中國賦役史中的理念、制度與技術
——從“均平”角度的重新審視

郭永欽 申 斌

(1.廣州大學 人文學院， 廣州 510006；2.廣東省社會科學院 歷史與孫中山研究所， 廣州 510635)

制度史是中國史研究的重要領域，近年學界圍繞著“活”的制度史、制度史觀、日常統(tǒng)治史等議題，涌現(xiàn)出眾多重要論著。(1)鄧小南：《走向“活”的制度史——以宋代官僚政治制度史研究為例的點滴思考》，《浙江學刊》2003年第3期；閻步克：《中國古代官階制度引論》，北京：北京大學出版社，2010年，第7-9頁；侯旭東：《傳舍使用與漢帝國的日常統(tǒng)治》，《中國史研究》2008年第1期；鄧小南：《再談走向“活”的制度史》，《史學月刊》2022年第1期。近年已經(jīng)有學者對制度史作為研究領域的形成史加以反思，參見侯旭東：《“制度”如何成為了“制度史”》，《中國社會科學評價》2019年第1期。這些研究或注重制度的實踐過程及人事關系，或闡發(fā)制度內(nèi)在的機理、結構，或突出以人的能動性為觀察視角。(2)孫正軍：《何為制度——中國古代政治制度研究的三種理路》，《中國社會科學評價》2019年第4期。制度的設計和演進背后必定蘊含著某種思想觀念，而其具體實踐又需要一系列社會治理技術(如文書、會計等)的支撐。觀念正是人的能動性和社會結構的制約性的結合點，而技術因素則更能彰顯制度運行的底層結構。因此，揭示傳統(tǒng)中國觀念、制度、技術的內(nèi)在關聯(lián)性，應是豐富、深化制度史研究的有效路徑。尤其是從社會治理技術因素來解讀觀念和制度的影響，對闡釋中國文化實踐的內(nèi)涵十分重要，然而此前從該角度的探討頗為不足。

古代國家和社會秩序構建遵循的政治理念不但塑造了君民頭腦中的“正義”觀，也制約著制度設計的導向與框架，還滲透到制度實施所依托的技術性知識中。在中國古代，“均平”就是這種關鍵性政治理念。它影響著統(tǒng)治者、士人、民眾的思想認知，體現(xiàn)在財產(chǎn)分配、賦役征發(fā)等諸多制度環(huán)節(jié)中，甚至滲透到了服務于賦役核算的算學技術層面。我們可以由此觀察政治經(jīng)濟思想、賦役制度和算學技術知識三者的內(nèi)在關聯(lián)和一致性，從算學知識中解讀觀念的滲透與制度的影響，為前述研究路徑提供一個方法性案例。

一、均平：傳統(tǒng)中國的秩序正義

“均”或“均平”是傳統(tǒng)理想社會秩序的一個核心理念，具體表現(xiàn)為財富分配和稅負分派的指導性原則，學界對此已有論斷。(3)李振宏：《中國古代“平均賦役”的文化考察》，《學術界》2005年第2期；李振宏：《中國古代均平文化論綱》，《學術月刊》2006年第2期。但對古人語境中“均平”與“平均”的內(nèi)涵差異仍有進一步申論的必要。一般認為，“均”有兩種不同內(nèi)涵：其一是儒家所主張的以差等(等級差異)為前提的均平，其二是百姓理想當中無差別的絕對平等、平均。(4)山田勝芳：《中國のユートピアと「均の理念」》，東京：汲古書院，2001年。下文著重分析在大多數(shù)歷史語境下，后者可能并非民眾的真實訴求，前者也并非專為儒家獨有的主張，而是傳統(tǒng)社會所追求的理想秩序。

民眾的絕對平均主義集中體現(xiàn)在農(nóng)民起義的主張和訴求當中。自秦漢到隋唐，這種思想還混雜在民間宗教意識中。唐末以降，平均主義思想才日漸鮮明。唐末農(nóng)民起義軍首領王仙芝自稱“天補平均(一作均平)大將軍”；北宋王小波起義明確提出“吾疾貧富不均，今為汝輩均之”；南宋鐘相起義，以“法分貴賤貧富，非善法也，我行法，當?shù)荣F賤、均貧富”來發(fā)動農(nóng)民；明末李自成起義以“均田”“免糧”為號召；太平天國《天朝田畝制度》中“無處不均勻”的理想設計達到頂峰。

對這種平均主義思想，有三點值得注意。第一，農(nóng)民起義的訴求是反對現(xiàn)實社會中的貴賤貧富格局，但未必要廢除這種社會結構，更多是希望改變自己被壓迫、被剝削的地位。第二，從實踐上看，農(nóng)民軍事實上實行的也并非絕對平均主義，而仍是有差等的制度和政策。譬如《天朝田畝制度》同樣包含嚴格的等級制度，權力差異在各方面都有體現(xiàn)。第三，絕對平均主義會破壞一般的農(nóng)民私有財產(chǎn)，反而打擊了起義參與者的積極性?？偠灾?，政治上絕對平等、經(jīng)濟上絕對平均的“平均主義”，即便對百姓而言大多也只停留在幻想和口號中，未必源自生活實態(tài)。所以，絕對平均主義不但事實上從未實行過，也非民眾的真正訴求。

本文認為傳統(tǒng)思想中的“均”并非指財富一律均等，而是以各安其分為前提、有差等的均平。這一主張，是以承認事物差異乃是自然之理為前提的，即“物之不齊，物之情也”(《孟子·滕文公上》)。該理念從分配角度說，是財富的分配與社會身份相適應；從汲取角度說，是賦役征發(fā)與被征收者的身份地位和財產(chǎn)情況相適應。(5)在歐洲前古典經(jīng)濟學時期，圍繞財產(chǎn)正義、分配正義、稅收正義也有諸多討論，涉及“正義”(justice)、“公平”(fairness)、“平等”(equality)關鍵概念，形成“量能”“受益”“均等犧牲”“一致同意”等不同的稅負公平原則。公平和正義是普世性的價值追求，但需要結合不同社會歷史環(huán)境來認識。將歐洲這些思想和實踐與我國的均平思想和實踐進行比較，是非常有意義的話題。這一思想最終體現(xiàn)在傳統(tǒng)中國土地賦役制度設計上。

二、均田、戶等、鼠尾：均平原則在土地賦役制度上的體現(xiàn)

如劉志偉所言，中國王朝的貢賦體制合理化的基本原則就是均平。(6)劉志偉：《中國王朝的貢賦體制與經(jīng)濟史》，《貢賦體制與市場：明清社會經(jīng)濟史論稿》，北京：中華書局，2019年，第25頁。對均平原則的追求在傳統(tǒng)社會中是一貫的，然而貫徹該理念的方式卻隨著時代發(fā)展而改變。有兩個變化最為突出：一是重心從晉唐時期的財產(chǎn)分配制度向唐兩稅法以降的賦役征發(fā)制度轉移，二是從追求理論最合理的制度逐漸向致力實踐中防弊的制度轉變。

第一個變化體現(xiàn)了均平的制度設計從分配向征收方面轉移。不過，無論是分配生產(chǎn)資料的均田制，還是以資產(chǎn)為宗的兩稅法，抑或以戶等為依據(jù)的差役分派，均體現(xiàn)出以差等為前提的均平理念。

在漢唐之間，王朝國家在考慮均平問題時多從社會政策著眼，賦稅制度與生產(chǎn)資料的分配制度(更確切地說是土地分配限額制度)是結合實行的。國家對不同身份等級的人占有土地有限額規(guī)定，有條件時還進行給田、授田等，從而確保編戶齊民擁有與其身份相適應的土地(生產(chǎn)資料)，并據(jù)此為國家納糧服役。漢代《二年律令》就規(guī)定了基于爵制身份等級的不同給田額度。西漢末期開始出現(xiàn)的所謂“均田之制”在設計理念上仍然是基于爵制、品秩差等來進行授田，而非一律均等的給田制。西晉時期與戶調(diào)式并行的占田額、課田額規(guī)定亦以官品差等為依據(jù)。(7)關于占田、課田如何理解，學界多有爭論。但是其額度制定體現(xiàn)了基于身份差等的財產(chǎn)合理性差異觀念這一點當無疑問。北魏孝文帝行均田制，明確進行官授田操作，唐代均田制則集其大成。但是這種“均田之制”，并不能簡單理解為“每名正丁(成年男子)授田百畝”這種無差別等額授田的平均主義，其完整內(nèi)涵是根據(jù)爵位、品級、職分的差別而確定不同的受田面積。(8)渡邊信一郎：《傳統(tǒng)中國的均平秩序——以經(jīng)濟秩序為中心》，周東平、朱騰主編：《法律史譯評》第6卷，上海：中西書局，2018年，第1-11頁。另外，關于均田制的實際實施地域范圍、普遍程度、貫徹力度學界存在爭議，但對晉唐時期國家曾推行此種生產(chǎn)資料再分配政策這點應無分歧。本文著眼于制度設計的討論，不涉及實際執(zhí)行的爭議問題。

自從唐德宗時楊炎兩稅法以降，國家放棄了從生產(chǎn)資料分配角度貫徹均平的方針，轉而在承認財產(chǎn)占有現(xiàn)狀的前提下，從賦稅征收角度體現(xiàn)均平原則，即參考人戶的社會身份以及土地肥瘠、財力厚薄、人丁多寡等差異因素后合理派征。兩稅法下，兩稅斛斗計畝而征；兩稅錢則根據(jù)戶等高低(其實是資產(chǎn)多寡)配征(9)陳明光、孫彩紅：《隋唐五代財政史》，長沙：湖南人民出版社，2015年，第416-418頁。，即所謂以資產(chǎn)為宗，以貧富為差。自此，貫徹均平的焦點轉向了稅制設計環(huán)節(jié)。北宋因襲了兩稅法以后的政策取向，“田制不立”，(10)關于宋代“田制不立”的含義，學界存在爭議。筆者認為主要指的是國家不再實行晉唐時期的土地再分配政策。參考楊際平：《宋代“田制不立”、“不抑兼并”說駁議》，《中國社會經(jīng)濟史研究》2006年第2期；耿元驪：《宋代“田制不立”新探》，《求是學刊》2009年第4期；楊際平：《〈宋代“田制不立”、“不抑兼并”說〉再商榷——兼答薛政超同志》，《中國農(nóng)史》2010年第2期。注意力集中到賦稅能否完納問題上。由于可持續(xù)的賦役征發(fā)的需要，國家又必須關注賦役能否“均平”地分派給編戶齊民的問題。而客觀上，北宋政權也不掌握大量無主荒地，官無閑田，無法開展土地再分配。

宋代開始，役的重點發(fā)生轉移，從古代的“力役之征”變?yōu)椤笆嗽诠佟?，所要求的不僅是體力，而且負擔加重。(11)呂思勉：《中國通史》，上海：上海古籍出版社，2009年，第126頁。因此，晚唐以后逐漸形成以戶為單位綜合評定人丁財產(chǎn)多寡，確立等次，作為派役依據(jù)的做法。無論是元代論人戶物力，還是明代論人丁事產(chǎn)均不出該原則。戶等制在這一背景下發(fā)展起來，并成為在差役征發(fā)中貫徹均平原則的制度工具，直到明前中期一條鞭法后才逐漸式微。(12)邢鐵：《戶等制度史綱》，昆明：云南大學出版社，2002年，第56-156頁。

在戶等制下，依據(jù)戶等編制冊籍，按照上等戶應重役，下等戶應輕役原則征派徭役是一般做法。無論是一二三四五等，還是三等九則，都是賦予戶一個數(shù)值級差。北宋時期出現(xiàn)的鼠尾冊(或鼠尾簿、虎頭鼠尾冊、龍頭蛇尾冊)就是這樣一種派差冊籍。

王曾瑜較早對宋朝的鼠尾簿和鼠尾法進行了考證,認為鼠尾簿是以各鄉(xiāng)的丁產(chǎn)簿為基礎改造而成的。(13)王曾瑜：《錙銖編》，保定：河北大學出版社，2006年，第582-587頁。相對五等丁產(chǎn)簿，鼠尾都簿最大的不同有兩點，一是記錄的并非全部人戶，而僅是第三等以上人戶；二是根據(jù)各戶的物力等第(也就是各戶擁有的田園、宅邸、車乘、孳畜、樹木、貨幣，通過推排劃分為若干等級)和人丁數(shù)目編排次序，在人名下記錄他們歷次被派給的色役的名目、年限、替換日期，將役和人一一對應起來。官員對冊籍進行簽署畫押，將冊籍留備實際派差時點檢使用。而根據(jù)戶部的“看詳”，可知鼠尾都簿也是廣義的丁產(chǎn)文簿之一種，編制實系“改造”文簿。沒有按照“鼠尾”形式改造文簿的地方，可以采取在丁產(chǎn)簿內(nèi)各戶名下注明其“排定資次”的形式加以變通。

元明時期的鼠尾冊也大致相同。和田清據(jù)《古今治平略》卷二“先丁糧多者畢，以次編其小者居后，自極大以至極小，造鼠尾冊”的記載，認為鼠尾即從大到小順序排列。(14)和田清：《明史食貨志訳註》上卷，東京：東洋文庫，1957年，第243頁。明萬歷時期，雖然解運費用已經(jīng)由解運人戶自理改為官府征給，但仍保留了按照冊籍上戶等高下僉點解運差役的形式。萬歷時常州府“如胖襖、茶蠟、朱漆、官布等項勢不可缺者，仍用解頭十九名。俱照虎頭鼠尾冊，田及千畝者，方為僉點”；并且詳細將不同物品的解頭按照負擔輕重分為五等開列，如“第一等茶蠟解頭一名”“事屬最重”，“第五等均徭解頭一名”“管解各衙門供應公費銀兩，事屬稍輕”(15)劉廣生修、唐鶴征纂：《重修常州府志》卷6，明萬歷四十六年刻本，第62頁。注：按照后文解頭人數(shù)之和為18人，似與原文19人出入。。當時的官箴書中對戶等與差役輕重對應的做法也有說明。如《居官水鏡》稱：“概縣有田人戶，虎頭鼠尾照數(shù)挨編，前盡北運、次南運。收頭、解戶，次扇書、塘長，次糧里、排年，即三尺之童，亦可據(jù)冊點役?！?16)劉時俊撰：《居官水鏡》卷3，明萬歷刻本，第14頁。

此外，在帝制時代晚期，社會身份差別的影響還主要體現(xiàn)在對某些身份的人戶表示優(yōu)崇、進行賦役優(yōu)免上。(17)李雪慧、高壽仙：《明代徭役優(yōu)免類型概說》，《故宮學刊》2013年第2期。

第二個變化體現(xiàn)的是實踐中制度調(diào)適的務實取向。宋代以降差役據(jù)戶等而分派，評定戶等自然以綜合核算人丁事產(chǎn)最為合理，但實際調(diào)查十分困難，而又給基層胥吏諸多上下其手的作弊空間。于是犧牲理論上最理想的公平狀態(tài)，而重點轉為致力防弊，評定標準、手續(xù)漸趨簡化，專論丁糧。(18)申斌：《明代地方官府賦役核算體系的早期發(fā)展》，《中國經(jīng)濟史研究》2020年第1期。

類似的做法也體現(xiàn)在田賦的征收方式上。比如漢代田租征收，即考慮地力差異而不考慮年景差異，以常年產(chǎn)量定稅。在如何通過稅率反映不同土地地力差異的問題上，也出現(xiàn)過從粗疏到細密再到粗略的否定之否定的過程。春秋時管仲在齊國“相地而衰征”，韋昭注“相，視也。衰，差也。視土地之美惡及所生出，以差征賦之輕重也”(19)如巫寶三就曾對比過勞役租制與實物租制轉變時“初稅畝”和“相地而衰征”，指出“相地而衰征”是按土地肥瘠不同產(chǎn)量分等征，而不同于“按畝數(shù)收稅”，即按土地面積用同一稅率征收租稅(初稅畝)。并且前者在租稅負擔公平問題上，要優(yōu)于后者。巫寶三：《管仲“相地而衰征”的歷史意義與理論貢獻》，《經(jīng)濟問題與經(jīng)濟思想史論文集》,太原：山西經(jīng)濟出版社,1995年,第887頁。。一般據(jù)此認為“衰征”指“據(jù)不同質(zhì)量的土地制定不同的稅額標準，土地質(zhì)量好的多收，反之則少收”。臧知非批駁這一看法，提出“衰”字應該“不是指租稅額，而是指各家實際耕種的土地數(shù)量的級差而言：在授田過程中，良田按照標準——每夫百畝授予，質(zhì)量低劣的土地根據(jù)不同情況增加授田數(shù)量，加倍或者再倍，依次遞增，授田民所上交的田稅(租)數(shù)量是相同的。這個遞增的級差就是‘相地而衰征’之‘衰’”(20)臧知非：《秦漢土地賦役制度研究》,北京：中央編譯出版社,2017年,第13頁。。隨著田土登記制度的發(fā)展，用單位面積科則差異體現(xiàn)田土肥瘠的做法更加普遍。不過科則繁多也造成了易于作弊、不便核算等問題。直至明中后期實施了扒平科則等改革，很多地方通過“折畝”將不同科則的土地折算為標準土地的面積，這其實可以理解為向春秋時期以土地面積為“衰”做法的回歸。

三、從衰分到鼠尾：貫徹均平理念的算學知識支撐

如果說制度設計是政治理念的直接投射，那么算學知識等技術因素中體現(xiàn)出的均平痕跡，則是古代政治觀念向社會運作如毛細血管滲透的絕佳體現(xiàn)。

漢代《九章算術》卷三專有《衰分》一章?！八ァ钡囊馑际恰安睢?，即差等，“衰分”本身就是有差等地分配。劉徽注說其作用是“以御貴賤廩稅”，郭書春譯注為“為了處理物價貴賤、賜予谷物及賦稅等問題”(21)郭書春譯注：《九章筭術譯注》，上海：上海古籍出版社, 2009年，第97-98頁。，但似較為籠統(tǒng)。從后面所舉例題中“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士凡五人”“欲以爵次分之”的表述，可以推知應指用來處理身份貴賤不同的人的廩和稅的分配問題。今天一般將衰分直接解釋為“按比例分配”問題，這其實掩蓋了這一名詞中“衰”所強調(diào)的差等含義。按照有差等的比例進行分配，才是衰分的完整含義。而根據(jù)差等狀態(tài)不同，又涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列等問題。(22)比如五人分五鹿問題是分配比例構成等差數(shù)列，而馬牛羊食人苗問題則是分配比例構成等比數(shù)列。

為了厘清源頭，我們先來分析《九章算術》關于“衰分”的記載：

各置列衰(列衰，相與率也。重疊，則可約。)副并為法，以所分乘未并者各自為實。(法集而衰別，數(shù)本一也，今以所分乘上別，以下集除之，一乘一除適足相消。故所分猶存，且各應率而別也。于今有術，列衰各為所求率，副并為所有率，所分為所有數(shù)。又以經(jīng)分言之，假令甲家三人，乙家二人，丙家一人，并六人，共分十二，為人得二也。欲復作逐家者，則當列置人數(shù)，以一人所得乘之。今此術先乘而后除也。)實如法而一。不滿法者，以法命之。

關于該算法的數(shù)學含義，據(jù)相關研究轉述如下。(23)曲安京主編：《中國古代科學技術史綱·數(shù)學卷》，沈陽：遼寧教育出版社, 2000年，第200-201頁。

假設有n個人分配m個物，那么先列出每個人的列衰(即分配比例(24)郭書春譯注：《九章筭術譯注》，第97頁。)a1，a2，…，an(25)如果其中有多個人的列衰(ai)相同，可以合并開列，以人數(shù)乘以列衰。，將全部列衰相加，即a1+a2+…an=A，將所得之和(A)作為“法”，在運算上表現(xiàn)為乘數(shù)或除數(shù)。(26)“實”指的是實在的事物數(shù)量，“法”指的是衡量事物的單位。表現(xiàn)在運算上，實就是被乘數(shù)或被除數(shù)，法就是乘數(shù)或除數(shù)。然后用“所分”(m)與“未并者”(a1，a2，…，an)分別相乘，得出各自的“實”，也就是被除數(shù)。每個人的“實”除以“法”得到的就是每個人應得的物的量。

現(xiàn)代數(shù)學中談到某個個體的分配比例時，一般用分數(shù)表示個體在總體中所占份額，其和為1。但是在這里，列衰指的是體現(xiàn)個體與個體之間“差等”的比例關系，而且這種比例關系往往是以具體數(shù)字的形式出現(xiàn)的。比如“衰分”所舉的第一個例題“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士凡五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之”，這里說的就是大夫、不更、簪裊、上造、公士的分配結果應呈5∶4∶3∶2∶1的比例關系。

我們認為，宋代以后的“鼠尾”的算法規(guī)則，正是與上述“衰分”的差等內(nèi)在原理相同，這在不同時代的算學書中呈現(xiàn)著類似的例證關系。前人研究鼠尾問題時并未重視該問題，大致是由于傳世經(jīng)典文獻記載闕如。

重新探討該思路最重要的文本是新發(fā)現(xiàn)的成書于明正德、嘉靖間的《新集通證古今算學寶鑒》(以下簡稱《算學寶鑒》)。作者王文素，字尚彬，山西汾陽人，明成化年間隨父王林經(jīng)商并定居河北饒陽。該書唯一傳世的抄本存于國家圖書館，系20世紀30年代由國立北平圖書館人員于舊書肆中發(fā)現(xiàn)。據(jù)前人研究，該書除引用參考過較多的宋元算經(jīng)外，其中還有不少原籍早已亡佚的明代算經(jīng)。該書于1993年影印出版，雖曾受數(shù)學史學者矚目，但尚無學者關注其特殊的經(jīng)濟史料價值。(27)王文素著、劉五然等校注：《算學寶鑒校注》，北京：科學出版社，2008年?！毒魉惴ā纷卟辉敗ｊP于《算學寶鑒》征引宋元明算書情況，參見李儼：《中算史論叢》第2集,北京：中國科學院,1954年，第90頁；趙擎寰：《明王文素〈算學寶鑒〉淺析》，《珠算》1998年第3期。

《算學寶鑒》在書首的提要中就明言“貴賤易交憑粟米，公私科派用衰分”(28)王文素著、劉五然等校注：《算學寶鑒校注》，第11頁。。又在第二十三卷中提到《精明算法》中有“五人鼠尾均錢”的問題，認為其解法即南宋楊輝的《續(xù)古摘奇算法》所闡釋的《九章算術·衰分》第一問的解法。這說明所謂“鼠尾均”即“衰分”。值得注意的是《九章算術·衰分》第一問原文表述是“欲以爵次分之”，但楊輝《續(xù)古摘奇算法》中的表述是“五人均五鹿”，《精明算法》也有“鼠尾均”的表述。這說明至少從宋代開始，算學中的“均”并非意味著平均分配，而是按照有差等的比例分配。

那么何為“鼠尾均”呢？《算學寶鑒》校注者一方面指出“鼠尾差分”相當于現(xiàn)在的等差數(shù)列，另一方面又引《宋史·趙開傳》為書證，將“鼠尾”解釋為“從頭至尾，一一順次排列”，這大約受了傳統(tǒng)史學界對鼠尾法解釋的影響。仔細分析《算學寶鑒》中有關“鼠尾”的算例，可以發(fā)現(xiàn)“鼠尾”并非作為名詞，而是用作副詞，修飾后面的“差分”“均”“分”等動詞。比如“眾人鼠尾分錢，且云首多尾十六文，遞差四文。問：總人幾名？”“假令二十五人，鼠尾均銀十兩，務要首出銀五錢五分。問：尾出銀及遞差幾何？”“假令三十三人鼠尾均銀十三兩二錢，但知尾出一錢六分。問：首出并遞差幾何？”“七人鼠尾均銀十兩，且云甲出二兩。問：乙、丙、丁、戊、己、庚并遞差各該幾何？”“假令十人鼠尾分銀十兩,只云甲多癸一兩八錢。各該幾何？”“假令八人鼠尾分銀七兩二錢，欲令下五人得上三人七分之五。問：各該幾何？”(29)王文素著、劉五然等校注：《算學寶鑒校注》，第9、291、282、284-285、289頁。等等。從這些算例的解答中，就可以看出“鼠尾”一詞本身包含著比例系數(shù)呈“遞差”變化的意思。

王文素在“鼠尾差分”部分認為《九章算術》的“衰分”第一問的計算方法(也就是設定的分配比例構成了公差為1的等差數(shù)列)過于簡單，無法處理復雜的問題，他說：“假令萬人均錢，豈可以首出尾之萬倍哉！”故此設計出新的方法，“庶補衰分之萬一”。他在“雙鼠尾差分”部分批評《九章算術》“求衰之法未通”，“遇此人數(shù)差一分、物數(shù)相等者可矣，或人數(shù)差多分、物不等者不能求之”(30)王文素著、劉五然等校注：《算學寶鑒校注》，第288頁。。

所以，“鼠尾”是一種特殊的“衰分”計算方法，分配比例構成等差數(shù)列，符合an=a1+(n-1)×d，其中an即“衰”，d就是遞差之數(shù)。而且，從《算學寶鑒》午本提要“鼠尾使富貧不怨”(31)王文素著、劉五然等校注：《算學寶鑒校注》，第11頁。可以知道，這一算法大概是與賦役均平目標相關。

由以上分析以及對照“衰分”的定義可知：“鼠尾”的含義即為an，an-1，…，a2，a1，n為項數(shù)，總和為Sn，公差為d的等差數(shù)列。易見若只給出n和Sn，則各項數(shù)的解并不唯一。這一點王文素在“五人鼠尾遞差均錢六百文”的例子中也有提及，在原有的(200，160，120，80，40)的古人解之外，他又另外給出了(144，132，120，108，96)、(140，130，120，110，100)、(150，135，120，105，90)三組解，指出“解曰：前一答述古所云，后三答是愚所續(xù)。嘗論此術，題內(nèi)若無定則拘之，只云遞差在，豈止四答而已”。

書中有大量與“鼠尾”有關的例子，其中“口訣”即為運算方法，“問”即為例子。鼠尾差分來自該書第二十三卷，其中共包含鼠尾差分七口訣(32)即首尾求衰口訣、鼠尾求差求積求人總訣、首尾差求首尾口訣、首尾互求、差求首尾、首尾求差(兩首)。二十一問，雙鼠尾差分二口訣(雙鼠尾差分求衰口訣、雙分口訣)四問。王文素的歌訣中有關級數(shù)的校驗過程，可詳見潘麗紅、潘有發(fā)之文(33)潘紅麗、潘有發(fā)：《王文素的級數(shù)論》，李迪主編：《數(shù)學史研究》第7輯，呼和浩特：內(nèi)蒙古大學出版社、臺北：九章出版社，2001年，第59頁。，因本文篇幅和主題所限，不再贅錄推證過程。該文驗證了《算學寶鑒》中相關章節(jié)的口訣均正確。如“鼠尾求差求積求人總訣”為：

首尾差求次遞差，總人去一便除他。(1)

尾頭差要求人數(shù)，次遞差除一個加。(2)

首尾并乘求總積，總人乘折見根芽。(3)

算中多用斯三者，法理通玄實可夸。(34)王文素著、劉五然等校注：《算學寶鑒校注》，第282頁。

此外，在具體在算法方面，有以下解釋：如“比證新題”中，假令八人鼠尾分銀七兩二錢，欲令下五人得上三人七分之五。問：各該幾何？甲一兩六錢，乙一兩四錢，丙一兩二錢，丁一兩，戊八錢，己六錢，庚四錢，辛二錢。有關此例有以下兩點說明：

其一，“鼠尾分銀”也如上所述，為“鼠尾”+“分”的形式，說明這里動詞“分”是按照“從大到小排序，且依等差數(shù)列減少”。從王文素的算例解答可以看出，這樣的排序方法為(以兩為單位)：1.6、1.4、1.2、1、0.8、0.6、 0.4、0.2。這里在鼠尾排序后，自然生成了“上”“下”的大小關系，“上三人”指甲、乙、丙，之和為4.2，“下五人”指丁、戊、己、庚、辛，之和為3，而3÷4.2=5/7符合題意?？梢娛笪驳呐判蛞?guī)則為上大下小，并且解是唯一的。

其二，在該類算法的求解過程中，存在所謂“雙鼠尾”的情形，意為分左右兩列進行排序(“雙雙鼠尾遞差均”)：

千字文鼠尾均銀一千兩，欲令下六百字出上四百字七十七分之四十八。問：上四百首尾二字并下六百首尾二字各該幾何？答曰：天字一兩八錢九分九厘一毫，移字一兩一錢八分零九毫，堅字一兩一錢七分九厘一毫，也字一錢零九毫。(35)王文素著、劉五然等校注：《算學寶鑒校注》，第290頁。

原稿中術文算法比較煩瑣，并列出了“求衰法”和“雙分法”兩種解法，結果完全相同?？梢姟笆笪簿y”本身就是屬于傳統(tǒng)古算中“衰分”算法的一種，只是后者比前者簡捷。對此王文素認為“觀此二法，雙分為簡，立衰為繁。亦不可不傳，茍或不傳，則無以見求衰之妙。故并存之，以曉初學”。雙分口訣如下：“雙分鼠尾遞差均，各另除銀寄位存。以少減多余剩數(shù)，總人除出半差真。上人去一相乘了，并上除銀是甲銀。全差減甲余為乙，遞減全差往下尋?！?36)王文素著、劉五然等校注：《算學寶鑒校注》，第288頁。

根據(jù)原稿算法排列格式，因排版原因，我們梳理簡化其計算過程如圖1所示：

圖1 《算學寶鑒》千字文鼠尾均銀計算簡圖

按照口訣術文所示，其中“天”“移”“堅”“也”均為千字文排序字碼。計算公式如下(具體推導參見前述潘紅麗、潘有發(fā)之文)：

四、從“鼠尾”到“均平”：分配系數(shù)與相對公平的實現(xiàn)

明代的算書中，出現(xiàn)了直接以“均平”為名的問題，通過衰分法來解決。筆者管見所及，在明代以前的算書中，尚未發(fā)現(xiàn)有以“均平”來命名一類應用問題的，而在明末清初之后，“均平”被作為一類問題普遍收入算書之中。這或許與賦役改革中攤派計算的擴大引起新的計算需求有關。

這一詞語首先出現(xiàn)在萬歷二十年(1592年)程大位的《算法統(tǒng)宗》中。該書卷五《衰分章》開篇解釋說：“衰者，等也。物之混者，求其等而分之，以物之多寡，求之出稅；以人戶之等第，求之差徭；以物價求貴賤高低者也?！?37)程大位著、梅榮照、李兆華校釋：《算法統(tǒng)宗校釋》，合肥：安徽教育出版社，1990年，第371頁。要把混雜在一起的人戶劃分等次，課征不同的差役。而衰分計算的目的，如緊接著說明計算方法的《衰分歌》末句所言，“以乘各數(shù)自均平”，在于實現(xiàn)“均平”。

隨著賦役定額化的發(fā)展，攤派計算更加普遍，成為基層賦役計算的必要技術。《衰分章》有如下例題：“今有官米七十三石二斗，令三等人戶出之。上等二十五戶，每戶五分，中等四十戶，每戶三分，下等六十戶，每戶一分，問各等戶米若干?！边@顯然是一個在里甲范圍內(nèi)，對稅糧負擔進行攤派計算的場景。例題“今有官田一頃三十八畝，每畝科正米二斗。今要七分本色，三分折納細絲。每米一石，折絲一斤。問各納若干”，則體現(xiàn)了田賦不同征納物之間的比例劃分。而且攤派計算不局限于田賦領域。在“三七差分”下的另一個例題更是明確落實在徽州地方場景上：“今有金三千兩，令休績二縣金行鋪戶三七上納，問各該若干?！?38)程大位著、梅榮照、李兆華校釋：《算法統(tǒng)宗校釋》，第377、379、387頁。

此外，衰分計算此時在賦役運作上還有了新的用武之地。到萬歷中期，各項賦役已經(jīng)普遍折銀征收，但是解納時不少項目仍須納實物，于是地方官府需要用征來的銀子買本色上納。(39)申斌：《清初田賦科則中本色米復歸的新解釋——兼論明清賦役全書性質(zhì)的轉變》，《中國經(jīng)濟史研究》2019年第1期。在“總收分解”的制度下，不同稅目折銀后統(tǒng)一征收，購買時卻需要分別支付。由于物價變動等諸多原因，購買解納實物所需價銀和賬面上這些物品的折銀額并不一致，于是需要根據(jù)所征總銀額和不同物品的時價，以及所需解納物品的數(shù)量要求，來計算購買經(jīng)費的分配方案?！端シ终隆返牡谝粋€例題就與此有關：“今有銀一千二百兩，買綾絹，議要絹一停，綾一停，其綾每匹價三兩六錢，絹每匹價二兩四錢。問二色并價各若干?！薄顿F賤差分歌》解決的也是知道甲、乙的單價，知道共價買共物若干，求甲乙各幾何的問題。《算法統(tǒng)宗》卷九《均輸》，更是明確地把用衰分法來解決的此類問題稱作“均平”問題。是章卷首解題“均輸”說“均平也，輸送也。此章以戶數(shù)多寡、道里遠近而求車數(shù)粟數(shù)，以粟數(shù)高下而求僦直，以錢數(shù)多少而求而傭錢”。其方法是根據(jù)題目條件，求得定率，然后施以衰分術。(40)程大位著、梅榮照、李兆華校釋：《算法統(tǒng)宗校釋》，第372、643、665頁。該卷第一道例題為“今有銀二十二兩八錢買黃白蠟，各要均平。其黃蠟每三斤價銀四錢，白蠟每斤價銀五錢。問黃白蠟各若干”。萬歷四十一年(1613年)譯成的《同文算指》也收錄此問題：

問以銀二十二兩八錢買黃白蠟均平。其黃蠟每三斤價四錢，白蠟每一斤價五錢。二色之價名若于此，以兩母子互乘(三五一十五，一一四如四)，并得一十九為首，率兩毋相乘為次率，總銀為三率，求得二色各斤數(shù)。

一、一兩九錢；二、三斤；三、二十二兩八錢；四、三十六斤(以乘白蠟得一十八兩，以乘黃蠟，三除之得四兩八錢)。(41)李之藻撰：《同文算指通編》卷1，清道光二十五年至咸豐元年番禺潘氏刻光緒十一年增刻匯印海山仙館叢書本，第36-37頁。

此類算題，在之前的古算書中出現(xiàn)過，但多為“均分”項，并無明確的“均平”一詞概念的出現(xiàn)。按字面理解，實際均平可能是按“銀”均平，也可能是按“物”均平。該算題實質(zhì)是將銀通過本色物料單價，直接轉化為求本色物料的重量平均，即“均平”的意思并非按銀價平分，而是按“物”。

此類計算相當于涉及物料加權分配，即征本色黃蠟重X1斤，本色白蠟重X2斤，

由于“物料”均平，則X1=X2，解之得X1=X2=36?？梢娛且?6斤重量均分本色黃蠟白蠟，使總價為22.8兩。

此類的“均平”也并非僅指兩兩平均，《同文算指》也列舉了三種類型的物料均平計算例子：

問官銀一萬七百七十八兩六錢五厘，糴米、麥、豆三色均平。其每一石價米二兩三錢五分，麥一兩九錢五分，豆一兩四錢五分，各價幾何？各石幾何？

并三價共五兩七錢五分為法，置第一率。總銀為第二率。列三色每石價為第三率。推得第四率。是各價數(shù)、其各石數(shù)以法徑除總銀，即得：

一、五兩七錢五分；二、一萬零七百七十八兩六錢〇五厘；三、二兩三錢五分、一兩九錢五分、一兩四錢五分；四、四千四百〇五兩、三千六百五十五兩、二千七百一十八[兩](42)按原式計算后米麥豆三者分配兩分別為4 405.187兩,3 655.368兩和2 718.094兩，原文省略了兩以下小數(shù)。。一錢六分九厘(米)，三錢五分三厘(麥)，兩〇八分三厘(豆)。三色共一千八百七十四石五斗四升。(43)李之藻撰：《同文算指通編》卷3，第9-11頁。

設米X1石，麥X2石，豆X3石，按題意有：

由于三者物料均平，則X1=X2=X3，解之即得X1=X2=X3=1 874.54石(44)原式計算結果為1 874.547826石，按原文省略升以后小數(shù)。。其中計算原理即以2.35、1.95、1.45每石價銀求和為5.75兩每石作除數(shù)，來除總官銀數(shù)目。計算過程中出現(xiàn)的第一率、第二率、第三率、第四率即術文中提到的“一、二、三、四”后的數(shù)字。

入清以后，這一類算法也見于算書例題。如清初《新纂簡捷易明算法》中有以下例題：

假如有銀六十兩，賈黃白蠟各要均平，其黃蠟每三斤價銀四錢，白蠟每六斤價銀一兩六錢，問黃白蠟并價各該若干？

答曰：各該一百五十斤。(黃、白)蠟價銀(二十兩、四十兩)。法將黃蠟三斤為法，以價四錢為實歸之，得每斤價銀一錢二分三厘三毫三絲三忽三微三塵三渺三漠三埃三纖三沙，又將白蠟六斤為法，以價一兩六錢為實歸之，得每斤價銀兩錢六分六厘六毫六絲六忽六微六塵六渺六漠六埃六纖六沙，二共并得四錢為法，以總銀六十兩為實歸之，各得各該一百五十斤，各以價銀乘之，得數(shù)合問。(45)沈士桂：《新纂簡捷易明算法》卷3，清刻本，第33-34頁。

此類計算相當于涉及物料加權分配，即征本色黃蠟重X1斤，本色白蠟重X2斤，

由于“物料”均平，則X1=X2，解之得X1=X2=150斤。

可見計算均平時，所需參數(shù)僅需總共分配本色重量以及各色物料之單價即足夠，計算過程并不復雜。這些主要劃歸禮部的本、折色藥材，在各項名目下種類繁多。物料的均平分配計算有利于在保證總分配銀兩額定的情況下，根據(jù)權重不同，分配物料稱重相等或為整數(shù)，這樣可能便于實物征收時的核對和統(tǒng)計。

五、民間賦稅分擔中的算學知識運用

按比例分配如果是一種合理的“均平”方案，那么其使用范圍也就自然不局限于官府的制度設計，也會體現(xiàn)于民間實踐當中?！端銓W寶鑒》“攢納差分”就留下了一個例子，這可以認為是在已知“衰”的情況下，計算實際分配數(shù)值?！皵€納差分置正糧，并之為法寄于傍。攢糧另并觀多少，多則開除少并詳。各與正糧乘作實，正糧總數(shù)法除強。除來各與攢糧較，誰少誰多見短長。”(46)王文素著、劉五然等校注：《算學寶鑒校注》，第297頁。文中有四類計算題目，并配有具體解法，筆者將如下例題匯入表1(見下頁)中，單位全部按照“斗—升—合”十進制單位換算成阿拉伯小數(shù)，以便簡化條件和問題的數(shù)據(jù)，參見“1.適足題”正文如下：

適足題：甲該正糧一石五斗，原攢一石八斗；乙該正糧九斗，原攢一石一斗；丙該正糧六斗，原攢七斗?；爝\赴倉，交納適足。問：三人孰多孰少？答曰：甲適足，丙貼乙二升。(47)王文素著、劉五然等校注：《算學寶鑒校注》，第297-298頁。

四類題目如下頁表1所示。明代賦稅史料中常見的“正糧”與實際納糧戶的負擔不同，它是一個法定應繳稅額，為實際稅負的攤派基準，據(jù)此可計算出按比例分配的比率。(48)申斌：《明代地方官府賦役核算體系的早期發(fā)展》，《中國經(jīng)濟史研究》2020年第1期。上面例題中的“正糧”正是扮演這種角色。

同一倉口的糧額由幾個納糧戶共同來繳納，上述例題中，三戶正糧總額均為3石，三戶攢糧(湊集的糧食)總額均為3.6石。再結合“適足”“余?！薄安蛔恪钡谋硎?，三題中向各倉納糧實際所需糧額分別為3.6石、3.4石、3.74石，均超過正糧額。這一情況可能是附加性征收造成的，也可能是運輸中的損耗和上納中應對各種盤剝造成的。總之，這些數(shù)額才是對糧戶而言的真實稅負支出。而且這一真實負擔支出，在完成繳納之前往往是不確定的，所以我們才會看到三戶各自湊集糧食，一起混運上倉完納后，出現(xiàn)既可能有余剩，也可能不足的情形。由于實際總支出不確定，那么三戶為了完成這次繳納任務究竟需要準備多少糧食也就無法事前預知，所謂“攢糧”只是各戶預先湊集準備的糧食。只有等完成繳納后才能根據(jù)實際支出總額，來詳細計算各自應該負擔的支出。這些例題所展示的正是完納稅糧后，納糧戶之間計算各自應負擔支出及彼此債務關系的過程。

那么如何在承擔同一倉口繳納任務的三戶間分配實際稅負？解決方案就是依照三戶各自正糧額比例分攤。如適足題中，按照“正糧”比例，三人所湊總額雖與實際總支出相符，但按照正糧比例，乙應分攤出辦1.08石，而攢糧時多出0.02石，丙則比應分攤出辦的0.72石少出0.02 石，故此形成了需要“丙貼乙兩升”的債務關系。余剩題、不足題處理的則分別是事前湊集(攢糧)總額多于、少于實際支出情況下，各自取回、添補數(shù)額的劃分問題。這一例題說明了在民間賦稅分擔實踐中，不但同樣貫徹了以各戶稅糧額為基準、按照比例分配稅負的“均平”原則，而且靈活運用了“求衰”相關的算學知識。

表1 《算學寶鑒》“攢納差分”分類例題

結 語

本文以“均平”為切入點，透視傳統(tǒng)中國賦役運轉領域的理念、制度與技術，闡發(fā)其內(nèi)在關聯(lián)和一致性，開拓中國古代制度史研究的一個新路徑。以差等為前提的“均平”觀念，作為中國本土的公平價值和正義觀，體現(xiàn)在土地、賦役等經(jīng)濟分配和財政汲取制度各個環(huán)節(jié)。古算書中賦役相關的算例揭示了概念雖有“衰分”“鼠尾”“均平”等多種表述，但其實質(zhì)內(nèi)涵都是依照不同的比例系數(shù)(權重)分配財、物、役、錢，體現(xiàn)了均平合理性觀念。如果說純粹的國家或儒家理念只能依靠教化來推行，那么滲透于算學這類技術性知識中的理念因素，則隨著實踐性知識而被民間廣泛采用，潤物細無聲地沉淀到民眾的頭腦中，形塑著對“平等”的文化認知。從社會性技術的層面來解讀中國傳統(tǒng)文化理念，當是制度史和思想文化史交融共進的重要理路。