Kirchhoff 型分?jǐn)?shù)階Hamiltonian 系統(tǒng)基態(tài)解的存在性和集中性

薛婷婷，曹虹，姜永勝，劉元彬

(新疆工程學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830000)

Hamiltonian 系統(tǒng)廣泛存在于數(shù)理科學(xué)，生命科學(xué)以及社會科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，特別是經(jīng)典力學(xué)與天體力學(xué)、等離子物理、航天科學(xué)以及生物工程中的很多模型都以Hamiltonian 系統(tǒng)(或它的擾動(dòng)系統(tǒng))的形式出現(xiàn).近年來，含左右分?jǐn)?shù)階微分算子的方程在反常擴(kuò)散的物理現(xiàn)象中有著廣泛應(yīng)用，例如分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程[1-2].其中，含有左右分?jǐn)?shù)階微分算子的Hamiltonian 系統(tǒng)成為分?jǐn)?shù)階微分方程理論中的一個(gè)新的領(lǐng)域，并取得了一系列解存在的結(jié)果[3-8].例如，Cesar Torres 在文獻(xiàn)[8]中首次研究分?jǐn)?shù)階Hamiltonian 系統(tǒng)

作者通過山路定理，在L(t)是正定且強(qiáng)制的條件下，得到上述系統(tǒng)至少有一個(gè)非平凡解.

Kirchhoff 方程是波動(dòng)方程的擴(kuò)展，該方程最早于1883 年由Kirchhoff[9]在研究彈性弦的自由振動(dòng)時(shí)所提出.Kirchhoff 型微分方程在諸多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，包括非牛頓力學(xué)、宇宙物理學(xué)、彈性理論電磁學(xué)及人口動(dòng)力學(xué)等.近年來，國內(nèi)外眾多學(xué)者開始研究Kirchhoff 型方程問題，但由于Kirchhoff 項(xiàng)是非線性的且分?jǐn)?shù)階微分算子是非局部算子，這給(PS)條件的驗(yàn)證、Nehari 流形和值映射凸性的驗(yàn)證帶來了一定的困難，從而導(dǎo)致Kirchhoff 型分?jǐn)?shù)階微分方程的研究比較復(fù)雜，與該方程有關(guān)的研究工作也不多[10-19].

受以上文獻(xiàn)啟發(fā)，本文研究如下一類Kirchhoff 型分?jǐn)?shù)階Hamiltonian 系統(tǒng)(簡記為KH)

通過構(gòu)造合適的分?jǐn)?shù)階空間，在對稱矩陣L(t)滿足半正定的條件下，給出新的嵌入定理及幾個(gè)重要的不等式，利用臨界點(diǎn)理論，研究上述系統(tǒng)基態(tài)解的存在性和集中性.

1 預(yù)備知識

2 系統(tǒng)(1)基態(tài)解的存在性

注4由于Kirchhoff 項(xiàng)是非線性的，這給PS 條件的驗(yàn)證帶來了一定的困難.此外，當(dāng)a=1，b=0時(shí)，KH(1)退化為文獻(xiàn)[17]所研究的不帶Kirchhoff 項(xiàng)的問題.

3 系統(tǒng)(1)基態(tài)解的集中性