新課標(biāo)引領(lǐng)下“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”單元教學(xué)剖析
——以人教A版教材為例

哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院 劉金煥

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)頒布后，各版本新教材紛紛亮相.《標(biāo)準(zhǔn)》中的課程理念和課程目標(biāo)為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)指明了新的方向，同時(shí)也要求廣大數(shù)學(xué)教育工作者在新課標(biāo)視角下解讀新教材，挖掘其育人價(jià)值.

高中數(shù)學(xué)課程分為四條主線：函數(shù)，幾何與代數(shù)，概率與統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)[1].函數(shù)作為描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，是高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.而“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”單元又是函數(shù)主線的重要組成部分，有著廣泛的應(yīng)用，所以在新課標(biāo)引領(lǐng)下，以人教A版《普通高中教科書· 數(shù)學(xué)》必修第一冊(以下簡稱“教材”)為研究對象，對此單元進(jìn)行分析，并分享一些教學(xué)啟示.

1 章節(jié)編排與知識(shí)框圖

1.1 章節(jié)編排

“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”章節(jié)編排見表1.由表可看出，章節(jié)分布非常明晰，先進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，而后是綜合應(yīng)用.

表1 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章節(jié)編排

知識(shí)分為兩塊：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù).每一類函數(shù)前都編排了相應(yīng)的支架知識(shí)：指數(shù)，對數(shù).而學(xué)生之前已經(jīng)接觸過指數(shù)，對數(shù)是一種新的代數(shù)對象，它與指數(shù)可以互化，所以將指數(shù)與指數(shù)函數(shù)安排在對數(shù)與對數(shù)函數(shù)之前.

教材很重視應(yīng)用，不僅本單元末尾設(shè)置了“函數(shù)的應(yīng)用”，在每一節(jié)的每一知識(shí)塊后都配備了練習(xí)，突出即學(xué)即用的特點(diǎn).此外，函數(shù)的應(yīng)用既包括數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，又包括現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，多角度詮釋數(shù)學(xué)的價(jià)值.

1.2 知識(shí)框圖

“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”單元中數(shù)學(xué)知識(shí)互相關(guān)聯(lián)，知識(shí)框圖如圖1.

圖1

2 主要內(nèi)容剖析

2.1 指數(shù)

(1)主要內(nèi)容

初中已學(xué)過整數(shù)指數(shù)冪，教材以此為生長點(diǎn)引入n次方根并推出其基本性質(zhì)，進(jìn)而定義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，給出有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；而指數(shù)由有理數(shù)拓展到實(shí)數(shù)運(yùn)用了逼近思想.指數(shù)的拓展為指數(shù)函數(shù)(尤指定義域)做鋪墊，且指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對指數(shù)函數(shù)也適用.

經(jīng)歷指數(shù)拓展的過程，體會(huì)變化中的不變性，并通過指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用進(jìn)一步熟悉分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、無理數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，為指數(shù)函數(shù)和對數(shù)的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

(2)內(nèi)容剖析

指數(shù)拓展過程中既有變化，又有不變性，變的是指數(shù)的范圍，不變的是運(yùn)算性質(zhì).其實(shí)，指數(shù)范圍拓展的過程與數(shù)系擴(kuò)充的過程類似.不禁聯(lián)想：指數(shù)能否為虛數(shù)？可以，且eiθ=cosθ+isinθ，這是著名的歐拉公式.

2.2 指數(shù)函數(shù)

(1)主要內(nèi)容

概念一節(jié)中，從景區(qū)游客人次變化(以下稱“情境一”)、生物體內(nèi)碳14含量變化(以下稱“情境二”)兩個(gè)問題情境出發(fā)，將其中的變化規(guī)律用數(shù)學(xué)語言表示出來，歸納其共同特征，從而抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，并給出其定義域R，呼應(yīng)上節(jié)課指數(shù)的拓展.

(2)內(nèi)容剖析

指數(shù)范圍拓展到了實(shí)數(shù)，也研究了冪函數(shù)，本章用研究冪函數(shù)的過程與方法來研究另一基本初等函數(shù)：指數(shù)函數(shù).它們都遵循著“背景-概念-圖象與性質(zhì)-應(yīng)用”的研究路徑，且都是根據(jù)圖象來歸納性質(zhì)[2].后面學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)時(shí)也是如此，但三角函數(shù)具有周期性，所以還有特殊的方法.

對于情境一，從數(shù)據(jù)和散點(diǎn)圖兩方面分析游客人次變化趨勢，并結(jié)合運(yùn)算得到B地具體的變化情況，建立合適的模型來描述這種規(guī)律.該情境貼近學(xué)生生活，易于理解，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，且整個(gè)過程相當(dāng)于一個(gè)小型建?；顒?dòng)，能積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有效提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).情境二與情境一總體上大同小異，但不多余，要抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，并歸納函數(shù)的共同特征，至少需兩個(gè)函數(shù)，所以情境二是必要的，同時(shí)還擴(kuò)充了學(xué)生的知識(shí)面.

得出函數(shù)關(guān)系后，歸納其共同特征，進(jìn)而給出指數(shù)函數(shù)的概念.此處抽象歸納的過程類比了抽象冪函數(shù)概念的過程，能提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.另外，引入指數(shù)函數(shù)概念后要引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù).

第一課時(shí)難點(diǎn)：情境一如何想到做除法找規(guī)律？為什么指數(shù)函數(shù)中a>0,且a≠1？教學(xué)過程中教師要適當(dāng)引導(dǎo)，激活學(xué)生的思維，不可直接告知.

2.3 對數(shù)

(1)主要內(nèi)容

在情境一中拋出問題“經(jīng)過多少年游客人次是2001年的2倍、3倍？”，從而引入對數(shù)的概念，并介紹常用對數(shù)和自然對數(shù).根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系得出對數(shù)的基本性質(zhì)，借助指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來研究對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).換底公式則是為了解決底數(shù)不同的對數(shù)的運(yùn)算問題.

學(xué)生需明晰對數(shù)概念，能進(jìn)行指數(shù)與對數(shù)的互化，體會(huì)對數(shù)簡化運(yùn)算的作用，能用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，為對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ).

(2)內(nèi)容剖析

由指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)推出對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，教材中有詳細(xì)步驟.性質(zhì)一由小組合作探究完成，性質(zhì)二、三可由學(xué)生嘗試獨(dú)立完成.這是訓(xùn)煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的好機(jī)會(huì)，設(shè)置合適的問題鏈進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生通過自己的努力獲得新知，提升邏輯推理素養(yǎng)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成自主思考、合作探究的習(xí)慣.

對數(shù)是一個(gè)新的代數(shù)對象，與指數(shù)有著類似的研究路徑“背景-概念-性質(zhì)-運(yùn)算性質(zhì)-應(yīng)用”.教師和學(xué)生都應(yīng)該明確這樣的研究路徑，讓學(xué)生不僅學(xué)會(huì)，還能會(huì)學(xué).

重視乘方運(yùn)算、對數(shù)運(yùn)算、開方運(yùn)算的關(guān)系.如果ab=N，那么a，b，N三者知二可求一[3].若已知a與b，求N，是乘方運(yùn)算(即求指數(shù)冪)；若已知b與N求a，是開方運(yùn)算；若已知a與N，求b，是對數(shù)運(yùn)算.所以，嚴(yán)格來講，乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算有兩種：一種是開方運(yùn)算，一種是對數(shù)運(yùn)算[2].另外a，b，N三者確定其一之后，另兩個(gè)在滿足一定條件下可構(gòu)成函數(shù)關(guān)系.若a確定，則N是b的指數(shù)函數(shù)(這里a>0,a≠1)；若b確定，則N是a的冪函數(shù).

對數(shù)的發(fā)展是個(gè)漫長的過程，適當(dāng)滲透相關(guān)數(shù)學(xué)史，可拓寬學(xué)生的視野，學(xué)生也能感悟到對數(shù)的廣泛用途以及數(shù)學(xué)家們嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

2.4 對數(shù)函數(shù)

(1)主要內(nèi)容

在情境二中提出問題：死亡時(shí)間x是碳14含量的函數(shù)嗎？根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系對函數(shù)解析式進(jìn)行變形，分析圖象抽象出對數(shù)函數(shù)的概念，明確其定義域.

對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，整體沿用研究指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的方法，學(xué)生較容易概括出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).此外，需知道反函數(shù)的概念，明確底數(shù)相同的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).

學(xué)習(xí)了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)三種基本初等函數(shù)，遇到具體問題該用哪種函數(shù)來刻畫呢？所以要研究不同函數(shù)增長的差異，充分借助信息技術(shù)，讓學(xué)生體會(huì)“對數(shù)增長，直線上升，指數(shù)爆炸”的變化特點(diǎn).

(2)內(nèi)容剖析

互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)，一個(gè)函數(shù)的定義域是另一函數(shù)的值域，而它的值域是另一函數(shù)的定義域.學(xué)生在大學(xué)會(huì)更加深入地學(xué)習(xí)反函數(shù)，高中階段，可借助指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)來簡單認(rèn)識(shí).它們定義域與值域的關(guān)系，是從數(shù)的角度來看指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，那么從形的角度來看它們又有什么聯(lián)系？可引領(lǐng)學(xué)生利用信息技術(shù)開展探究活動(dòng)，使學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2.5 函數(shù)的應(yīng)用(二)

(1)主要內(nèi)容

將預(yù)備知識(shí)中二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系進(jìn)行推廣：函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解.這其實(shí)是將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，滲透了轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、方程思想.那函數(shù)何時(shí)有零點(diǎn)呢？通過探究得到零點(diǎn)存在定理.

零點(diǎn)存在定理只能判斷函數(shù)在某區(qū)間是否存在零點(diǎn)，如果有零點(diǎn)，具體是幾個(gè)則不能確定.介紹求方程近似解的方法——二分法，需引導(dǎo)學(xué)生探索二分法求方程近似解的思路并畫出程序框圖，滲透算法化思想，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).二分法的步驟非常明確，且都是重復(fù)的，有時(shí)運(yùn)算量比較大，可設(shè)計(jì)計(jì)算程序借助信息技術(shù)來完成.這不僅能讓學(xué)生增長見識(shí)，體會(huì)到信息技術(shù)的強(qiáng)大，也為對這方面感興趣的學(xué)生提供另一解決問題的途徑.

以上是函數(shù)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，函數(shù)在實(shí)際生活中也有著廣泛的應(yīng)用.建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的內(nèi)容不容小覷，數(shù)學(xué)建模已是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，可見它的重要性.這一小節(jié)，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題中的變化規(guī)律.

(2)內(nèi)容剖析

函數(shù)零點(diǎn)存在定理看似簡單，實(shí)則內(nèi)涵豐富.“如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)”.需要明確：①兩個(gè)條件“連續(xù)不斷”“f(a)f(b)<0”都要滿足，結(jié)論才是至少有一個(gè)零點(diǎn)；②“至少一個(gè)零點(diǎn)”，即可能有多個(gè)零點(diǎn)，但無法確定個(gè)數(shù)；③條件是閉區(qū)間，結(jié)論是開區(qū)間，表述很嚴(yán)謹(jǐn)，條件暗中表明函數(shù)在[a,b]上是有定義的，而f(a)f(b)<0說明f(a)，f(b)不為0，即a，b都不是零點(diǎn)，結(jié)論中用開區(qū)間很合理，那如果條件中是開區(qū)間呢，須保證a，b處有定義才能寫f(a)f(b)，且函數(shù)要滿足在a處右連續(xù)，b處左連續(xù)，此時(shí)結(jié)論也成立，但這種描述與定理是等價(jià)的，且定理更加簡潔；④若條件是f(a)f(b)≤0，能得到什么結(jié)論？這時(shí)結(jié)論需要改成“若f(a)f(b)<0，(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn)，若f(a)f(b)=0，則a或b是零點(diǎn)”；⑤定理的逆命題為假命題.以上均可借助圖形輔助解釋.對零點(diǎn)存在定理要細(xì)致解讀，體會(huì)數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性、簡潔性.

二分法只是求方程近似解的一種方法， 中外還有很多種求解方法，尤其是比較知名的牛頓逼近法，可作為拓展，讓學(xué)生自行搜集資料了解相關(guān)內(nèi)容.

建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題是本章的重點(diǎn)內(nèi)容.教材給出了40多個(gè)實(shí)際問題，在導(dǎo)入的問題、例題、練習(xí)、習(xí)題中均有涉及.它們體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活以及與其他學(xué)科的聯(lián)系，能提高學(xué)生運(yùn)用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力.

3 教學(xué)啟示

3.1 明確研究路徑

新一輪課程改革以“數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性”為追求，強(qiáng)調(diào)突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，不僅要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)，還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，為其終身學(xué)習(xí)提供保障.本單元的學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生明確研究一類函數(shù)的過程與方法，以及研究代數(shù)對象的套路.

3.2 重視數(shù)學(xué)建模

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)能刻畫很多實(shí)際問題，且與其他學(xué)科密切聯(lián)系，所以要重視引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)建立模型解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題，并與其他學(xué)科達(dá)到有機(jī)地融合.注意把控難度，循序漸進(jìn)，初始階段解答并適當(dāng)引申，后期可開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng).

3.3 善用信息技術(shù)

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：要注重信息技術(shù)的運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的實(shí)效性.善用信息技術(shù)，能使抽象的問題形象化，還能提升課堂效率，提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用其他工具來研究數(shù)學(xué)問題的意識(shí).比如：研究情境一，可借助信息技術(shù)繪制散點(diǎn)圖；研究指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)時(shí)借用信息技術(shù)畫圖，可以減少工作量，節(jié)省時(shí)間.

3.4 把握情境“復(fù)用”

情境“復(fù)用”，是指同樣的問題情境多次出現(xiàn).但“復(fù)用”不是簡單的重復(fù)，而是在原有基礎(chǔ)上有所深化，或從另一角度來看待問題，總體而言是螺旋上升的過程.情境“復(fù)用”在一定程度上有利于學(xué)生融入情境，且從不同角度看待這個(gè)情境，學(xué)生會(huì)有溫故而知新的成就感，還有助于培養(yǎng)多角度看問題的能力.比如本單元中情境一出現(xiàn)在指數(shù)函數(shù)的概念生成與此節(jié)例題中，又用來引出對數(shù)的概念，得到換底公式之后又用換底公式解決引入對數(shù)時(shí)該情境中的問題.

3.5 挖掘教材例、習(xí)題的育人價(jià)值

教材例習(xí)題蘊(yùn)涵豐富的育人價(jià)值，解這些題不僅能鞏固相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)多方面的價(jià)值，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.比如：氫離子濃度和溶液酸堿度的關(guān)系，這和化學(xué)有聯(lián)系；血液中酒精含量的變化，這與生活息息相關(guān)，還能滲透法律知識(shí)；習(xí)題4.5中第6，11題涉及計(jì)算機(jī)知識(shí)；習(xí)題4.3中1.01365,0.99365，則是“小問題、大道理”.