基于演繹推理的一個數(shù)除以分數(shù)學(xué)習(xí)路徑研究*

□ 張 希 張 丹 邵漢民 鞏子坤

一、引言

本文在前文研究“分數(shù)除以整數(shù)”［1］學(xué)習(xí)路徑的基礎(chǔ)上，繼續(xù)以學(xué)習(xí)路徑為工具，探索一條基于演繹推理的“一個數(shù)除以分數(shù)”的學(xué)習(xí)路徑。

主要探究以下問題：（1）基于演繹推理的一個數(shù)除以分數(shù)的學(xué)習(xí)路徑是什么？（2）基于演繹推理的一個數(shù)除以分數(shù)的學(xué)習(xí)路徑可行嗎？

二、研究設(shè)計

（一）研究步驟

在蕭山區(qū)XH 小學(xué)的甲、乙兩個班繼續(xù)開展研究，研究對象與研究流程同前文。

（二）問卷設(shè)計

實驗班后測例題如下：

對照班后測例題如下：

測試后對問卷進行賦分，計算正確得1 分，說理正確得3分，滿分4分。

三、研究結(jié)果與分析

（一）一個數(shù)除以分數(shù)的學(xué)習(xí)路徑：初構(gòu)

1.路徑呈現(xiàn)

基于我們的研究［2］與上一篇文章的內(nèi)容，初構(gòu)了學(xué)習(xí)路徑B1（如圖1）。

圖1 初構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑B1

任務(wù)一借助直觀表征“畫一畫”即可說明算理。

任務(wù)二中直觀表征難度增加，由此回顧形式表征“推一推”。此時，通過“設(shè)、化、消、傳”等方式幫助學(xué)生鞏固“推一推”，同時讓學(xué)生感悟：當(dāng)表征一個數(shù)除以分數(shù)的算理時，直觀表征會隨著任務(wù)難度的提高而變得越來越復(fù)雜，但形式表征無論難度高低均能適用。

任務(wù)三完全符號化，將具體的數(shù)字轉(zhuǎn)化為字母，化“舉例”為“一般”，形式表征的優(yōu)勢得以顯現(xiàn)。

本節(jié)課的目標(biāo)是：感悟符號的一般性、算理與算法的一致性；探究算理，經(jīng)歷演繹推理的過程。上節(jié)課，學(xué)生不熟悉演繹推理，所以由老師帶領(lǐng)學(xué)生探究算理。本節(jié)課的演繹推理本質(zhì)上與上節(jié)課是一致的，故重點落實于“放手讓學(xué)生探究算理”。下文將借助部分教學(xué)片段，說明如何落實以上目標(biāo)，其中T是授課教師，S是學(xué)生。

S：我先將算式的答案設(shè)為“？”，根據(jù)除法是乘法的逆運算，將分數(shù)除法轉(zhuǎn)化為分數(shù)乘法；根據(jù)等式的基本性質(zhì)，將等式左邊“？”的系數(shù)消去；最后，根據(jù)等式的傳遞性，得到（ 如圖2）。

圖2 任務(wù)三板書

T：由此我們可以得到什么結(jié)論？

S：除以一個不為0 的數(shù)等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)。

2.存在問題與改進建議

隨著分數(shù)除法越來越復(fù)雜，研究團隊開始思考：能否使“推一推”更一般化？如何進一步提升第二節(jié)課的思維高度？“顛倒相乘”僅僅適用于分數(shù)除法嗎？能否將“推一推”運用于所有除法？

為解決上述困惑，增加任務(wù)四：玻璃杯的容量是bL。現(xiàn)有aL 牛奶，可以裝入多少玻璃杯？實際上，“顛倒相乘”不僅僅適用于分數(shù)除法，還適用于小數(shù)除法、整數(shù)除法等有理數(shù)除法，且都能通過“推一推”來證明。所以，不妨在課堂上“一推到底”，將分數(shù)除法課上成一堂涵蓋所有有理數(shù)除法的算理課。

任務(wù)四只有兩個字母a、b，可以表示任意有理數(shù)，相對具體數(shù)值，更清晰、更具普適性，學(xué)生也更易理解。學(xué)生在解決任務(wù)四的過程中，感悟到：分數(shù)除法與整數(shù)除法、小數(shù)除法不僅算理是一致的，算法也是貫通的。

（二）一個數(shù)除以分數(shù)的學(xué)習(xí)路徑：優(yōu)化

1.路徑呈現(xiàn)

相比于初構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑B1，優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑B2（如圖3）新增了任務(wù)四，這也是整節(jié)課的難點：從分數(shù)除法過渡至有理數(shù)除法，實現(xiàn)算理貫通。教學(xué)實錄如下。

圖3 優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑B2

T：回顧兩節(jié)數(shù)學(xué)課，大家認為可以給這兩節(jié)課取什么標(biāo)題？

S：分數(shù)除法，分數(shù)除以分數(shù)，除法……

多媒體作為一種綜合性較強的教學(xué)媒體，它不僅可以提供視覺信息，還可以傳遞聽覺信息。所以，在大學(xué)普通化學(xué)教學(xué)中應(yīng)用多媒體進行輔助教學(xué)，不僅可以使原本枯燥乏味的化學(xué)課堂變得更加生動有趣，還能使原本喪失化學(xué)學(xué)習(xí)興趣的學(xué)生變得更加積極主動?？梢?，詳細研究多媒體輔助教學(xué)與大學(xué)普通化學(xué)教學(xué)改革是很有必要的，它在一定程度上能提高教學(xué)的質(zhì)量與效率。

T：有的同學(xué)說是除法，那么老師寫一個除法算式9÷4。這個算式和我們推過的算式不一樣，那么“顛倒相乘”還適用嗎？（學(xué)生產(chǎn)生意見分歧）誰能到黑板上來推一推？

圖4 學(xué)生板書

S：分數(shù)除法“顛倒相乘”也適用于整數(shù)除法。

T：那么，小數(shù)除法0.4÷2適用嗎？

S：也可以！

T：現(xiàn)在能給這兩節(jié)課取一個標(biāo)題了嗎？

上述教學(xué)片段使學(xué)生加深了對除法的認識，踐行了“算理貫通、算法統(tǒng)整”的理念。本節(jié)課將“推一推”進行到底，滲透“寓演于算”的思想，幫助學(xué)生厘清除法的本質(zhì)。

將除法算理聚焦于a÷b，不僅使教學(xué)更簡潔，內(nèi)容更簡約，也使學(xué)習(xí)更簡便：學(xué)生可以通過一個算理統(tǒng)整除法運算，降低了認知難度，減少了認知負荷。分數(shù)除法的學(xué)習(xí)不再是一個機械記憶法則的過程，不再是一個知其然而難知其所以然的過程，漸漸成為了一個培養(yǎng)演繹推理能力的過程，進而達到算理貫通、理法互融。

2.教學(xué)效果

對甲、乙兩個班學(xué)生的后測平均分進行獨立樣本t檢驗，結(jié)果顯示，甲、乙兩個班的得分（t=1.796，P＜0.05）存在顯著性差異。這說明優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑B2得到了改進。

為進一步了解優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑B2 的教學(xué)效果，對學(xué)生進行訪談，訪談中發(fā)現(xiàn)：幾乎所有學(xué)生都能理解為何要進行推理以及“推一推”中每一步的目的和原理；超過半數(shù)的學(xué)生能感悟推理的優(yōu)越性、字母的一般性。這樣的掌握程度正是研究設(shè)計之初所期望達到的效果，說明基于演繹推理的分數(shù)除法學(xué)習(xí)路徑是行之有效的。

（三）學(xué)習(xí)路徑的整體效果

1.實驗班、對照班后測數(shù)據(jù)分析

對“實驗班”“對照班”學(xué)生的后測平均分進行獨立樣本t檢驗，結(jié)果顯示，對照班、實驗班的得分（t=2.734，P＜0.05）存在顯著性差異。綜上所述，與教材中的學(xué)習(xí)路徑相比，本研究設(shè)計的學(xué)習(xí)路徑更利于學(xué)生理解一個數(shù)除以分數(shù)的算理。

2.實驗班延遲后測數(shù)據(jù)分析

延遲后測數(shù)據(jù)表明，相比即時后測，甲班的延遲后測得分率降低了44.27%，乙班降低了15.87%；且乙班的延遲后測得分明顯高于甲班，相差39.08%。這說明乙班的教學(xué)效果更持久，學(xué)生的遺忘率有效降低，即優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑B2 更具有延遲效應(yīng)和可行性。

四、分析與討論

（一）基于演繹推理的分數(shù)除法學(xué)習(xí)路徑具有可行性

教學(xué)實驗發(fā)現(xiàn)，相對于對照班的學(xué)生，實驗班的學(xué)生很好地掌握了分數(shù)除法的算理，說明該路徑具有可行性。實驗取得良好的結(jié)果，有以下兩點原因［3］：第一，六年級學(xué)生已經(jīng)具備推演分數(shù)除法的前提知識。第二，演繹推理具有簡潔性?？s短了教學(xué)課時，減少了不必要的練習(xí)；同時也表現(xiàn)在學(xué)習(xí)的簡便上，學(xué)生通過一個算理、一個算法統(tǒng)整了有理數(shù)除法，降低了認知困難，減少了認知負荷。

（二）學(xué)習(xí)路徑的創(chuàng)新之處

1.凸顯演繹推理的必要性

利用字母引起學(xué)生的認知沖突，遵循“個別舉例—提出假設(shè)—證明假設(shè)”的探究順序，合理引入演繹推理，實現(xiàn)從直觀表征到形式表征的自然過渡。

2.感悟符號的一般性

3.感悟除法運算的一致性

分數(shù)除法不僅與整數(shù)除法、小數(shù)除法的算理是一致的，算法也是貫通的。本學(xué)習(xí)路徑一以貫之地推演除法算理、推導(dǎo)除法算法，滲透“寓演于算”的思想，最終實現(xiàn)貫通算理、統(tǒng)整算法。

（三）構(gòu)想：分數(shù)除法教學(xué)可縮短至一課時

五、結(jié)論與建議

（一）結(jié)論

研究數(shù)據(jù)表明，本研究設(shè)計的學(xué)習(xí)路徑具有可行性。與教材中的學(xué)習(xí)路徑相比，本學(xué)習(xí)路徑更利于學(xué)生理解一個數(shù)除以分數(shù)的算理，并利于實現(xiàn)除法運算算理貫通、算法統(tǒng)整。

（二）建議

教材可以參考我們得到的優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑B2：借助演繹推理，引導(dǎo)學(xué)生理解分數(shù)除法算理；借助簡潔的字母符號，凸顯特殊與一般的關(guān)系；強調(diào)算理的貫通，統(tǒng)整整數(shù)除法、小數(shù)除法和分數(shù)除法的運算。

教師教學(xué)時，由于學(xué)生已熟悉演繹推理的過程，所以本節(jié)課要放手讓學(xué)生探究算理，體驗演繹推理的過程。同時，教師要處理好對演繹推理規(guī)范性的要求：要求學(xué)生掌握基本原理和步驟；明確推理的意圖；提出恰當(dāng)?shù)囊螅瑹o須苛求過程的規(guī)范。