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    加強(qiáng)課堂訓(xùn)練 提升思考能力

    2022-12-04 14:48:23江蘇省木瀆高級中學(xué)朱雪民
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年21期
    關(guān)鍵詞:通項(xiàng)變式公式

    江蘇省木瀆高級中學(xué) 朱雪民

    波利亞認(rèn)為:“教會(huì)學(xué)生有目的的思考,是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本目標(biāo)之一.”[1]思考是思維的一種探究活動(dòng),是人類對意向信息進(jìn)行加工的過程,所有思考的進(jìn)行都存在聯(lián)想的參與.數(shù)學(xué)思考是指從數(shù)學(xué)的角度,用數(shù)學(xué)的思維對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行思考的過程,這種思維方式是形成創(chuàng)新能力的核心.數(shù)學(xué)抽象、推理與思維是數(shù)學(xué)思考的靈魂,也是形成數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ).高中數(shù)學(xué)相對抽象,如何立足于當(dāng)堂訓(xùn)練,提升學(xué)生的思考能力是筆者近些年一直在研究的問題.本文從以下三點(diǎn)展開闡述.

    1 加強(qiáng)復(fù)述訓(xùn)練,啟發(fā)思考

    教學(xué)中,不少學(xué)生對一些數(shù)學(xué)知識處于“能意會(huì),卻無法言傳”的狀態(tài),這種情況常導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)出現(xiàn)思維模糊、想著想著就跑偏了的現(xiàn)象.而復(fù)述是訓(xùn)練學(xué)生思考能力的基本手段之一,它能讓學(xué)生清晰思維、明晰解題思路.

    所謂的復(fù)述是指將所學(xué)內(nèi)容,用自己的語言進(jìn)行流暢地表達(dá).這種方式能將學(xué)生思維的“圖式”呈現(xiàn)出來,讓學(xué)生在多次重復(fù)的復(fù)述訓(xùn)練中不斷完善并豐富自己的思維結(jié)構(gòu).相對而言,高中數(shù)學(xué)有些語言比較拗口、抽象,要讓學(xué)生完整地通過自己的語言準(zhǔn)確表達(dá)出來,實(shí)非易事.但為了啟發(fā)學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的思考,以訓(xùn)練學(xué)生的思維能力,還需要鼓勵(lì)學(xué)生勤加訓(xùn)練,長期堅(jiān)持才能真正達(dá)到啟發(fā)思維的效果.

    例1“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念復(fù)述.

    從字面上來看,這兩個(gè)概念異常相近.它們之間到底存在怎樣的區(qū)別與聯(lián)系?這是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn).為了讓學(xué)生徹底弄清這兩個(gè)概念,筆者在教學(xué)時(shí)先與學(xué)生共同探討這兩個(gè)概念:

    在直角坐標(biāo)系中,若曲線C上的點(diǎn)和某個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立以下兩點(diǎn)聯(lián)系:①曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)全都是該方程的解;②以此方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn),這些點(diǎn)均為曲線上的點(diǎn).那么,此方程為曲線的方程,此曲線為該二元方程的曲線.

    學(xué)生在課堂上雖對此概念有了一定的了解,但若不加以復(fù)述或鞏固,不少學(xué)生過兩天就開始混淆,理不清楚其中的關(guān)系.為此,筆者在當(dāng)堂課即帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行復(fù)述訓(xùn)練,以深化學(xué)生對這兩個(gè)概念的理解.而復(fù)述的過程則體現(xiàn)了思維活躍的過程,此過程能有效地啟發(fā)學(xué)生的思考.

    復(fù)述:

    (1)從定義中的兩個(gè)條件來復(fù)述

    這兩個(gè)條件反映了曲線上的點(diǎn)和以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn),二者是不多不少,恰合適的關(guān)系.從第一個(gè)條件來看,曲線上的點(diǎn)不多于方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn),也就是曲線上的點(diǎn)全都符合條件,沒有一點(diǎn)是例外的;從第二個(gè)條件來看,曲線上的點(diǎn)不少于方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn),也就是說所有符合條件的點(diǎn)均于這條曲線上,沒有遺漏.

    (2)從集合的角度復(fù)述

    將曲線理解為點(diǎn)的集合,記作C;將方程的實(shí)數(shù)解理解為點(diǎn)的坐標(biāo),點(diǎn)集記作F.

    也就是C={(x,y)|f(x,y)=0}.

    從這兩個(gè)角度進(jìn)行復(fù)述的情況來看,復(fù)述訓(xùn)練能有效地啟發(fā)學(xué)生的思考,讓學(xué)生從自身獨(dú)有的思維角度去分析與理解知識的內(nèi)涵.此過程是內(nèi)化新知、建構(gòu)認(rèn)知體系的重要過程,亦是賦予所學(xué)知識價(jià)值的過程.

    2 強(qiáng)化變式訓(xùn)練,深化思考

    眾所周知,變式訓(xùn)練是相對于某種范式的變化形式,是深化學(xué)生思考,提升解題能力的重要途徑之一[2].變式一般是將簡單的概念、公式、性質(zhì)等演變成復(fù)雜問題的過程,一旦掌握了變式的基本思想,就能掌握解決問題的基本策略與方法.這種訓(xùn)練方式,對提高學(xué)生的辯證思維能力以及思維的自覺領(lǐng)悟能力具有重要影響.

    教學(xué)中,我們常涉及到的變式有語言、圖形、概念、定理、公式或題目等,不論是哪種變式的應(yīng)用,均以知識和文化兩大導(dǎo)向?yàn)榛A(chǔ),以實(shí)現(xiàn)教學(xué)的三維目標(biāo)為宗旨.我們接觸最多的是試題的變式,即以一道試題為母胎,為了深化其知識的內(nèi)涵,通過問題條件或結(jié)論的變化,呈現(xiàn)出一組新題.通過這組問題的解決,在完善原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上深化思考,形成良好的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

    例2已知在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+1(n∈N*),求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

    變式1已知在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+n(n∈N*),求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

    變式2已知在數(shù)列{an}中,a1=2n-1,an+1=an+2n-1(n∈N*),求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

    解析:形如an+1=an+f(n)的遞推關(guān)系式,可采用疊加的數(shù)學(xué)思想,將問題化歸成等比或等差數(shù)列求和.

    變式3將原式中an前面的系數(shù)變?yōu)?,也就是an+1=2an+1,求此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

    變式4將變式3中的常數(shù)改成冪的形式,如an+1=2an-3n,求此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

    解析1:與變式3類似,把遞推公式變形成an+1+3n+1=2(an+3n),從而湊配為等比數(shù)列{an+3n},計(jì)算可得an=2n+1-3n.

    綜上,想要深化學(xué)生對知識縱深的理解,變式訓(xùn)練是最好的方法之一.通過以上變式的應(yīng)用,學(xué)生不僅對此類問題有了更為深刻的認(rèn)識,在腦海中建構(gòu)了一系列求解的通項(xiàng)公式,當(dāng)再次遇到類似問題時(shí),則能舉一反三,順利解題.在此變式訓(xùn)練的過程中,學(xué)生在獲得知識的同時(shí),還形成了良好的思考能力,為各項(xiàng)數(shù)學(xué)能力的提升奠定了基礎(chǔ)[3].

    3 運(yùn)用感悟訓(xùn)練,提升思維

    曾子有云:“吾日三省吾身.”反思是促進(jìn)思維成長的利器,是提高人類各項(xiàng)能力的保障.“悟”即深層次的思考與反思,它是學(xué)習(xí)者思維能力的體現(xiàn).那么,在數(shù)學(xué)課上,學(xué)生應(yīng)該從哪些角度去進(jìn)行感悟呢?筆者認(rèn)為有以下幾點(diǎn):

    (1)基礎(chǔ)知識的感悟

    教學(xué)遵循一個(gè)循序漸進(jìn)的過程.課堂教學(xué)一般從基礎(chǔ)的概念、定理或公式出發(fā),這些基礎(chǔ)性的知識雖然簡單,但若扣不住它的核心點(diǎn),不弄清它的發(fā)展主線,則無法深刻認(rèn)識其內(nèi)涵與外延.而課堂時(shí)間又是有限的,有些問題教師并不能講得非常全面、透徹,尤其是在“以學(xué)生為主體”的背景下,更多的是教師的點(diǎn)撥與學(xué)生的自我領(lǐng)悟.因此,這就要求學(xué)生要擁有“悟”的意識,從不同視角去審視與感悟基礎(chǔ)知識,達(dá)到知其然且知其所以然的境界.

    (2)解題方法的感悟

    數(shù)學(xué)能力的高低可在解題中見分曉,良好的解題方法,為思維指明決策程序,為后期學(xué)習(xí)中的類比提供保障.對解題方法的感悟,最重要的是要注重思考解題方法的主要特征、基本步驟、技巧等,并將這些內(nèi)容內(nèi)化到自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,將良好的解題技巧與方法轉(zhuǎn)化為自己的技能.

    (3)數(shù)學(xué)思想的感悟

    解題方法與技巧屬于實(shí)施層面的內(nèi)容,而其背后一般都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)學(xué)思想,這些數(shù)學(xué)思想則屬于數(shù)學(xué)的靈魂.數(shù)學(xué)思想決定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體策略與方法,是學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)觸類旁通的關(guān)鍵因素.因此,教學(xué)中應(yīng)注重加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的感悟.學(xué)生一旦領(lǐng)悟了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法,則能從真正意義上實(shí)現(xiàn)以一通百的能力.

    總之,提升學(xué)習(xí)效率是教學(xué)的首要任務(wù),訓(xùn)練學(xué)生的思考能力具有重要的戰(zhàn)略意義.作為教師,應(yīng)結(jié)合學(xué)情與教學(xué)內(nèi)容,在授學(xué)環(huán)節(jié),選擇合適的方式進(jìn)行思考能力的訓(xùn)練,讓學(xué)生在復(fù)述、變式與感悟中不斷地提高自身的學(xué)習(xí)能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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