巧用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 做“好玩”的數(shù)學(xué)
——以“3的倍數(shù)的特征”為例

江蘇省揚(yáng)大教科院附屬楊廟小學(xué) 王興偉

一、問題提出

眾所周知，教學(xué)“3的倍數(shù)的特征”的關(guān)鍵是如何從觀察數(shù)的末尾數(shù)字轉(zhuǎn)到觀察所有數(shù)字的和，這是一個(gè)轉(zhuǎn)折，更是一個(gè)跨越。課堂上，有的教師用精美的課件將復(fù)雜的特征推導(dǎo)過程演示得清清楚楚，有的教師非常順利地得出3的倍數(shù)的結(jié)論，有的教師則干脆省去所有繁雜的過程，直接告訴學(xué)生3的倍數(shù)的結(jié)論。在這樣的課堂上，學(xué)生學(xué)得機(jī)械、枯燥，感受不到知識(shí)本身的奇妙和魅力。如何在有效建構(gòu)3的倍數(shù)的概念的同時(shí)避免先前學(xué)習(xí)的負(fù)遷移？如何引領(lǐng)學(xué)生從關(guān)注概念的外表轉(zhuǎn)向思考內(nèi)在的本質(zhì)，進(jìn)而指向?qū)W生的抽象、推理等核心素養(yǎng)？面對(duì)這些問題，筆者采用了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的方法，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又培養(yǎng)了學(xué)生良好的探究性學(xué)習(xí)習(xí)慣，提升了學(xué)生的自主創(chuàng)新能力。

二、課堂回放

（一）首次實(shí)驗(yàn)，用四顆算珠撥數(shù)，激起疑惑

師：同學(xué)們，我們都知道判斷一個(gè)數(shù)是不是2、5的倍數(shù)，要看個(gè)位上的數(shù)。今天，我們來研究3的倍數(shù)，你猜想什么樣的數(shù)是3的倍數(shù)？

（學(xué)生有的猜想個(gè)位上的數(shù)是3、6、9，有的猜想個(gè)位上的數(shù)是0、5、…）

師：究竟看什么呢？我們來驗(yàn)證一下。這是一張1～50的數(shù)表，請(qǐng)大家圈出是3的倍數(shù)的數(shù)，觀察圈出的數(shù)，思考一下，求3的倍數(shù)的數(shù)，只看個(gè)位上的數(shù)，對(duì)嗎？

（學(xué)生圈過后發(fā)現(xiàn)有的個(gè)位上是3、6、9的數(shù)是3的倍數(shù)，有的卻不是，是3的倍數(shù)的數(shù)在個(gè)位上的數(shù)有0~9，不能只看個(gè)位上的數(shù)）

師：3的倍數(shù)到底與什么有關(guān)呢？我們一起來做一個(gè)小實(shí)驗(yàn)——撥珠實(shí)驗(yàn)。

活動(dòng)要求：

（1）用4顆算珠撥3的倍數(shù)。

（2）同桌兩人合作，一個(gè)人撥珠，另一個(gè)人判斷它是不是3的倍數(shù)（可以用計(jì)算器）。

（3）把撥的數(shù)記在實(shí)驗(yàn)記錄單相應(yīng)的方格里。（見表1）

表1 實(shí)驗(yàn)記錄單（一）

（生合作實(shí)驗(yàn)，師巡視，完成后組織匯報(bào)交流）

生1：我撥了一個(gè)211，它不是3的倍數(shù)。

生2：我撥了一個(gè)31，它也不是3的倍數(shù)。

……

（教師把學(xué)生匯報(bào)的數(shù)輸入屏幕的表格中）

師：有沒有人撥出的數(shù)是3的倍數(shù)？大家都沒有撥出3的倍數(shù)，這說明什么問題呢？

生：用4顆算珠撥不出3的倍數(shù)。

師：是啊，剛才撥珠時(shí)，有的同學(xué)把4顆算珠分散在幾個(gè)數(shù)位上，有的同學(xué)干脆放在一個(gè)數(shù)位上，可無論怎樣撥，都撥不出3的倍數(shù)。

策略分析：用實(shí)驗(yàn)的方法不但提高了數(shù)學(xué)知識(shí)本身的趣味性，而且讓學(xué)生經(jīng)歷了探究“3的倍數(shù)的特征”的過程。學(xué)生從觀察數(shù)的末尾的特征到觀察這個(gè)數(shù)的數(shù)字和，具有很大的思維跨度，很難獨(dú)立通過研究發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征。教師通過預(yù)設(shè)一個(gè)“陷阱”，讓學(xué)生經(jīng)歷撥珠后發(fā)現(xiàn)，4顆珠子無論怎么撥都撥不出3的倍數(shù)。這時(shí)，學(xué)生在操作中自然就會(huì)產(chǎn)生疑惑：“為什么4顆珠子就撥不出3的倍數(shù)呢？如果用其他數(shù)量的算珠呢？”困惑越大，探究的欲望就越強(qiáng)烈，不待教師吩咐，學(xué)生已迫不及待地進(jìn)入下一個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)。

（二）第二次實(shí)驗(yàn)，用任意顆算珠撥數(shù)，整體感知

師：既然用4顆算珠撥不出3的倍數(shù)，那么，究竟要幾顆算珠才可以撥出？下面，同桌兩人商量一下，任意選擇幾顆算珠，一個(gè)人撥，另一個(gè)人記錄并填寫在實(shí)驗(yàn)記錄單里，然后判斷它是不是3的倍數(shù)。

（生同桌合作活動(dòng)，教師巡視、指導(dǎo)，然后讓學(xué)生帶著實(shí)驗(yàn)記錄單再次反饋交流）

（學(xué)生匯報(bào)時(shí)有的用了3顆算珠撥數(shù)，有的用了4顆、5顆、6顆……同時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只要是用了3顆、6顆算珠撥的數(shù)，都是3的倍數(shù)，而用了4顆、5顆算珠撥的數(shù)，都不是3的倍數(shù)）

師：用3顆算珠能撥出哪些數(shù)呢？

生:我們撥出了30、21、12、120、102、210，它們都是3的倍數(shù)。

（師相機(jī)板書：30、21、12、120、102、210）

師：從這三個(gè)數(shù)上怎么能看出是用了3顆算珠呢？

生：“102”百位上的“1”用了1顆珠子，十位上是“0”，沒用珠子，個(gè)位上是“2”，用了2顆珠子，一共用了3顆?！?1”這個(gè)數(shù)也是一樣的道理。

（師板書：1+0+2=3， 2+1=3）

師：有沒有用3顆珠子撥出一個(gè)不是3的倍數(shù)的數(shù)呢？

生：沒有。

師：我們?cè)賮砜纯从?顆算珠撥出的數(shù)，哪些同學(xué)是用5顆算珠撥數(shù)的呢？

生：我們用5顆珠子撥了一個(gè)320和11111，它們都不是3的倍數(shù)。

……

師：有沒有人用5顆珠子撥出一個(gè)是3的倍數(shù)的數(shù)呢？

生：沒有。

師：還有誰用了幾顆算珠撥數(shù)？撥出的情況怎樣？

生：我們用了6顆，撥出的數(shù)是51、3300、420，它們都是3的倍數(shù)。

師：同學(xué)們，誰能看出他是用了6顆算珠撥數(shù)的？

生1：“420”百位上的“4”用了4顆珠子，十位上是“2”，用了2顆珠子，個(gè)位上是“0”，沒用珠子，一共用了6顆。“321”這個(gè)數(shù)也是一樣的道理。

生2：我補(bǔ)充一點(diǎn)，各個(gè)數(shù)位上的珠子可以任意調(diào)換順序，但結(jié)果都是3的倍數(shù)。

（師板書：4+2+0=6， 3+2+1=6）

策略分析：教師安排學(xué)生用任意顆算珠撥3的倍數(shù)的實(shí)驗(yàn)，通過撥數(shù)實(shí)驗(yàn)和全班學(xué)生的匯報(bào)，使學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)用4顆、5顆算珠撥數(shù)，都撥不出3的倍數(shù)，而用3顆、6顆算珠撥數(shù)，怎么撥都是3的倍數(shù)。學(xué)生對(duì)3的倍數(shù)的特征有了初步感知，在實(shí)驗(yàn)和探究過程中逐步建構(gòu)起對(duì)“3的倍數(shù)的特征”的整體認(rèn)知，而且其認(rèn)知隨著實(shí)驗(yàn)的不斷深入會(huì)越來越清晰。

（三）第三次實(shí)驗(yàn)，用3的倍數(shù)顆算珠撥數(shù)，驗(yàn)證推理

師：學(xué)到這里，我想請(qǐng)大家再猜想一下，3的倍數(shù)的特征可能是什么？

生1：如果算珠是3的倍數(shù)，撥出來的數(shù)一定是3的倍數(shù)。

生2：如果一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上加起來是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)一定是3的倍數(shù)。

……

（師相機(jī)板書：猜想一，算珠是3的倍數(shù)；猜想二，各位數(shù)的和是3的倍數(shù)）

師：你能說說是怎么想的嗎？

生：用3顆算珠，怎么放都是3的倍數(shù)，而用5顆算珠，怎么放都不是3的倍數(shù)。

師：這兩種猜想一樣嗎？

生：兩種猜想是一樣的，因?yàn)楦鲾?shù)位上的數(shù)字之和就是算珠的顆數(shù)。

師：我們?cè)鯓域?yàn)證這些猜想是否正確呢？

生：我們可以再實(shí)驗(yàn)一次，用3的倍數(shù)顆算珠去撥數(shù)，看它們是不是3的倍數(shù)，這樣就可以判斷猜想是對(duì)還是錯(cuò)。

師：好吧，請(qǐng)你任意取一些珠子，但顆數(shù)必須是3的倍數(shù)，然后任意撥一些數(shù)，看看它是否是3的倍數(shù)。如果是3的倍數(shù)，就請(qǐng)你把撥的數(shù)和用了多少顆算珠輸入屏幕上的這個(gè)表格中。（師生共同輸入數(shù)據(jù)，見表2）

策略分析：教師讓學(xué)生用任意3的倍數(shù)顆算珠撥一些數(shù)，并且把大家實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)輸入實(shí)驗(yàn)記錄單中，這樣做，就可以從特殊推理到一般，彌補(bǔ)了不完全歸納法的不足。學(xué)生通過積累大量的表象，激活了思維。當(dāng)教師給學(xué)生大量的機(jī)會(huì)去觀察、類比、歸納、推理、猜想、驗(yàn)證、交流的時(shí)候，學(xué)生就會(huì)被數(shù)學(xué)知識(shí)本身的魅力深深吸引。學(xué)生通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，完整經(jīng)歷了知識(shí)的發(fā)生、形成和發(fā)展過程，重走了人類發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的歷程，并從直觀具體的實(shí)驗(yàn)階段走入抽象理論階段，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”境界。

（四）第四次實(shí)驗(yàn)，用分小棒演示，推理證明

師：剛才我們通過觀察、舉例，知道了3的倍數(shù)的特征。這個(gè)特征是不是巧合呢？它背后的真相到底是什么呢？要揭開這個(gè)秘密，我們可以借助一件神秘武器——小棒來完成。

（師出示123根小棒，要求分成3份，學(xué)生口答算式，師板書“123÷3”）

師：想一想，用小棒怎么表示“123”？

生：1捆一百根小棒、2捆十根小棒，再加3根小棒。

師：我們先分百位上的小棒。1捆一百根小棒怎么分成3份呢？還余幾根？

生： 1捆一百根小棒，分成3份，每份33根，共計(jì)99根，還余1根。

師：再分十位上的小棒。這里有2捆十根了，我們可以一捆一捆地分。怎么分成3份呢？

生1：第一捆分成3份，每份3根，共計(jì)9根，還余1根。

生2：第二捆也一樣，分成3份，每份3根，共計(jì)9根，也余1根。

師：那十位上一共就余了幾根？

生：兩根。

師：個(gè)位上有3根，我們先將3根小棒單獨(dú)放在旁邊。

（師引導(dǎo)學(xué)生觀察課件，見下圖）

師：現(xiàn)在要判斷123是否是3的倍數(shù)，只要看哪部分？

生：余下的根數(shù)。

師：是多少？

生： 1+2+3。

師：觀察一下，這里余下的根數(shù)和什么是一樣的？

生：“1”和百位上的數(shù)一樣，“2”和十位上的數(shù)一樣，“3”就是個(gè)位上的數(shù)，余下小棒的根數(shù)和各位上的數(shù)字一樣。

師：現(xiàn)在你知道3的倍數(shù)有什么特征了嗎？為什么？

生：因?yàn)榘迅鱾€(gè)數(shù)位上的小棒分掉后，余下的和各數(shù)位上的數(shù)一樣，所以要判斷是否是3的倍數(shù)，只要看各數(shù)位上的數(shù)字之和是否是3的倍數(shù)。

師：老師只舉了一個(gè)數(shù)的例子，你們像這樣用小棒再舉一些例子，4人為一個(gè)小組，分工合作，用小棒來分一分，在實(shí)驗(yàn)記錄單（見表3）上填一填，然后大家議一議，看看你有什么發(fā)現(xiàn)。

表3 實(shí)驗(yàn)記錄單（三）

策略分析：教師通過讓學(xué)生進(jìn)行分小棒的實(shí)驗(yàn)，引領(lǐng)學(xué)生去探求3的倍數(shù)的特征的根源：為什么各數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，那這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)呢？用小棒的方法來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，簡單直觀，一目了然，巧妙的數(shù)形結(jié)合使學(xué)生對(duì)高深的原理有了初步的理解，從而解決了學(xué)生腦海中的疑惑。學(xué)生用自己的方式去“理解算理”，了解知識(shí)的“前世”“今生”和“未來”，不僅能豐富知識(shí)、開發(fā)潛能，還能在探究中學(xué)會(huì)探究，從而不斷地改善自我、發(fā)展自我。

三、分析反思

（一）創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)情境，激發(fā)探究欲望

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)必須要?jiǎng)?chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)情境，學(xué)生在情境中就能形成問題意識(shí)，并產(chǎn)生強(qiáng)烈的要解決這一問題的內(nèi)驅(qū)力。同時(shí)，教師可以利用情境，使學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新學(xué)習(xí)的內(nèi)容之間發(fā)生矛盾沖突，使學(xué)生在心理上產(chǎn)生學(xué)習(xí)需要。在本例中，教師在課的開始先讓學(xué)生回憶2、5的倍數(shù)的特征，再觀察50以內(nèi)3的倍數(shù)，通過觀察對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生從正、反兩個(gè)方面否定了3的倍數(shù)與末尾數(shù)字有關(guān)的認(rèn)知。接著，教師讓學(xué)生通過用“4顆珠”和“3顆珠”進(jìn)行對(duì)比，使學(xué)生在認(rèn)知沖突中自然產(chǎn)生了強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)需求。這一實(shí)驗(yàn)情境的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)了學(xué)生的求知欲望，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)新知的興趣，促使學(xué)生智力活動(dòng)的潛力得到充分的啟迪、發(fā)掘和發(fā)揮。

（二）引領(lǐng)親身體驗(yàn)，調(diào)動(dòng)全員參與

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的最大特點(diǎn)就是讓學(xué)生自己動(dòng)手、實(shí)驗(yàn)、操作。教學(xué)中，學(xué)生的“探”在前，教師的“導(dǎo)”在后，課堂中注重的是知識(shí)獲得的過程和方法，注重的是對(duì)學(xué)生探究能力的培養(yǎng)。在本例的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，教師為學(xué)生設(shè)置障礙，讓學(xué)生和同伴小組合作闖關(guān)。教師以小組成員的身份參與其中，與學(xué)生一起實(shí)驗(yàn)、討論、對(duì)話，這樣的實(shí)驗(yàn)過程是師生互動(dòng)的精神生產(chǎn)過程。學(xué)生通過四次實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)操作中進(jìn)行猜想、觀察、比較、分析、概括，親身體驗(yàn)了“3的倍數(shù)”的發(fā)現(xiàn)過程。在課堂中，每個(gè)學(xué)生都在玩學(xué)具、看特征、找發(fā)現(xiàn)，人人動(dòng)手，個(gè)個(gè)參與。學(xué)生發(fā)現(xiàn)的結(jié)論無論是淺顯的還是深刻的，都是其最真實(shí)的體驗(yàn)和感受。

（三）逐層漸進(jìn)建構(gòu)，建構(gòu)深度思維

現(xiàn)代教育論認(rèn)為，學(xué)生應(yīng)重走人類掌握數(shù)學(xué)的歷程，從直觀具體的實(shí)驗(yàn)階段走入抽象的理論階段。在學(xué)生進(jìn)行自主操作實(shí)驗(yàn)后，教師應(yīng)及時(shí)將學(xué)生發(fā)現(xiàn)的信息整理歸納，將問題做進(jìn)一步的引申、拓展，逐步將學(xué)生的動(dòng)作思維提升到言語表征，從具體形象思維引導(dǎo)到抽象邏輯思維，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。本例中的四次實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，不是簡單的重復(fù)，而是層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣、由表及里，不斷地向概念的核心“挺進(jìn)”。教師像剝筍一樣，在每次實(shí)驗(yàn)后，將影響“3的倍數(shù)的特征”這個(gè)概念的外衣層層剝?nèi)?，不斷激發(fā)學(xué)生向更上位的方法層面思考，步步逼近概念的核心層。最終，師生一起去發(fā)現(xiàn)、探尋“3的倍數(shù)的特征”的本質(zhì)，使課堂教學(xué)不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的過程，還是師生共同建構(gòu)概念意義的過程，實(shí)現(xiàn)了師生知識(shí)共享、情感交流、心靈溝通、能力創(chuàng)新等多層次的互動(dòng)。