以“問”驅(qū)研，拓展思維空間
——以蘇科版數(shù)學(xué)七（下）“證明”習(xí)題課教學(xué)為例

■洪靜

數(shù)學(xué)課堂以“問題鏈”的形式教學(xué)，簡單地說，就是實(shí)施“一題多變、一題多解、多題一解”的教學(xué)模式，把固化的問題多點(diǎn)化、靈活化，正向思維變?yōu)槟嫦蛩季S等。本文以蘇科版數(shù)學(xué)七（下）“證明”習(xí)題課為例，談一談題目變式對培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的作用。

一、播下思維的“種”——模型呈現(xiàn)

思維的“種子”是指數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識點(diǎn)、基本思想方法與基本技能。教師用思維的“種子”解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基本問題，為培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維打下堅實(shí)的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)基本模型、基本數(shù)學(xué)方法上實(shí)行分類思想，進(jìn)行方法教學(xué)、模型教學(xué)。比如，江蘇省徐州市銅山區(qū)2019年七（下）數(shù)學(xué)期末試題第26題（如例題）就很好地詮釋了這一點(diǎn)。

例如圖1，在△ABC中，BE、CD分 別為∠ABC、∠ACB的角平分線，交點(diǎn)為O。（1）若∠ABC=70°，∠ACB=50°，求∠BOC的度數(shù)；（2）若∠A=40°，求∠BOC的度數(shù)；（3）若∠BOC=110°，求∠A的度數(shù)；（4）若∠A=n°，求∠BOC的度數(shù)。

圖1

本題屬于問題遞進(jìn)式題目，每一問都層層深入。第（1）問可利用角平分線定義及三角形內(nèi)角和定理解決；第（2）問在第（1）問的基礎(chǔ)上進(jìn)行了變式，利用三角形內(nèi)角和過渡，進(jìn)而解決該問題；第（3）問是第（2）問的逆向思考，條件結(jié)論互換位置，步驟相反，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力；第（4）問在第（2）問的基礎(chǔ)上，由特殊到一般，只需用n°替代40°就能順利解決。例題通過這樣的設(shè)置幫助學(xué)生回顧基礎(chǔ)知識點(diǎn)，找到思維的“種子”，為后面問題變換的探索做好鋪墊，從而更好地實(shí)現(xiàn)∠A與∠BOC之間關(guān)系的探索。

設(shè)計意圖：例題中的“問題串”將各個知識點(diǎn)進(jìn)行有機(jī)融合，幫助學(xué)生理解抽象的知識點(diǎn)，并能引導(dǎo)學(xué)生從多個角度去解決問題。在此過程中，學(xué)生能夠?qū)W會思考、分析，并有意識地發(fā)展自己的發(fā)散思維能力，遵循“逐步推進(jìn)、螺旋上升、不斷深化”的認(rèn)識規(guī)律，使探究更具有操作性，能站在更高層次重新領(lǐng)悟所學(xué)知識，讓學(xué)習(xí)變得更加主動、有效和持久。

二、發(fā)出思維的“芽”——條件改變

思維的“芽”是指在數(shù)學(xué)基本題型已經(jīng)解決的基礎(chǔ)上進(jìn)行轉(zhuǎn)化拓展，通過變換題目條件或結(jié)論，提出有梯度的問題，但梯度不大，讓學(xué)生能運(yùn)用原題型的思想方法，進(jìn)行簡單的轉(zhuǎn)化，充分發(fā)揮學(xué)生的自主探究能力，激發(fā)學(xué)生解決此類數(shù)學(xué)題型的欲望，培養(yǎng)發(fā)散性思維能力。

變式1如圖2，在△ABC中，（1）若∠ACB=70°，∠ACD=∠EBC，求∠BOC的度數(shù)；（2）若∠A=40°，∠ABC=∠ACB，∠ACD=∠EBC，求∠BOC的度數(shù)。

圖2

變式1中的問題（1）是在例題的第（1）（2）兩問的基礎(chǔ)上進(jìn)行了主干條件的變化，在思維“種子”的啟發(fā)下，利用轉(zhuǎn)化與整體的思想方法催生思維的“芽”，促進(jìn)問題解決；而問題（2）是在問題（1）基礎(chǔ)上逆向轉(zhuǎn)化成問題（1）的條件，再用整體思想去解決。本題通過變換題目的條件，由局部走向整體，將知識形成系統(tǒng)，提升學(xué)生思維的靈活性。

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是以思維活動為核心的學(xué)習(xí)。教師的“教”應(yīng)建立在促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生能夠運(yùn)用基本知識、基本技能解決數(shù)學(xué)問題。恰當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練不僅能幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識，及時反饋教學(xué)信息，還能激勵學(xué)生積極參與，激發(fā)學(xué)生深入思考，使之創(chuàng)造力發(fā)揮出來，啟迪學(xué)生智慧。

三、抽出思維的“枝”——圖形變換

思維的“枝”是指枝干問題與主干問題相連，是從主干問題向外延伸的重要途徑。主干與枝干相互聯(lián)系、相互依托，形成一種內(nèi)在思維的脈絡(luò)，在圖形變換中，可使學(xué)生思維向不同方向延伸、拓展。

變式2如圖3，∠A=70°，BO、CO分別是△ABC外角∠CBD、∠BCE的角平分線，它們交于點(diǎn)O，求∠BOC的度數(shù)。

圖3

變式2在例題和變式1的基礎(chǔ)上改變了圖的形狀，將已知條件中兩個內(nèi)角的角平分線轉(zhuǎn)換為兩個外角的角平分線，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力，需要學(xué)生用轉(zhuǎn)化的思想改變思考方式，橫向提高學(xué)生發(fā)散思維能力。變式2沿用了探索最基礎(chǔ)的知識和方法——用思維的“芽”來解決，從內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化成外角問題，把主干問題向外延伸，抽出思維的“枝”，從而形成一種內(nèi)在的思維脈絡(luò)，最終實(shí)現(xiàn)∠A與∠BOC之間關(guān)系的探索，建立“兩線兩夾角”模型。

設(shè)計意圖：變式2通過變圖訓(xùn)練，設(shè)計一定“坡度”，提升學(xué)生發(fā)散性思維，幫助學(xué)生將解題視角由整體走向局部。這種從橫向角度提出問題的方法，不僅對學(xué)生的解題能力有幫助，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性。

四、長出思維的“樹”——探究發(fā)散

思維的“樹”是整個枝干由內(nèi)向外展開，深層次地引發(fā)學(xué)生思考與探究。學(xué)生思考的最大障礙是復(fù)雜問題，而思維的“樹”則能把復(fù)雜問題簡單化，通過分解與轉(zhuǎn)化，改變研究方法，快速找出問題的關(guān)鍵，提高思維的發(fā)散性與歸納性，從而輕松地解決問題，呈現(xiàn)出完整的思維結(jié)構(gòu)。

變式3如圖4，∠A=80°，BO、CO分別是△ABC內(nèi)角∠ABC及外角∠ACD的角平分線，它們交于點(diǎn)O。求∠BOC的度數(shù)。

圖4

變式3與前幾題提出的問題探索、求解的方法有所不同，不再求∠OBC與∠OCB度數(shù)的和，而是用到前幾題探討出的結(jié)論，啟發(fā)學(xué)生思考。此題利用三角形外角的性質(zhì)及等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，從而探索出∠OBC和∠OCB之間的關(guān)系，進(jìn)而求出∠BOC的度數(shù)，推進(jìn)∠A與∠BOC之間關(guān)系的探索，把“兩線兩夾角”模型進(jìn)行了變形。

設(shè)計意圖：本題通過對“兩線兩夾角”模型進(jìn)行變形，改變了學(xué)生在解題時依葫蘆畫瓢的模式，幫助他們克服靜止看問題的習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生探究熱情，改善了學(xué)生的思維方式，有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識和能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和批判性。這種承上啟下、由淺入深、由易到難、循序漸進(jìn)的設(shè)計，恰到好處地調(diào)動了學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)散性思維的探究能力，讓不同水平的學(xué)生都能得到一定發(fā)展，體會解題的樂趣。

五、開出思維的“花”——類比提升

類比思想是數(shù)學(xué)重要的解題思想，通過對題目反復(fù)錘煉、變式拓展、類比提升、精心整合，把創(chuàng)造性發(fā)散思維模式向?qū)W生最近發(fā)展區(qū)無限散發(fā)，思維的“花”定將綻放。

變式4如圖5，∠MON=90°，點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動（不與點(diǎn)O重合），BC是∠ABN的角平分線，BC的反向延長線交∠OAB的角平分線于點(diǎn)D。試問：隨著點(diǎn)A、B的運(yùn)動，∠D的大小會變嗎？如果不會，求∠D的度數(shù)；如果會，請說明理由。

變式4從圖的形狀上看與變式3有所不同，甚至感覺沒聯(lián)系。但如果把圖5順時針轉(zhuǎn)動到圖6這個位置，并且延長線段AB，便會發(fā)現(xiàn)，此題其實(shí)就是變式3的演變。此題通過引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識經(jīng)驗(yàn)，將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為簡單的基本圖形，體現(xiàn)基本圖形在解決問題中的作用，鞏固思維成果。

圖6

設(shè)計意圖：變式4較變式3難度有所增加，將“兩線兩夾角”模型和旋轉(zhuǎn)結(jié)合起來，再一次升華了“兩線兩夾角”模型，讓學(xué)生明白此模型應(yīng)用的廣泛性，理清題目核心條件之間的聯(lián)系，從而將整體性的結(jié)構(gòu)圖形投射到自己的認(rèn)知中，在延伸中發(fā)現(xiàn)基本圖形，提升自己的思維品質(zhì)。這不僅體現(xiàn)在題目本身的開放性上，也體現(xiàn)了選題的指向性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力。