中學(xué)數(shù)學(xué)思想教學(xué)的思考與實(shí)踐

張屹秀，譚希麗

（北華大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林 132000）

0 引言

隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，數(shù)學(xué)思想已成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本要求.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)［1］.在人教版初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中，數(shù)學(xué)思想方法已被列為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí).數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展依賴數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo).中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是豐富且深刻的，合理有效的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)有利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，有利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成，對學(xué)生未來的發(fā)展具有重要意義.數(shù)學(xué)思想是一種隱形的深層知識(shí)，所以，數(shù)學(xué)思想教學(xué)相較于數(shù)學(xué)知識(shí)技能教學(xué)更為困難.當(dāng)前，許多中學(xué)數(shù)學(xué)教師已經(jīng)重視到數(shù)學(xué)思想教學(xué)，也在教學(xué)設(shè)計(jì)中盡可能地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，但是仍存在一些問題.例如，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)思想教學(xué)時(shí)采用“注入式”和“貼標(biāo)簽式”教學(xué)，在課堂中直接告訴學(xué)生體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想，忽視了數(shù)學(xué)思想的思維過程.此外一些教師沒有注重學(xué)生的參與過程，在數(shù)學(xué)思想教學(xué)中學(xué)生缺乏自己思考探索的能力，從而使數(shù)學(xué)思想無法被學(xué)生內(nèi)化.

研究中學(xué)數(shù)學(xué)思想教學(xué)，對于加深學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，提升學(xué)生解決問題能力具有重要價(jià)值.本文在眾多學(xué)者研究的基礎(chǔ)上，從中學(xué)數(shù)學(xué)思想教學(xué)思考與教學(xué)實(shí)踐兩個(gè)方面進(jìn)行闡述，希望能為中學(xué)數(shù)學(xué)教師開展數(shù)學(xué)思想教學(xué)提供參考.

1 常見的中學(xué)數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立、零散的，而是相互緊扣的有機(jī)整體，數(shù)學(xué)思想方法正是貫穿數(shù)學(xué)內(nèi)容的“骨架”.中學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要時(shí)期.在這個(gè)階段，學(xué)生不僅要學(xué)習(xí)必要的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，而且要掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容所包含的指導(dǎo)思想.中學(xué)常見的數(shù)學(xué)思想有化歸數(shù)學(xué)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和數(shù)學(xué)建模思想.

1.1 化歸數(shù)學(xué)思想

化歸是指轉(zhuǎn)化和歸結(jié).轉(zhuǎn)化是指通過轉(zhuǎn)化過程，將待解決或未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決或相對容易解決的一類問題，從而獲得解決方案的思想.例如徐利治等［2］提出的關(guān)系映射反演原理（RMI原則）實(shí)際上就體現(xiàn)了化歸思想.化歸思想不僅在數(shù)學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用，在歷史上也有很多利用化歸思想的故事，如曹沖稱象、阿基米德測量皇冠體積等.在初高中的數(shù)學(xué)內(nèi)容中，化歸思想隨處可見，它的實(shí)質(zhì)在于合理轉(zhuǎn)化.在數(shù)學(xué)中存在著許多對立統(tǒng)一的關(guān)系，如一般與特殊、數(shù)字與形式、正數(shù)與負(fù)數(shù)、常數(shù)與變量、實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型等.這些關(guān)系不斷地轉(zhuǎn)化，使數(shù)學(xué)問題由復(fù)雜到簡單，由模糊到清晰.

1.2 數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)方面，二者雖然相互對立但是卻不能割裂，在問題解決中要將數(shù)或者數(shù)量與圖形統(tǒng)一起來進(jìn)行研究.例如，華羅庚［3］曾以一首小詩強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)中幾何與代數(shù)的緊密聯(lián)系.數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在問題解決方法上，利用數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，使數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化.利用形的直觀來解決抽象的代數(shù)問題和利用數(shù)的精確來解決復(fù)雜的幾何問題是數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)問題解決的兩種形式.在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用廣泛，如數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系的引入、高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的韋恩圖、解析幾何等.數(shù)形結(jié)合思想不僅是解決問題的手段工具，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的理性思維和對立統(tǒng)一的哲學(xué)智慧.

1.3 分類討論數(shù)學(xué)思想

分類是指將數(shù)學(xué)問題中所涉及的數(shù)學(xué)要素按照種類、特點(diǎn)、性質(zhì)進(jìn)行歸類，討論是指依照所分的類別，列出每種情況出現(xiàn)時(shí)得到的結(jié)論.分類討論思想的出現(xiàn)主要是在一些數(shù)學(xué)問題解決過程中，所給條件的不確定性引起的，分類和討論對學(xué)生的邏輯性、概括性、條理性有較高的要求.分類討論思想對中學(xué)數(shù)學(xué)的意義重大，許多數(shù)學(xué)模塊都有體現(xiàn)，例如，初一數(shù)學(xué)中有理數(shù)的分類以及考試中常見的動(dòng)點(diǎn)問題，高中學(xué)習(xí)的函數(shù)問題及概率問題等.掌握理解分類討論思想可以幫助學(xué)生形成嚴(yán)密周全的數(shù)學(xué)思維，也有利于學(xué)生了解數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行知識(shí)遷移.

1.4 數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)源于生活又運(yùn)用于生活.數(shù)學(xué)建模是將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，最后通過求解數(shù)學(xué)問題得到實(shí)際問題的最優(yōu)解［4］.在應(yīng)用中，通過抽象和簡化，使用數(shù)學(xué)語言刻畫實(shí)際現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)問題.數(shù)學(xué)建模思想實(shí)際上是通過建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際生活問題轉(zhuǎn)化成純數(shù)學(xué)問題的一種思維方法，是建立學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)與外界關(guān)系的基本途徑.中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)模型有函數(shù)模型、不等式模型、幾何模型和概率模型.借助各種數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際生活中的問題，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和探索能力，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

2 貫徹中學(xué)數(shù)學(xué)思想教學(xué)的建議

2.1 增強(qiáng)目標(biāo)意識(shí)，全面理解數(shù)學(xué)思想

教師要有意識(shí)地從數(shù)學(xué)思想的高度進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，有目的地在教學(xué)設(shè)計(jì)中突出數(shù)學(xué)思想，將數(shù)學(xué)思想融入課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，反復(fù)滲透，在知識(shí)形成過程中促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的理解.數(shù)學(xué)思想作為基礎(chǔ)知識(shí)，在設(shè)定教學(xué)目標(biāo)時(shí)要以教材為依據(jù)，要符合學(xué)生的學(xué)習(xí)情況.

教師所具有的學(xué)科深度決定了其教學(xué)高度［5］.教師要加深對數(shù)學(xué)思想的研究，加強(qiáng)關(guān)于數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)，明確中學(xué)數(shù)學(xué)包含哪些數(shù)學(xué)思想以及它們的內(nèi)涵、發(fā)展歷程，積累豐富的教學(xué)素材.此外，教師還要注意數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接，將數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識(shí)技能統(tǒng)一融合，只有對數(shù)學(xué)思想整體把握，全面理解，在教學(xué)中才能高屋建瓴，深入淺出.

2.2 深度挖掘教材，重視數(shù)學(xué)思想思維過程

在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中處處體現(xiàn)著豐富的數(shù)學(xué)思想，但是這些數(shù)學(xué)思想并不像數(shù)學(xué)概念、定理直接以文字形式給出，而是借助相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容隱含在教材之中，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)之前應(yīng)該深度挖掘分析教材，對教材中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想挖深挖透，化隱為顯.一個(gè)單元的數(shù)學(xué)內(nèi)容中包含多種數(shù)學(xué)思想，同一種數(shù)學(xué)思想也會(huì)在不同的知識(shí)內(nèi)容中體現(xiàn)，所以在教學(xué)時(shí)教師要注意數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容前后的連貫性，注重?cái)?shù)學(xué)思想的呈現(xiàn)方式［6］.

任何一種數(shù)學(xué)思想都有其產(chǎn)生和發(fā)展的過程.我們所學(xué)習(xí)和接觸的數(shù)學(xué)思想是前人總結(jié)提煉出來的比較完備的思想.因此，在教學(xué)中展示數(shù)學(xué)思想的思維過程是非常必要的.在教學(xué)過程中，教師要避免重結(jié)論輕過程，將數(shù)學(xué)思想以基本事實(shí)的形式直接呈現(xiàn)給學(xué)生并不能達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.教師要?jiǎng)?chuàng)造合理的情境，激發(fā)學(xué)生動(dòng)腦思考，設(shè)計(jì)豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中體會(huì)數(shù)學(xué)思想的形成，最終內(nèi)化為自己的思維模式.

2.3 教學(xué)循序漸進(jìn)，適應(yīng)學(xué)生認(rèn)知水平

數(shù)學(xué)思想的掌握和應(yīng)用是一個(gè)認(rèn)知發(fā)展的過程.皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論認(rèn)為，人類的認(rèn)知發(fā)展包括圖示、同化、順應(yīng)和平衡四個(gè)階段.因此，教師應(yīng)啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生分階段、多層次地學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)思想，不能操之過急.數(shù)學(xué)思想教學(xué)應(yīng)該具有階段性［7］，同一種數(shù)學(xué)思想在不同學(xué)段的知識(shí)均有不同程度的體現(xiàn).例如，分類討論這一數(shù)學(xué)思想，盡管學(xué)生在小學(xué)就已經(jīng)學(xué)習(xí)了分類，但是升入初中和高中，學(xué)生會(huì)對分類討論思想有更深入的學(xué)習(xí)和了解.因此，我們在教學(xué)中應(yīng)該潛移默化、循序漸進(jìn)地滲透數(shù)學(xué)思想.

數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的滲透要符合學(xué)生的認(rèn)知水平.不同學(xué)習(xí)階段的學(xué)生，其信息處理能力、思維能力和記憶能力各不相同.維果斯基認(rèn)為，兒童認(rèn)知發(fā)展的水平是一個(gè)區(qū)間，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的思維水平和他們能達(dá)到的水平來設(shè)計(jì)教學(xué).教師要根據(jù)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)和教學(xué)的實(shí)際情況，結(jié)合學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知水平，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思想教學(xué)，既不讓學(xué)生覺得深?yuàn)W難懂，又能通過深入思考解決問題.在學(xué)習(xí)過程中，使學(xué)生不僅能理解數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)作用，還能在成功的喜悅中增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，提高創(chuàng)新能力.

3 中學(xué)數(shù)學(xué)思想教學(xué)的實(shí)踐

3.1 在概念形成中滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)概念的形成是一個(gè)典型的抽象過程［8］，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.在形成數(shù)學(xué)概念的過程中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)情境，啟發(fā)學(xué)生歸納總結(jié)，加深理解，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)完整的思維過程，在此過程中滲透數(shù)學(xué)思想.以高中數(shù)學(xué)函數(shù)概念的教學(xué)為例，高中數(shù)學(xué)函數(shù)的概念是從集合與映射的角度進(jìn)行定義的，因此在函數(shù)概念的教學(xué)中可以設(shè)計(jì)如下一些例題：

例1.y=x與是同一個(gè)函數(shù)嗎？

例2.y=1是函數(shù)嗎？

根據(jù)這兩個(gè)例題，讓學(xué)生體會(huì)到初中函數(shù)概念的局限性，進(jìn)而引出函數(shù)與自變量的范圍是有關(guān)的.通過實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)它們的共同屬性，即都包含兩個(gè)非空數(shù)集，都有一個(gè)對應(yīng)關(guān)系，數(shù)集A中的任意一個(gè)數(shù)x在數(shù)集B中都有唯一一個(gè)y與之對應(yīng).通過教師的指導(dǎo)，讓學(xué)生進(jìn)行總結(jié)概括得出函數(shù)的定義.在這個(gè)教學(xué)過程中教師要充分體現(xiàn)學(xué)生的主動(dòng)性，突出數(shù)學(xué)思維過程，為學(xué)生滲透集合思想，并運(yùn)用類比思想分析初高中函數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系，加深對新知的思考和理解.

3.2 在問題解決中體會(huì)數(shù)學(xué)思想

問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)問題解決的“利器”.數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)不像數(shù)學(xué)知識(shí)那樣有明確的學(xué)習(xí)方法，它是一種隱性知識(shí)，在學(xué)習(xí)時(shí)要注重?cái)?shù)學(xué)思想的過程性.因此，教師在講解例題時(shí)重在啟發(fā)，并為學(xué)生分析思路，給學(xué)生提供完整的思維過程.通過教師在習(xí)題講解時(shí)的點(diǎn)撥，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想在解題中的指導(dǎo)作用，隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，自覺應(yīng)用數(shù)學(xué)思想以求得問題的解決.下面以高中數(shù)學(xué)求函數(shù)解析式為例.

例3.已知函數(shù)滿足f(x-2)=x2+5x+7，則f(x)=（）.

解法一：圖象平移法：

f(x-2)=x2+5x+7是將f(x)的圖象向右平移2個(gè)單位長度得到，因此將f(x-2)=x2+5x+7的圖像向左平移2個(gè)單位長度，得f(x+2-2)=(x+2)2+5(x+2)+7=x2+9x+21即f(x)=x2+9x+21.

解法二：換元法：

令u=x-2，則x=u+2，

解法三：構(gòu)造法：

f(x-2)=x2+5x+7=(x2-4x+4)+4x-4+5x+7=(x-2)2+9x+3=(x-2)2+( 9x-18)+18+3=(x-2)2+9(x-2)+21，將x-2看成整體一個(gè)變量x，即f(x)=x2+9x+21.

以上解法分別運(yùn)用了三種數(shù)學(xué)思想方法，并且每一種數(shù)學(xué)思想方法都可以求出結(jié)果，所以教師要鼓勵(lì)學(xué)生求解問題時(shí)多嘗試不同的方法，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，提高學(xué)生的解題靈活性.

3.3 在數(shù)學(xué)活動(dòng)中感悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，活動(dòng)形式也具有多樣性，比如研討式、動(dòng)手實(shí)踐式等.豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力.在教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合實(shí)際情況設(shè)計(jì)相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中感受數(shù)學(xué)思想，鍛煉實(shí)踐能力，形成積極探索的科研精神.

例如教師在講授勾股定理這一章時(shí)，勾股定理的證明是重要內(nèi)容且有難度.雖然在教材中采用了中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的證明方法，但是我們知道勾股定理的證明方法至今已有100多種.所以在學(xué)生學(xué)習(xí)和了解趙爽弦圖證明勾股定理的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生參與教材章節(jié)末尾的活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生努力學(xué)習(xí)，動(dòng)腦筋，引導(dǎo)學(xué)生探索證明勾股定理的方法.讓學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)證明的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性.

4 結(jié)語

米山國藏［9］曾提到數(shù)學(xué)知識(shí)不能永久地留在學(xué)生頭腦之中，但數(shù)學(xué)思想可以讓人受益終身.數(shù)學(xué)思想反映數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)，數(shù)學(xué)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)課堂質(zhì)量的重要保證，將數(shù)學(xué)思想合理融入數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)努力的方向.在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須重視數(shù)學(xué)思想的作用，只有強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想教學(xué)，將知識(shí)技能和思維能力培養(yǎng)結(jié)合，才能使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)達(dá)到新的高度.中學(xué)數(shù)學(xué)思想教學(xué)研究任重道遠(yuǎn)，滲透數(shù)學(xué)思想在教學(xué)實(shí)際中的策略和方法還要進(jìn)行深入的研究，本文對數(shù)學(xué)教學(xué)的開展，學(xué)生理性精神的養(yǎng)成，創(chuàng)新能力的培養(yǎng)有所幫助.