合理設(shè)計(jì)探究問題，用數(shù)學(xué)的方式育人
——以蘇科版數(shù)學(xué)七（上）“數(shù)軸”習(xí)題課教學(xué)為例

■余葉軍 楊廣清

大部分教師往往采用有序評講的方式進(jìn)行習(xí)題課的教學(xué)，這種方式缺少知識的重新架構(gòu)、宏觀的視角、整體的思維，與當(dāng)下大單元教學(xué)的觀念背道而馳。要想切實(shí)地解決這些問題，習(xí)題課教學(xué)就要在知識的整體結(jié)構(gòu)、核心內(nèi)容和重要思想上做文章，讓學(xué)生既見樹木也見森林；要以知識為載體，思想方法為核心，提高解決問題的能力為切入點(diǎn)，最大限度地讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中承擔(dān)主人翁角色，有效體現(xiàn)思維的生長性、深刻性、靈活性、創(chuàng)造性，從而落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科育人的價(jià)值。

一、教學(xué)背景

本節(jié)課是一節(jié)“鄉(xiāng)村共同體”聯(lián)合示范課，教學(xué)對象為一所學(xué)校的七年級學(xué)生。本節(jié)示范課教學(xué)目標(biāo)是學(xué)生通過對數(shù)軸的再認(rèn)識，感受數(shù)形結(jié)合的思想，建立方程的模型，提升數(shù)學(xué)思考能力，為后續(xù)平面直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)作鋪墊。由此明確了本節(jié)課的教學(xué)理念是在活動(dòng)中生成，在生成中成長。本節(jié)課的教學(xué)主線是讓學(xué)生說一說、畫一畫、算一算，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題、歸納總結(jié)方法，最后進(jìn)行相關(guān)知識的應(yīng)用。

二、教學(xué)過程

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)軸的相關(guān)知識，請你說說你心中的數(shù)軸是什么樣子的。

生1：一條有正方向的直線。

生2：還有原點(diǎn)和單位長度。

師：請你畫一條數(shù)軸，說說數(shù)軸可以幫助我們解決什么問題。

生3：正數(shù)、0、負(fù)數(shù)可以在數(shù)軸上有序排列。

生4：可以利用數(shù)軸比較數(shù)的大小。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過想一想數(shù)軸的樣子，在腦海中直觀感受數(shù)軸的形象；再通過畫一畫讓這種感受成為現(xiàn)實(shí)，也提高了作圖的能力；最后，通過說一說，進(jìn)一步體現(xiàn)理性思維。

活動(dòng)探究1讀圖（圖1）獲取信息：

圖1

師：我們能從圖1中得到哪些信息？

生5：我能得出A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)分別是-3、-1、2、3。

生6：這四個(gè)數(shù)的大小關(guān)系從圖中能直接看出。

生7：能求出每個(gè)數(shù)的絕對值。

師：絕對值的定義是什么？

生8：絕對值表示數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

師：那么數(shù)軸上點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離是多少？

生9：點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離是2。

師：你是怎么得出的？

生9：我是從圖中直接看出來的。

師：非常棒！借助數(shù)軸，直接看出，幾何直觀，一目了然。請同學(xué)們看圖2，此時(shí)數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離是多少？還能直接看出來嗎？

圖2

學(xué)生一臉茫然，隨后陷入沉思，小組交流，教師巡視。

師：有想法了嗎？

生10：AB=b-a。

師：把你的想法和同學(xué)們分享一下。

生10：我是借助于圖1，多舉幾個(gè)特殊的例子，然后由特殊到一般，歸納出一般性的結(jié)論。

師：我發(fā)現(xiàn)了有部分同學(xué)的結(jié)果是a-b，正確嗎？

生11：正確，因?yàn)閍-b是負(fù)數(shù)了，距離不能為負(fù)數(shù)。

師：距離可以用之前學(xué)的什么知識來表達(dá)？

生12：絕對值。我們可以求a-b的絕對值。

師：那么，我們可不可以把結(jié)論的形式統(tǒng)一呢？

生13：AB=|a-b|或 |b-a|。

設(shè)計(jì)意圖：看圖說話是學(xué)生將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言的重要途徑。這一環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了一個(gè)開放性的獲取圖形信息的問題，既是對學(xué)生數(shù)軸知識的再一次喚醒，又是對學(xué)生思維能力的再一次提升。教師讓學(xué)生用代數(shù)式表示線段長，展現(xiàn)不一樣的思考方式，最后通過一個(gè)一致性的表達(dá)去統(tǒng)一思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)論之美。在滲透數(shù)形結(jié)合思想的同時(shí)，也為后續(xù)解決問題提供了生長點(diǎn)。

活動(dòng)探究2觀察圖3，回答下列問題：

圖3

（1）| 4-1|表示哪兩個(gè)點(diǎn)之間的距離？|4-（-1）|呢？

（2）你會(huì)用式子表示A、C兩點(diǎn)之間的距離嗎？

（3）數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是-3，另有一點(diǎn)P表示的數(shù)是x，你會(huì)用式子表示A、P兩點(diǎn)之間的距離嗎？

（4）你能說說 |x+1|表示的含義嗎？

（5）若x表示一個(gè)有理數(shù)，你能說說 |x-1|+|x+3|表示的含義嗎？觀察數(shù)軸，你還有什么想法？

師：同學(xué)們對哪一個(gè)問題疑惑最大？

生14：我們小組對問題（5）疑惑最大。

師：其他小組是否也有同樣的疑惑？舉手示意。

師：問題（5）與問題（4）有聯(lián)系嗎？我們的經(jīng)驗(yàn)在哪里？可以怎樣變形呢？

生15：式子|x-1|+|x+3|可以變化為|x-1|+|x-（-3）|。

師：很好，離成功不遠(yuǎn)了，這樣我們就可以用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá)這個(gè)式子的含義了。

生16：從數(shù)軸上看，我們可以理解為x到1和x到-3之間的距離和。

師：表達(dá)得非常準(zhǔn)確。我們再用變化的眼光去直觀感受一下，在x變化的過程中，x到1和x到-3之間的距離和怎么變化呢？

生17：利用數(shù)軸，我發(fā)現(xiàn)x在1和-3之間時(shí)距離和最小，最小值為4。所以|x-1|+|x+3|最小值為4，沒有最大值。

師：問題（5）從數(shù)的角度很難解決，因?yàn)樯婕捌撸ㄏ拢┑囊辉淮尾坏仁胶头诸愑懻摰臄?shù)學(xué)思想，難度較大。因此，我們可以根據(jù)式子的特征聯(lián)想到數(shù)軸，通過幾何直觀，利用數(shù)形結(jié)合來解決。

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)探究2以問題串的形式給學(xué)生搭建思維的“腳手架”，讓不同層次的學(xué)生都能體會(huì)到成功的喜悅，實(shí)現(xiàn)自我價(jià)值。教師以問題串的形式，讓探究走向縱深，體現(xiàn)了深度教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生高階思維，讓學(xué)生在已有數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，積極思考，主動(dòng)利用類比去探究、去構(gòu)建，激發(fā)數(shù)學(xué)思維活力。

活動(dòng)探究3觀察圖4，獲取信息：

圖4

師：AC+BC等于多少？

生18：AC+BC=8。

師：若點(diǎn)P在線段AB上，則PA+PB等于多少？

生19：PA+PB等于8。

師：若點(diǎn)P在數(shù)軸上，且PA+PB=10，你能求出點(diǎn)P表示的數(shù)嗎？

生20：PA+PB=10時(shí)，點(diǎn)P有兩個(gè)位置。若點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，則點(diǎn)P表示的數(shù)是-4；若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，則點(diǎn)P表示的數(shù)是6。

生21：借助前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，我可以設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)是x，因?yàn)镻A+PB=10，可以得出 |x-（-3）|+|x-5|=10，然后分類討論求解。

師：兩位同學(xué)經(jīng)過思考都形成了自己的解題方法，成功利用本節(jié)課的知識解決了問題。同學(xué)們能否根據(jù)圖4，在剛才的基礎(chǔ)上再提出一個(gè)問題呢？

生22：若點(diǎn)P在數(shù)軸上，求PA+PB的最小值。

生23：若點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)是x，當(dāng)PA+PB有最小值時(shí)，這個(gè)x的位置確定嗎？

生24：若點(diǎn)P在數(shù)軸上，PA+PB+PC有沒有最值？

師：同學(xué)們的問題都非常具有創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)性。請同學(xué)們利用課后時(shí)間相互交流，解決問題。

設(shè)計(jì)意圖：通過活動(dòng)探究3的學(xué)習(xí)，學(xué)生感受到由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想，進(jìn)一步體會(huì)知識間的聯(lián)系，建立方程的模型。教師讓學(xué)生利用自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)提出問題，培養(yǎng)了學(xué)生的質(zhì)疑精神，讓學(xué)生自己分析問題，解決問題，帶著問題走向課后，實(shí)現(xiàn)由課堂走向課后的教學(xué)評價(jià)體系，讓評價(jià)體系更加完整。

三、教學(xué)反思

1.合理設(shè)計(jì)探究問題，促進(jìn)學(xué)生整體領(lǐng)悟

“雙減”背景下，如何讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中獲得更多，在課后自我發(fā)展，構(gòu)建生長型習(xí)題課就尤為重要。生長型習(xí)題課需要學(xué)生對所學(xué)的知識有著很好的整體領(lǐng)悟能力，而合理設(shè)計(jì)探究問題是促進(jìn)學(xué)生整體領(lǐng)悟的一個(gè)有效路徑。如活動(dòng)探究1，教師通過一系列的問題串，不斷地讓學(xué)生去回憶數(shù)軸的定義、用途，為后續(xù)深度探究奠定了堅(jiān)實(shí)的知識基礎(chǔ)。學(xué)生通過自己的合理探究，得出了數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間的距離表達(dá)式，歸納出后續(xù)應(yīng)用的結(jié)論。在有序的思考中，學(xué)生經(jīng)歷問題解決的完整思維生長過程，從而達(dá)到數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)化、能力化、成長化。

2.合理設(shè)計(jì)探究問題，促進(jìn)學(xué)生深度思考

促進(jìn)學(xué)生深度思考要以學(xué)生的實(shí)際能力為出發(fā)點(diǎn)，設(shè)計(jì)能引領(lǐng)學(xué)生思考、有梯度、有價(jià)值的問題，讓問題成為思維提升的有效著力點(diǎn)。如活動(dòng)探究2，以問題串的形式呈現(xiàn)，問題設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，探究難度逐步增加，思維要求逐步提升，能力要求逐步提高，一系列的問題全方位地鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。探究問題時(shí)，不僅要求學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維去思考，更要會(huì)用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)。比如“你能說說 ||x+1表示的含義嗎？”這就需要學(xué)生有聯(lián)系地去學(xué)，整體地去想，在活動(dòng)中去深度探究，在深度學(xué)習(xí)中體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)部是相互聯(lián)系的。

3.合理設(shè)計(jì)探究問題，促進(jìn)學(xué)生質(zhì)疑評價(jià)

學(xué)生的質(zhì)疑是課堂教學(xué)寶貴的財(cái)富。對于同一個(gè)問題，不同的學(xué)生往往會(huì)用不同的方法去思考，這就需要教師合理設(shè)計(jì)探究問題，引導(dǎo)學(xué)生去提煉、概括，尋找普適性的方法，然后舉一反三，產(chǎn)生遷移。在遷移過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生對這種方法進(jìn)行再加工，從中提煉出可以適用于一般的、具有廣泛應(yīng)用性的數(shù)學(xué)思想方法。如活動(dòng)探究3，在前兩個(gè)活動(dòng)探究的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生自主提出問題——“若點(diǎn)P在數(shù)軸上，求PA+PB的最小值?！薄叭酎c(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)是x，當(dāng)PA+PB有最小值時(shí)，這個(gè)x的位置確定嗎？”這樣的質(zhì)疑不是一開始就具備的，而是在本節(jié)課一個(gè)個(gè)活動(dòng)層層探究后產(chǎn)生的，充分說明本節(jié)課前面兩個(gè)活動(dòng)探究的學(xué)習(xí)是有價(jià)值的，體現(xiàn)了合理設(shè)計(jì)探究問題的必要性。學(xué)生能夠有效地從數(shù)量特征聯(lián)想到幾何特征，從而把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題，創(chuàng)造性地利用形來解決數(shù)的問題。在此過程中，學(xué)生感受到了成功的喜悅，培養(yǎng)了創(chuàng)新才能，激發(fā)創(chuàng)新意識，也進(jìn)一步體現(xiàn)了數(shù)學(xué)育人的方式。