCS)檢驗(yàn)，結(jié)果顯示，在廣義已實(shí)現(xiàn)測(cè)度下，SMA-Realized HAR GARCH模型有著最好的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)效果。

一、波動(dòng)率模型及預(yù)測(cè)檢驗(yàn)方法

Huang等(2016)提出了Realized HAR GARCH模型，本文在此基礎(chǔ)上考慮時(shí)變波動(dòng)持續(xù)性，得到SMA-Realized HAR GARCH模型：

log(xt)=ξ+φlog(ht)+τ(zt)+ut,

(1)

其中，yd,t=γd+δdg(RQt-1)，yw,t=γw+δwg(RQWt-1)，ym,t=γm+δmg(RQMt-1)，RQt，RQWt，RQMt分別表示第t個(gè)交易日的日，周，月已實(shí)現(xiàn)四次冪差：

(2)

盡管g(·)在原則上可以選擇任意函數(shù)，但Bandi(2008)[12]等認(rèn)為采用對(duì)數(shù)變換能夠顯著地降低已實(shí)現(xiàn)四次冪差的相對(duì)可變性，且對(duì)估計(jì)的相對(duì)可變性有正面的影響，故這里g(·)表示為：

(3)

對(duì)于方程中已實(shí)現(xiàn)測(cè)度xt的選取，本文采用六個(gè)測(cè)度：RV、RBV、MedRV、RVaR、RES、RMAD，具體定義情況見蔡光輝和項(xiàng)琳(2020)，將Realized GARCH模型、SMA-Realized GARCH模型、Realized HAR GARCH模型、SMA-Realized HAR GARCH模型分別簡記為RG模型、SMA-RG模型、RHG模型、SMA-RHG模型。

文章基于偏t分布，對(duì)模型進(jìn)行極大似然估計(jì)，其中RG模型的聯(lián)合對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

(4)

在險(xiǎn)價(jià)值(VaR)作為衡量波動(dòng)率模型預(yù)測(cè)效果的重要指標(biāo)，其計(jì)算公式為：

(5)

二、實(shí)證分析

(一)數(shù)據(jù)處理與描述性統(tǒng)計(jì)

本文選取2015年4月16日至2021年10月29日的滬深300股指期貨的5分鐘高頻數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象，數(shù)據(jù)來源于“聚寬量化交易平臺(tái)”。

由表6可見，Co基體對(duì)Cu、As的結(jié)果影響不明顯。但隨著Co基體濃度的升高，F(xiàn)e、Ni、Cd、Zn、Mn、Ca、Mg、Na、Si、S的測(cè)定結(jié)果逐漸降低，其中Ni、Cd、Zn、S的測(cè)定結(jié)果隨Co基體濃度升高而降低的趨勢(shì)尤為明顯。這說明Co基體對(duì)不同待測(cè)元素的影響存在差異性。

圖1給出了滬深300股指期貨的高頻價(jià)格及對(duì)數(shù)收益率時(shí)序圖，從中可以看出滬深300股指期貨的價(jià)格波動(dòng)比較明顯，收益率序列也存在波動(dòng)集聚現(xiàn)象，而波動(dòng)的聚集性通常反映市場(chǎng)信息的沖擊具有一定的持續(xù)性，故可以初步判斷序列存在異方差效應(yīng)。

表1給出了滬深300股指期貨的日收益率序列與6個(gè)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果。表中J-B統(tǒng)計(jì)量均在1%水平下顯著，拒絕原假設(shè)，不服從正態(tài)分布，且已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的偏度均大于0，峰度均大于3，說明序列存在右偏趨勢(shì)和尖峰特征，故設(shè)定殘差服從偏t分布是合理的。LB(10)表示Ljung—Box檢驗(yàn)滯后10階的Q統(tǒng)計(jì)量，表明收益率序列和已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率均有顯著的自相關(guān)特征。 ADF單位根檢驗(yàn)表明所有序列在1%的水平下均拒絕原假設(shè)，表明所有序列均不存在單位根，為平穩(wěn)的時(shí)間序列，故可直接進(jìn)行建模。

表1 滬深300股指期貨日收益率序列和已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的描述性統(tǒng)計(jì)

(二)參數(shù)估計(jì)

本文采用極大似然估計(jì)的方法對(duì)24個(gè)模型進(jìn)行全樣本參數(shù)估計(jì)，此處僅展示SMA-RHG模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，如表2所示。

表2 SMA-RHG 模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

由上述表格可知：以極大似然值、AIC、BIC作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，相比于傳統(tǒng)已實(shí)現(xiàn)測(cè)度，廣義已實(shí)現(xiàn)測(cè)度下的模型均有著更大的似然值與較小的AIC、BIC值，這說明模型在廣義已實(shí)現(xiàn)測(cè)度下有著更好的估計(jì)效果。此外，在所有已實(shí)現(xiàn)測(cè)度下，相比其他模型，SMA-RHG模型的似然值最大，AIC值最小，且引入了HAR結(jié)構(gòu)或者時(shí)變波動(dòng)的模型均比未引入模型的似然值大。這說明考慮周、月線已實(shí)現(xiàn)測(cè)度、時(shí)變波動(dòng)對(duì)于模型估計(jì)效果有所提升?？傮w來看在RMAD測(cè)度下的SMA-RHG模型是所有模型中擬合效果最優(yōu)的。

從模型的參數(shù)來看，大部分參數(shù)均在 1%水平下顯著，參數(shù)的符號(hào)和大小與Hanse等(2012)的理論假設(shè)基本一致。其中，杠桿參數(shù)τ1基本顯著為負(fù)，τ2均顯著為正，這表明滬深300股指期貨具有一定的杠桿效應(yīng)與波動(dòng)聚集效應(yīng)；偏度系數(shù)λ均小于1，峰度系數(shù)η相對(duì)較小，說明殘差項(xiàng)的分布整體呈現(xiàn)左偏厚尾的現(xiàn)象；除了在RVaR測(cè)度下的RHG模型，所有模型的波動(dòng)持續(xù)性參數(shù)π均接近于 1，說明模型具有較強(qiáng)的波動(dòng)持續(xù)性與協(xié)方差穩(wěn)定性。

從已實(shí)現(xiàn)測(cè)度來看，所有模型對(duì)應(yīng)的參數(shù)γ(γd)高度顯著，廣義已實(shí)現(xiàn)測(cè)度均比傳統(tǒng)已實(shí)現(xiàn)測(cè)度的數(shù)值大，這表明對(duì)于波動(dòng)率，廣義已實(shí)現(xiàn)測(cè)度有著更大的影響力，即昨日發(fā)生的損失或偏差會(huì)造成今日更大的波動(dòng)。RHG 模型和SMA-RHG模型的日線估計(jì)值γd明顯大于周線與月線估計(jì)值，顯著性也更強(qiáng)，而周線γw大都不顯著，月線γm的顯著性要比周線γw強(qiáng)一些，在這一點(diǎn)上SMA-RHG模型表現(xiàn)的比RHG 模型更加明顯。SMA-RHG模型的月線至少在5%的水平下顯著，這顯示了滬深300股指期貨具有長記憶性的特性，對(duì)于未來一日波動(dòng)的影響主要來源于前日，周波動(dòng)的影響較弱，而月波動(dòng)的影響卻更強(qiáng)。表明了引入廣義已實(shí)現(xiàn)測(cè)度對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行估計(jì)的合理性。

參數(shù)γ(γd)顯著為正，δ(δd)在5%的水平下顯著為正，這表明已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)測(cè)度對(duì)條件波動(dòng)率的影響主要取決于日已實(shí)現(xiàn)四次冪差RQt，γw部分顯著，δw不顯著，這表明周已實(shí)現(xiàn)四次冪差對(duì)條件波動(dòng)率的影響隨時(shí)間變化不大，γm在5%的水平下顯著，δm不顯著，這表明月已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)度對(duì)條件波動(dòng)率的影響較大，月已實(shí)現(xiàn)四次冪差對(duì)條件波動(dòng)率的影響隨時(shí)間變化不大。

傳統(tǒng)已實(shí)現(xiàn)測(cè)度的φ值近似等于 1，表明已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)測(cè)度和條件波動(dòng)成比例。所有測(cè)度中，廣義已實(shí)現(xiàn)測(cè)度的φ值均小于 1，取值在 0.5附近，這是由于廣義已實(shí)現(xiàn)測(cè)度不是條件波動(dòng)的有效非參數(shù)估計(jì)，不與條件波動(dòng)成比例，它只反映損失的波動(dòng)情況，因此兩種已實(shí)現(xiàn)測(cè)度的估計(jì)結(jié)果有著一定的偏差。模型中殘差標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值σu在一定程度上可以反映方差的擬合表現(xiàn)，在所有模型中廣義已證實(shí)測(cè)度下的σu均比傳統(tǒng)已實(shí)現(xiàn)測(cè)度下的小，這表明廣義已實(shí)現(xiàn)測(cè)度能夠更好地?cái)M合測(cè)量方程。此外，由于傳統(tǒng)已證實(shí)測(cè)度衡量的是全天的波動(dòng)，其他測(cè)度衡量的是交易時(shí)間內(nèi)數(shù)據(jù)計(jì)算出的部分波動(dòng)，全天的波動(dòng)大于只有交易時(shí)間的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)測(cè)度，故RVt、RBVt、MedRVt測(cè)度下的ξ為正，其他測(cè)度下的均為負(fù)。

(三)樣本外VaR預(yù)測(cè)及后驗(yàn)測(cè)試

本文采用滾動(dòng)時(shí)間窗的方法估計(jì)樣本外VaR預(yù)測(cè)值，樣本外預(yù)測(cè)天數(shù)為570天(2019年6月26日至2021年10月29日)，固定的時(shí)間窗口大小為1 000天，可得到570個(gè)預(yù)測(cè)值，再對(duì)這些預(yù)測(cè)值進(jìn)行三種后驗(yàn)測(cè)試：無條件覆蓋(Unconditional Coverage，UC)檢驗(yàn)、獨(dú)立性(Independence)檢驗(yàn)、條件覆蓋(Condition Coverage)檢驗(yàn)，結(jié)果如表3所示。

由表3可知，在5%的覆蓋水平下，各模型的失敗率均接近5%，結(jié)合失敗率與三個(gè)后驗(yàn)測(cè)試的結(jié)果，總體看來，結(jié)合了RMAD測(cè)度的模型表現(xiàn)最優(yōu)。這從一定程度上表明了廣義已實(shí)現(xiàn)測(cè)度的引入能夠提升模型 VaR 預(yù)測(cè)的有效性。表中所有的模型均通過了檢驗(yàn)，表明在所有測(cè)度下的模型都能夠?qū)︼L(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行有效的預(yù)測(cè)，說明四種模型對(duì)滬深300股指期貨收益率風(fēng)險(xiǎn)值進(jìn)行預(yù)測(cè)是有效的。

表3 失敗率及VaR后驗(yàn)測(cè)試結(jié)果

(四)MCS檢驗(yàn)

為了進(jìn)一步比較各模型的波動(dòng)率預(yù)測(cè)效果，本文使用MCS檢驗(yàn)對(duì)模型的優(yōu)劣進(jìn)行評(píng)價(jià)，采用的統(tǒng)計(jì)量為范圍統(tǒng)計(jì)量TR和半二次方統(tǒng)計(jì)量TSQ, 具體的定義可以參見Hansen等(2011)[13]。我們按照文獻(xiàn)蔣偉和顧研(2019)的做法，選擇ALF、RLF、FLF這三種不同的損失函數(shù)作為各類波動(dòng)率模型預(yù)測(cè)精度的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。

由于損失函數(shù)無法提供模型之間的預(yù)測(cè)差異是否具有統(tǒng)計(jì)意義，故在此基礎(chǔ)上進(jìn)行MCS檢驗(yàn)，模型的p值越大預(yù)測(cè)能力越強(qiáng)，檢驗(yàn)結(jié)果如表4所示。

在MCS檢驗(yàn)的過程中，使用 Bootstrap的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，令模擬次數(shù)B=1000，區(qū)塊長度[14]d=2，置信水平α=0.25。故p值大于0.25的模型將通過MCS檢驗(yàn)。

由表4可知，在 25%的水平下，模型的MCS 檢驗(yàn)通過率較高，結(jié)合HAR結(jié)構(gòu)與時(shí)變波動(dòng)的SMA-RHG模型普遍具有更好的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)表現(xiàn)，預(yù)測(cè)精度最高的是在RVaR測(cè)度下的SMA-RHG模型，其在三個(gè)損失函數(shù)下六個(gè)統(tǒng)計(jì)量的p值均為1，是24個(gè)模型中的最優(yōu)模型。從模型來看，RHG和SMA-RHG模型分別比RG和RHG模型通過檢驗(yàn)的數(shù)量多，這表明HAR結(jié)構(gòu)與時(shí)變波動(dòng)的引入均可提高模型對(duì)未來風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)測(cè)能力。

表4 MCS檢驗(yàn)結(jié)果

三、總結(jié)

本文在結(jié)合了HAR結(jié)構(gòu)和時(shí)變波動(dòng)的RG 模型基礎(chǔ)上引入了廣義已實(shí)現(xiàn)測(cè)度，對(duì)比了傳統(tǒng)已實(shí)現(xiàn)測(cè)度與廣義已實(shí)現(xiàn)測(cè)度在RG模型、 SMA-RG模型、RHG模型、SMA-RHG模型上的VaR預(yù)測(cè)效果，實(shí)證結(jié)果表明：

廣義實(shí)現(xiàn)測(cè)度HAR結(jié)構(gòu)、時(shí)變波動(dòng)的引入均可以提高模型對(duì)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)機(jī)度。在本文的所有模型中，RVaR測(cè)度下的SMA-RHG模型檢驗(yàn)最優(yōu)。