聯(lián)通經(jīng)驗(yàn) 關(guān)注發(fā)展
——對(duì)“用數(shù)對(duì)確定位置”教學(xué)的若干思考

□ 章 穎

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》在“空間與圖形”的第三學(xué)段（5～6年級(jí)）中指出：“能用有序數(shù)對(duì)（限于自然數(shù)）表示點(diǎn)的位置，理解有序數(shù)對(duì)與方格紙上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系?！痹谌粘Ｉ钪写_定位置有多種途徑和方式，而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一般用數(shù)對(duì)來確定位置，那如何讓學(xué)生感受到用數(shù)對(duì)確定位置的必要性和簡(jiǎn)潔性？在日常生活中確定位置往往沒有“原點(diǎn)”的概念，那又如何讓學(xué)生感受到“原點(diǎn)”作為數(shù)對(duì)核心要素之一的必要性？

基于上述思考，以人教版教材五年級(jí)上冊(cè)“用數(shù)對(duì)確定位置”為例，從現(xiàn)實(shí)生活中的情境引出用數(shù)對(duì)確定位置，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)對(duì)與平面上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，初步感知平面直角坐標(biāo)系的表示方法以及思想，初步感受這種表示方法帶來的便利，促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展。

一、通過沖突與碰撞，感受數(shù)對(duì)產(chǎn)生的必要性

如何確定數(shù)對(duì)中兩個(gè)數(shù)的位置，用怎樣的方式描寫數(shù)對(duì)，每個(gè)學(xué)生都有獨(dú)特的理解，教學(xué)時(shí)可以利用學(xué)生的思維碰撞，感受數(shù)對(duì)產(chǎn)生的必要性，減少生活中“先行后列”的方法帶來的負(fù)遷移。

【教學(xué)片段1】

師（出示圖1）：張亮同學(xué)舉手提問，你能幫老師找到他坐在哪里嗎？

圖1

（根據(jù)學(xué)生的回答，教師板書：

師：這么多方法中，你喜歡用哪種方法？請(qǐng)說說理由。

生：我喜歡“→2↑3”，因?yàn)樗芸闯鍪窍葟淖笸覕?shù)，再從前往后數(shù)。

生：我喜歡“3，2”“2，3”，因?yàn)樗鼈兒芊奖?，很?jiǎn)明。

生：我覺得“××的××邊”不好，因?yàn)橛袝r(shí)一個(gè)人的某一邊會(huì)有很多其他同學(xué)。

師：同學(xué)們很會(huì)思考，為了記錄的統(tǒng)一，數(shù)學(xué)上規(guī)定，先豎著看在第幾列，再橫著看在第幾行，記作（2，3）。

學(xué)生通過交流，發(fā)現(xiàn)同一位置有多種表述，如果沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，不利于人們之間的交流，從而感受數(shù)對(duì)產(chǎn)生的必要性及其簡(jiǎn)潔性。

二、通過抽象與對(duì)比，感受確定原點(diǎn)的重要性

“用數(shù)對(duì)確定位置”是用有序數(shù)對(duì)來刻畫二維空間中某一點(diǎn)的位置，即在平面直角坐標(biāo)系中研究點(diǎn)的位置是如何用數(shù)對(duì)來刻畫的。雖然小學(xué)階段所用的是“方格紙”坐標(biāo)系，但它也是真正坐標(biāo)系的雛形。因此它必須要具備坐標(biāo)系的三個(gè)關(guān)鍵要素：原點(diǎn)、方向、單位長(zhǎng)度。在唯一確定的直角坐標(biāo)系中，每個(gè)有序數(shù)對(duì)與平面上的每個(gè)點(diǎn)會(huì)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。在教學(xué)中教師可以創(chuàng)設(shè)直角坐標(biāo)系與實(shí)際情境圖的對(duì)比，讓學(xué)生感受三要素的重要性和便捷性，通過對(duì)比，讓學(xué)生的認(rèn)知水平從原有的一維數(shù)軸拓展到二維平面直角坐標(biāo)系。

【教學(xué)片段2】

師：現(xiàn)在我們把張亮的位置抽象成一個(gè)點(diǎn)，把它標(biāo)記在方格紙中。你覺得它的位置怎樣表示比較合適？

生:（2，3）。

師：2和3分別表示什么意思呢？

生：2 表示從左往右數(shù)第2 列，3 表示從下往上數(shù)第3個(gè)。

師：我們把第一行都放在橫軸上，第一列都放在縱軸上，你能把橫軸和縱軸的數(shù)字補(bǔ)充完整嗎？（根據(jù)學(xué)生的補(bǔ)充將橫軸、縱軸補(bǔ)完整，如圖2）

圖2

師：橫軸和縱軸都是從1開始的。你還記得數(shù)軸是從幾開始計(jì)數(shù)的嗎？

生：從0開始。

師：那橫軸、縱軸是從0 開始計(jì)數(shù)好，還是從1開始計(jì)數(shù)好？

生：我覺得從1 開始就可以，因?yàn)樯钪械淖欢际菑? 開始計(jì)數(shù)的，電影院也是從1 排1 號(hào)開始的。

生：我覺得從0開始計(jì)數(shù)好，因?yàn)槿绻?組1號(hào)向教室門的方向走，那他的位置就是零點(diǎn)幾了，從1開始沒法表示。

生：我覺得也是從0開始計(jì)數(shù)好，和數(shù)軸統(tǒng)一。

生：我也贊同從0 開始計(jì)數(shù)，你看地球儀上有經(jīng)線和緯線，有時(shí)就有零點(diǎn)幾度，如果從1 開始計(jì)數(shù)那就表示不出來了。

師：的確，生活中有很多情況都是從0開始的，比如航海時(shí)的位置、在地圖上確定位置等。教室的座位圖我們也可以從0開始計(jì)數(shù)。如果從0開始計(jì)數(shù)，你覺得哪里代表0比較合適？

生：前門進(jìn)來要空一些位置才開始擺課桌椅，所以0和1之間的距離正好是教室走廊這邊的墻和課桌之間的距離。

師：好，那我們就根據(jù)大家的建議，把這幅圖補(bǔ)充完整。這幅圖現(xiàn)在就和以前學(xué)習(xí)的數(shù)軸統(tǒng)一起來了，我們把橫軸和縱軸的交叉點(diǎn)（0，0）叫作原點(diǎn)（如圖3）。

圖3

在學(xué)生建構(gòu)直角坐標(biāo)系的過程中，自然引出橫軸、縱軸、原點(diǎn)這些基本要素，使學(xué)生在潛移默化中感悟了坐標(biāo)系的思想?！坝脭?shù)對(duì)確定位置”不是單純地在生活中確定位置，而是為認(rèn)識(shí)直角坐標(biāo)系奠定基礎(chǔ)。因此，教師可以舍去用數(shù)對(duì)表示“塊”的內(nèi)容，直接從“情境圖”抽象到“格點(diǎn)圖”，再從“格點(diǎn)圖”抽象到“坐標(biāo)系”。在這一過程中，通過形來研究數(shù)的特點(diǎn)，通過數(shù)來呈現(xiàn)物體的位置，在用方格紙和數(shù)對(duì)表示點(diǎn)的位置這兩種方法之間架起數(shù)與形的橋梁，讓學(xué)生了解數(shù)對(duì)與方格紙上的點(diǎn)存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

三、通過探究與感悟，感受數(shù)形結(jié)合的直觀性

在方格紙中找到數(shù)對(duì)相應(yīng)點(diǎn)的位置，對(duì)學(xué)生來說不難掌握，那么為什么要建立數(shù)對(duì)與方格紙上的點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)呢？其深層次的目的是讓學(xué)生直觀地理解直角坐標(biāo)系，在學(xué)習(xí)有序數(shù)對(duì)的過程中為進(jìn)一步學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系做好鋪墊，為日后研究解析幾何奠定基礎(chǔ)。

【教學(xué)片段3】

教師出示數(shù)對(duì)（6,3）、（5,5）、（3,4）、（1,3）、（3,3）、（3,2）。

師：這里有一些數(shù)對(duì)，你們能很快找出它們的位置嗎？

師：哪些點(diǎn)在同一條直線上呢？

生：我發(fā)現(xiàn)（6,3）、（1,3）、（3,3）都在第3行（如圖4）。

圖4

生：我發(fā)現(xiàn)（3,4）、（3,3）、（3,2）也在同一條直線上，只不過它們都在同一列，它們都在第3列上（如圖5）。

圖5

師：如果連接（5,5）和（3,3）會(huì)得到怎樣的線段？

生：一條斜線（如圖6）。

圖6

師：這條斜線有什么特征？

生：如果延伸的話，這條直線剛好是從原點(diǎn)（0,0）出發(fā)的，而且線上每個(gè)數(shù)對(duì)的兩個(gè)數(shù)字都相等，比如（2,2）、（4，4），等等。

生：我能用一個(gè)數(shù)對(duì)把它們都表示出來，就是（x，x），只要數(shù)對(duì)中的兩個(gè)數(shù)是一樣的，這個(gè)數(shù)對(duì)上的點(diǎn)就一定在這條斜線上。

通過這樣的活動(dòng)，學(xué)生很自然地感受到點(diǎn)的連線是變化多端的，每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)對(duì)，它們之間是一一對(duì)應(yīng)的，同時(shí)通過點(diǎn)所表示的線段，體會(huì)數(shù)對(duì)中行、列的變化與圖形變化之間的緊密聯(lián)系。用有序數(shù)對(duì)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成圖形，其實(shí)質(zhì)是用“數(shù)”來描述“形”，通過“數(shù)”與“數(shù)”之間的連接，畫出各種方向的直線，這充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的直觀性。

四、通過聯(lián)系與對(duì)比，感受直角坐標(biāo)系應(yīng)用的廣泛性

直角坐標(biāo)系在小學(xué)階段應(yīng)用廣泛，如在圖形變換、函數(shù)思想、行程問題等領(lǐng)域經(jīng)常出現(xiàn)。因此，可以在練習(xí)中加入與這些領(lǐng)域有關(guān)聯(lián)的元素，既豐富練習(xí)的形式，又增強(qiáng)練習(xí)的層次，還有助于培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。

【教學(xué)片段4】

教師出示練習(xí)1（如圖7），讓學(xué)生獨(dú)立完成。

圖7

師生校對(duì)第（1）題和第（2）題的答案。

師：誰來說說你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)三角形ABC和三角形HIG的形狀、方向都一樣，只是位置變化了。

生：我發(fā)現(xiàn)三角形ABC和三角形HIG每個(gè)頂點(diǎn)用數(shù)對(duì)表示時(shí)，第1 個(gè)數(shù)發(fā)生了變化，第2 個(gè)數(shù)都一樣。

生：對(duì)的。數(shù)對(duì)中第1個(gè)數(shù)表示的是橫軸上的位置，它變了，表示在橫軸上發(fā)生了移動(dòng)；而第2個(gè)數(shù)表示的是縱軸上的位置，它沒變，說明這個(gè)圖形只是平移了。

師：同學(xué)們真會(huì)觀察，我們發(fā)現(xiàn)把一個(gè)圖形連續(xù)翻轉(zhuǎn)兩次相當(dāng)于把這個(gè)圖形進(jìn)行平移，圖形的大小、形狀都沒有改變，只是位置發(fā)生了改變。

小學(xué)階段圖形變換主要有三種方式：平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱。這三種變換方式之間有著密切的聯(lián)系，將這種聯(lián)系放在直角坐標(biāo)系中就顯得直觀可視。因此，這一環(huán)節(jié)通過先讓學(xué)生畫軸對(duì)稱圖形，再引導(dǎo)他們觀察、思考數(shù)對(duì)的變化，使學(xué)生更容易理解翻轉(zhuǎn)與平移的關(guān)系。

數(shù)對(duì)除了能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形變換之間的關(guān)系，當(dāng)把數(shù)對(duì)放入直角坐標(biāo)系時(shí)，還能幫助學(xué)生直觀形象地了解一些基本的函數(shù)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)函數(shù)中蘊(yùn)藏著的變與不變。

【教學(xué)片段5】

教師出示練習(xí)2（如圖8），讓學(xué)生獨(dú)立完成。

圖8

師生校對(duì)第（1）和第（2）題的答案。

師：誰能來說說第（3）題中○和□有怎樣的關(guān)系？

生：我發(fā)現(xiàn)題目中每個(gè)數(shù)對(duì)的第2個(gè)數(shù)都比第1個(gè)數(shù)大2，也就是□=○+2。

生：我覺得還可以倒過來說，○=□-2。

生：其實(shí)就是這個(gè)點(diǎn)的數(shù)對(duì)，縱軸上的數(shù)比橫軸上的數(shù)大2。

師：看來數(shù)對(duì)還能表示直線上任意一點(diǎn)的變化。

這一環(huán)節(jié)通過逐個(gè)確定點(diǎn)的數(shù)對(duì)，促使學(xué)生在確定數(shù)對(duì)的過程中探索出變量之間的變化規(guī)律，體會(huì)變量中蘊(yùn)藏著的關(guān)系，初步感悟函數(shù)思想。

總之，在教學(xué)過程中，教師自身要深入理解數(shù)對(duì)的本質(zhì)含義，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)對(duì)的變化認(rèn)識(shí)圖形的變化，幫助學(xué)生感悟通過幾何建立直觀表象、通過代數(shù)得到數(shù)學(xué)表達(dá)的過程；引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)對(duì)解決平面直角坐標(biāo)系中的問題，幫助學(xué)生感悟坐標(biāo)系是聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁，理解坐標(biāo)系中的數(shù)對(duì)與平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)對(duì)解決現(xiàn)實(shí)問題，幫助學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合的精妙，提升學(xué)生的空間觀念和幾何直觀。