基于政府補貼的養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)外包博弈模型

于 暢，陸媛媛

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，長春 130000）

0 引言

最近幾年，隨著人口老齡化問題不斷加劇，其中失能老人、半失能老人及缺乏家庭照顧的獨居和空巢老人數(shù)量不斷提升，我國已經(jīng)采取了較為合理的有效措施：發(fā)展社會居家養(yǎng)老、機構(gòu)養(yǎng)老等，其中入住養(yǎng)老機構(gòu)是我國人口老齡化問題的最優(yōu)選擇.為積極配合國家出臺的政策，各地政府部門分別采取不同政策提高養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)質(zhì)量，增加老年人入住率.在2015—2020年，我國養(yǎng)老機構(gòu)的床位數(shù)呈逐年增長的趨勢.根據(jù)民政部公布的數(shù)據(jù)，2020年我國養(yǎng)老機構(gòu)床位數(shù)共計483.1萬張，同比增長12.6%，增速更是達近幾年新高，截至2021年的第一季度，我國養(yǎng)老機構(gòu)的床位數(shù)已達到491.8萬張.未來，養(yǎng)老院產(chǎn)業(yè)將有較大增長空間，養(yǎng)老院提高服務(wù)水平、合理定價、完善養(yǎng)老院配套設(shè)施是重要問題.隨著時代發(fā)展，老年人對休閑娛樂項目要求也越高，養(yǎng)老機構(gòu)提供高質(zhì)量的服務(wù)，即需要同時滿足老年人生理、心理以及生活的需求，這樣才能吸引老人入住，提高入住率.現(xiàn)如今多數(shù)情況是養(yǎng)老機構(gòu)經(jīng)費不足，雖有政府補貼老人入住費，但除去正常的運行費用，幾乎沒有多余的錢給老年人提供娛樂健身設(shè)施等，因此，政府鼓勵社會企業(yè)等承包養(yǎng)老機構(gòu)的部分服務(wù)［1］，并與養(yǎng)老機構(gòu)建立利潤共享機制［2］.

至今為止，有關(guān)政府補貼養(yǎng)老機構(gòu)的研究文獻有很多，例如郭倩等［3］基于政府補貼下，對養(yǎng)老服務(wù)市場供給進行研究；石薛橋等［4］考慮了政府補貼和消費者行為的綠色供應(yīng)鏈決策問題；張紅等［5］針對在政府補貼下具有公平偏好的綠色供應(yīng)鏈博弈模型及契約進行研究；Michael Kulm等［6］對養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)供給進行博弈分析，得出在完全信息和不完全信息兩種情形下，養(yǎng)老機構(gòu)的均衡服務(wù)價格和政府均衡財政政策；孫培航等［7］對公共服務(wù)外包視角下民營醫(yī)院參與醫(yī)養(yǎng)結(jié)合模式的可行性進行了分析；劉一璠等［8］針對政府補貼下養(yǎng)老機構(gòu)IT項目建設(shè)中的合作博弈進行研究；楊清穎等［9］對養(yǎng)老機構(gòu)體育服務(wù)供給現(xiàn)狀及改進策略進行研究；翟子敏等［10］對當(dāng)代老年公寓娛樂休閑空間設(shè)計進行研究等.還有些養(yǎng)老機構(gòu)為提高服務(wù)質(zhì)量把餐飲服務(wù)外包給陽光餐飲機構(gòu).

本文在政府補貼養(yǎng)老機構(gòu)情形下，養(yǎng)老機構(gòu)與承包養(yǎng)老機構(gòu)娛樂項目服務(wù)外包的私人企業(yè)利潤共享，建立了三級供應(yīng)鏈政府-私人企業(yè)-養(yǎng)老機構(gòu)的Stackelberg主從博弈模型，采用逆向歸納法最終分別求出各層最優(yōu)結(jié)果，分析了政府補貼對養(yǎng)老機構(gòu)和私人企業(yè)的影響.

1 養(yǎng)老機構(gòu)最優(yōu)利潤模型

根據(jù)Stackelberg模型的逆向原理，先分析養(yǎng)老機構(gòu)博弈模型

其中：πi表示養(yǎng)老機構(gòu)的利潤；p表示養(yǎng)老市場價格；p1表示養(yǎng)老機構(gòu)與私人企業(yè)的收益共享金額；c表示養(yǎng)老機構(gòu)固定服務(wù)成本；s表示政府給予養(yǎng)老機構(gòu)單位服務(wù)的補貼；k2（0＜k2＜1）表示私人企業(yè)提高服務(wù)質(zhì)量所做努力系數(shù)；x表示養(yǎng)老機構(gòu)提供服務(wù)質(zhì)量所做努力；D表示市場需求量.

由文獻［4］，假設(shè)市場需求量函數(shù)為

其中：a表示養(yǎng)老市場基本需求量；b（0＜b＜1）表示養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)價格彈性系數(shù)；y表示私人企業(yè)提高服務(wù)質(zhì)量所做努力；α（0＜α＜1）表示養(yǎng)老機構(gòu)提供服務(wù)所作努力彈性系數(shù)；β（0＜β＜1）表示私人企業(yè)提高服務(wù)所做努力的彈性系數(shù).養(yǎng)老市場的需求量與養(yǎng)老機構(gòu)價格成反比，與養(yǎng)老機構(gòu)和私人企業(yè)的努力水平成正比.假設(shè)養(yǎng)老機構(gòu)的成本和私人企業(yè)為提高服務(wù)質(zhì)量所做努力的成本為凸的二次函數(shù)且分別為

將式（2）代入式（1）得到養(yǎng)老機構(gòu)最優(yōu)利潤模型為

在政府-私人機構(gòu)-養(yǎng)老機構(gòu)組成的三級供應(yīng)鏈中，博弈過程第三階段中養(yǎng)老機構(gòu)的決策變量，即養(yǎng)老市場價格p和養(yǎng)老機構(gòu)所做努力x是由私人企業(yè)給定的共享利益p1和私人企業(yè)所做努力y決定的，因此在私人企業(yè)給定共享利益p1和所做努力y時，我們得出以下定理.

定理1 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)k1、k2、α、β、b滿足時，養(yǎng)老機構(gòu)最優(yōu)銷售價格為

養(yǎng)老機構(gòu)提高服務(wù)質(zhì)量所做努力為

證明 將式（3）分別對p和x求偏導(dǎo)，令聯(lián)立得方程組

解得此時養(yǎng)老機構(gòu)的駐點為

（1）當(dāng)k1(k2b-α2)-k2β2＞0時，2k2b-α2＞0；當(dāng)(a+βy)-b(p1+c-s)＞0時，x＞0.又因為k2b(a+βy)+(k2b-α2)b(p1+c-s)＞( 2k2b-α2)(a+βy)＞0，所以p＞0.

因此πi的Hessian矩陣為

由于G的一階順序主子式所對應(yīng)的行列式在駐點處的值|G1|=-2b＜0，且二階順序主子式所對應(yīng)的行列式在駐點處的值|G|=2k2b-α2＞0，所以πi是關(guān)于p和x的凹函數(shù)，因此養(yǎng)老機構(gòu)利潤函數(shù)在駐點處可以取得極大值，由極值存在的必要條件，令此時的養(yǎng)老機構(gòu)的最優(yōu)銷售價格和提高服務(wù)質(zhì)量所做努力分別為式（4）和式（5）.

養(yǎng)老機構(gòu)的決策變量受私人企業(yè)的決策變量的影響，因此，分析養(yǎng)老機構(gòu)決策變量的影響因素時，可以發(fā)現(xiàn)養(yǎng)老機構(gòu)的定價與提供服務(wù)質(zhì)量所做努力是隨著私人企業(yè)的決策變量變化而變化的，我們得出如下性質(zhì).

性質(zhì)1

2 私人企業(yè)最優(yōu)利潤模型

私人企業(yè)與養(yǎng)老機構(gòu)采取合作，并建立利潤共享機制時，即將養(yǎng)老機構(gòu)的決策變量p和x求出后，將式（2）、（4）和（5）代入私人企業(yè)博弈模型

得到私人企業(yè)的最優(yōu)利潤模型為

其中：πe表示私人企業(yè)的利潤；k1（0＜k1＜1）表示養(yǎng)老機構(gòu)提高服務(wù)質(zhì)量所做努力系數(shù)；c1表示私人企業(yè)固定服務(wù)成本.

博弈過程的第二階段中私人企業(yè)的決策變量，即私人企業(yè)與養(yǎng)老機構(gòu)利益共享p1和私人企業(yè)所做努力y由政府給予養(yǎng)老機構(gòu)的補貼s決定，因此在給定政府給予養(yǎng)老機構(gòu)的補貼s時，我們得出以下定理.

定理2 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)k1、k2、α、β、b滿足k1(k2b-α2)-k2β2＞0，a-b(c+c1)＞0時，私人企業(yè)以自身最大利潤為目標(biāo)，求得與養(yǎng)老機構(gòu)的收益共享為

私人企業(yè)為提供高質(zhì)量服務(wù)所做的努力為

證明 將式（6）分別對p1和y求偏導(dǎo)，令聯(lián)立得方程組

解得其利潤函數(shù)駐點為

當(dāng)k1(k2b-α2)-k2β2＞0時，有2k1( 2k2b-α2)-k2β2＞0；當(dāng)a-b(c+c1)＞0時有a-b(c+c1-s)＞0，此時有p1＞0，y＞0.

因此πe的Hessian矩陣為

由于H的一階順序主子式所對應(yīng)的行列式在駐點處的值有|H1|＜0，其二階順序主子式所對應(yīng)的行列式在駐點處的值，所以πe是關(guān)于p1和y的凹函數(shù)，私人企業(yè)的利潤函數(shù)在駐點處能取得極大值，由極值存在的必要條件，令，得此時的養(yǎng)老機構(gòu)的價格和所做努力為式（7）和式（8）.

因為私人企業(yè)的決策變量是在政府給予養(yǎng)老機構(gòu)補貼下所求得的，私人企業(yè)的決策變量受政府補貼的影響，分析私人企業(yè)決策變量的影響因素，可以發(fā)現(xiàn)私人企業(yè)的共享利潤和提高服務(wù)質(zhì)量所做努力隨著政府補貼的變化而變化，我們得出如下性質(zhì).

性質(zhì)2

綜上所述，對于私人企業(yè)來說，政府對養(yǎng)老機構(gòu)提供服務(wù)的補貼越大，則私人企業(yè)所做努力水平越高，私人企業(yè)與養(yǎng)老機構(gòu)的利潤共享越多，因此政府的補貼具有刺激作用.

3 政府最大福利模型

由文獻［5］政府總社會福利函數(shù)為

其中：πg(shù)表示政府的利潤.將式（4）、（5）、（7）、（8）代入政府總社會福利函數(shù)得

在博弈過程第一階段中是關(guān)于供應(yīng)鏈主體政府，政府將以社會福利最大為目標(biāo)給定養(yǎng)老機構(gòu)的補貼s，因此我們得出以下定理.

定理3 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)滿足k1(k2b-α2)-k2β2＞0，a-b(c+c1)＞0時，政府對養(yǎng)老機構(gòu)的最優(yōu)補貼為

證明 將式（9）對s求導(dǎo)得

4 供應(yīng)鏈主體的最優(yōu)決策

將式（10）帶入定理1和定理2中供應(yīng)鏈成員的決策x、p、p1、y中，得到養(yǎng)老機構(gòu)和私人企業(yè)的最優(yōu)決策為

從而解得在非合作博弈模型下養(yǎng)老機構(gòu)的最優(yōu)利潤為

私人企業(yè)的最優(yōu)利潤為

政府的最大福利為

5 案例分析

如今，政府支持私人企業(yè)的加入，增加養(yǎng)老機構(gòu)在醫(yī)療、教育、體育等多方面的補給，通過市場調(diào)查，以寧波海曙區(qū)星光敬老院為例，該養(yǎng)老院將公共服務(wù)外包給民間組織，其中公共服務(wù)包括清潔、飲食、娛樂以及問診等項目，機構(gòu)基本建設(shè)的投入與組織增加多樣服務(wù)的投資，使老人得到的服務(wù)質(zhì)量有了很大提高.假設(shè)養(yǎng)老市場需求量a=10萬人，養(yǎng)老院的年投入成本c=4萬元，民間組織年投入成本c1=5萬元，滿足條件的系統(tǒng)參數(shù)分別為α=0.4，β=0.4，k1=0.7，k2=0.6，通過式（11）—（15）的計算求出系統(tǒng)的最優(yōu)結(jié)果如表1所示.

表1 案例最優(yōu)結(jié)果

下面分析不同決策變量隨著養(yǎng)老機構(gòu)提供服務(wù)的努力彈性系數(shù)的變化：

（1）隨著養(yǎng)老機構(gòu)所做努力的彈性系數(shù)α的增大，養(yǎng)老機構(gòu)所做努力x和私人企業(yè)所做努力y都呈現(xiàn)遞增趨勢，如圖1—圖2所示.

圖1 養(yǎng)老機構(gòu)努力彈性系數(shù)對養(yǎng)老機構(gòu)努力的影響

圖2 養(yǎng)老機構(gòu)努力彈性系數(shù)對私人企業(yè)努力的影響

（2）隨著養(yǎng)老機構(gòu)所做努力的彈性系數(shù)α的增大，養(yǎng)老機構(gòu)與承包養(yǎng)老機構(gòu)外包服務(wù)的私人企業(yè)間的共享利益p1和政府對養(yǎng)老機構(gòu)的補貼s同樣都呈現(xiàn)遞增趨勢，即養(yǎng)老機構(gòu)越努力，私人企業(yè)的共享利益和政府給予的補貼越多，如圖3—圖4所示.

圖3 養(yǎng)老機構(gòu)努力彈性系數(shù)對收益共享的影響

圖4 養(yǎng)老機構(gòu)努力彈性系數(shù)對政府補貼的影響

（3）隨著養(yǎng)老機構(gòu)所做努力的彈性系數(shù)α的增大，養(yǎng)老機構(gòu)的最優(yōu)利潤πi、私人企業(yè)的最優(yōu)利潤πe以及政府的最大社會福利πg(shù)都逐漸增加，即養(yǎng)老機構(gòu)越努力各方獲得的利潤越多，如圖5—圖7所示.

圖5 養(yǎng)老機構(gòu)努力彈性系數(shù)對養(yǎng)老機構(gòu)利潤的影響

圖6 養(yǎng)老機構(gòu)努力彈性系數(shù)對私人企業(yè)利潤的影響

圖7 養(yǎng)老機構(gòu)努力彈性系數(shù)對政府利潤的影響

6 結(jié)語

在政府補貼下，建立了政府補貼養(yǎng)老機構(gòu)以及養(yǎng)老機構(gòu)與私人企業(yè)利潤共享情況下的Stackelberg博弈模型，得出最優(yōu)養(yǎng)老市場定價、提高服務(wù)水平所作的努力程度以及政府補貼力度、機構(gòu)最優(yōu)利潤和政府最大社會福利模型，分析了政府補貼對養(yǎng)老機構(gòu)和私人企業(yè)的影響，為三級供應(yīng)鏈的主體在提高服務(wù)質(zhì)量和刺激市場需求量的問題上提供了理論基礎(chǔ).