一道中考數(shù)學試題的解法與推廣

江蘇省南通市海門區(qū)東洲中學(226100)陳金晶

對典型試題,尤其是涉及核心知識內容的典型試題的剖析和思考更是必不可少的,通過對典型試題的多解探究,展開問題的來龍去脈和知識間的縱橫聯(lián)系,讓學生站在一定的高度去思考問題,突出數(shù)學本質,使學生的思維得到升華,使知識達到融會貫通.唯有如此,無論考題的構思多么新穎,學生也能達到以不變應萬變.以下就一道2021 年中考數(shù)學試題從解法、拓展等幾方面進行探究,供參考.

1 試題呈現(xiàn)

2021 年江蘇省連云港市中考第16 題:如圖1,BE是ΔABC的中線,點F在BE上,延長AF交BC于點D,若BF=3FE,則=____.

2 試題評析

該試題考查相似三角形的判斷和性質、平行線分線段成比例定理、等底同高三角形的性質及等量代換等基礎知識,考查推理論證、數(shù)形結合能力及化歸轉化思想,是一道凸顯數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模等數(shù)學核心素養(yǎng)的優(yōu)質試題.

圖1

圖2

3 解法探究

分析1過點E作EG//DC交AD于G,可得ΔAGE∽ΔADC,從而推得DC與GE的關系;再根據(jù)ΔGFE∽ΔDFB,推得DB與GE,最后借助中間量GE得到所求的結論.

圖3

圖4

4 方法點評

上述三種解法中,解法1 通過作平行線(輔助線),兩次運用三角形相似,并運用等量代換,得到線段關系后求得結論,該解法屬于解決試題的常規(guī)方法;解法2 通過作平行線(輔助線),并且設參,兩次平行線分線段成比例定理,且運用等量代換,建立關于參數(shù)的等式后求得結論;解法3 利用三角形中線性質和三角形的面積等知識,設參后,將面積的等式關系轉化為參數(shù)的等式關系求得結論.相比而言,方法1易于入手,方法2 設參通過參數(shù)的表達和運算能減少一些推理的量度,方法3 思維能力要求較高.總之,三種方法各具特色,無論運用哪一種方法都須有扎實的知識基礎和推理論證的基本功已經良好的數(shù)學思維能力.

5 問題推廣

將上述試題中的條件“BF=3FE”一般化,可推廣為:

由于重心是三角形三條中線的交點,若將條件“BE是ΔABC的中線”變?yōu)橐话氵^重心的直線,我們看得到“直線過重心”的一般性結論.

圖5

圖6

以上我們從多個角度探究了試題,這也啟示我們:在變換幾何教與學的過程中,要注重對圖形生成過程的認識與理解,加強圖形語言和符號語言的培養(yǎng).同時,在解決問題時,盡可能找到各種方法的內在聯(lián)系,將對思維的引導放在主導地位.