基于模型響應(yīng)功率譜密度預(yù)測的強(qiáng)迫振蕩擾動(dòng)源設(shè)備定位法

欒某德，甘德強(qiáng)，李振垚，許 昊，李尚遠(yuǎn)

（1. 浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，浙江省 杭州市 310027；2. 國家電網(wǎng)有限公司國家電力調(diào)度控制中心，北京市 100031）

0 引言

電力系統(tǒng)強(qiáng)迫振蕩會(huì)造成電力設(shè)備過度使用和疲勞、發(fā)輸電功率受限、電能質(zhì)量下降、設(shè)備故障及損壞等后果，增加系統(tǒng)的運(yùn)行維護(hù)成本；嚴(yán)重時(shí)還會(huì)造成切機(jī)切負(fù)荷、繼電保護(hù)誤動(dòng)作、不受控制的系統(tǒng)解列和大停電等嚴(yán)重后果，甚至在一些極端情況下，還可能造成災(zāi)難性后果。

通常，發(fā)電機(jī)內(nèi)擾動(dòng)源所在控制設(shè)備的定位稱為擾動(dòng)源的設(shè)備級定位，如勵(lì)磁系統(tǒng)（包括勵(lì)磁調(diào)節(jié)器和電力系統(tǒng)穩(wěn)定器等）、原動(dòng)機(jī)系統(tǒng)（包括原動(dòng)機(jī)和調(diào)速器等）。目前，擾動(dòng)源定位研究主要定位到發(fā)電機(jī)，為避免直接切除發(fā)電機(jī)造成功率不平衡并形成新的大擾動(dòng)，精確到設(shè)備級的定位對于精準(zhǔn)地切除擾動(dòng)源更具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

文獻(xiàn)［1-3］將眾多強(qiáng)迫振蕩案例的擾動(dòng)源歸納為同步機(jī)、原動(dòng)機(jī)及其驅(qū)動(dòng)力矩、調(diào)速器、勵(lì)磁調(diào)節(jié)器、電力系統(tǒng)穩(wěn)定器等發(fā)電機(jī)側(cè)設(shè)備，以及負(fù)荷波動(dòng)等產(chǎn)生的周期性擾動(dòng)，并指出發(fā)電機(jī)側(cè)的周期性擾動(dòng)源才是引發(fā)強(qiáng)迫振蕩最主要、后果最嚴(yán)重的擾動(dòng)源來源。擾動(dòng)源定位目前主要有混合動(dòng)態(tài)仿真法［4］、能量函數(shù)法［5-6］、行波法［7］、頻域特性法［3，8-11］、機(jī)器學(xué)習(xí)法［12］等。文獻(xiàn)［4］利用系統(tǒng)模型和測量數(shù)據(jù)，通過混合仿真法，比較由仿真得到的響應(yīng)和實(shí)際響應(yīng)的差別，來定位擾動(dòng)源。文獻(xiàn)［5-6］通過確定能量流的傳播方向?qū)崿F(xiàn)了擾動(dòng)源的定位。文獻(xiàn)［7］把強(qiáng)迫振蕩視為一種行波，利用行波傳播到各發(fā)電機(jī)的先后順序定位擾動(dòng)源。文獻(xiàn)［3，8-11］分析強(qiáng)迫振蕩響應(yīng)的幅頻和相頻特性，利用不同響應(yīng)的頻域關(guān)系來定位擾動(dòng)源。文獻(xiàn)［12］用深度學(xué)習(xí)的方法進(jìn)行擾動(dòng)源的定位。文獻(xiàn)［13］對現(xiàn)有定位方法進(jìn)行了詳細(xì)評述，并且指出目前缺少既有嚴(yán)謹(jǐn)理論基礎(chǔ)，又有實(shí)際可行性和很強(qiáng)適應(yīng)性的定位方法，同時(shí)，擾動(dòng)源設(shè)備的定位問題也需要解決。

本文基于發(fā)電機(jī)“模型響應(yīng)”的定義，推導(dǎo)了發(fā)電機(jī)模型響應(yīng)的關(guān)系式，給出了模型響應(yīng)功率譜密度（power spectral density，PSD）的計(jì)算步驟（即預(yù)測）。模型響應(yīng)是利用發(fā)電機(jī)模型和測量所得的邊界數(shù)據(jù)，在給定假設(shè)條件下構(gòu)造的特征響應(yīng)。通過比較模型響應(yīng)PSD 和實(shí)際PSD 的匹配程度可實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)源的定位。通過不同位置擾動(dòng)源造成的模型響應(yīng)PSD 和實(shí)際PSD 不匹配程度，對擾動(dòng)源進(jìn)行精確的設(shè)備級定位。

1 模型響應(yīng)PSD 預(yù)測與擾動(dòng)源定位

1.1 發(fā)電機(jī)的運(yùn)算電抗和等值電路

計(jì)及發(fā)電機(jī)縱軸和橫軸上的勵(lì)磁繞組、各阻尼繞組、定子等效繞組，得到磁鏈方程為：

式中：s為拉普拉斯算子；ψd和ψq分別為d、q軸定子等效繞組的磁鏈；ψe、ψD、ψQ、ψg分別為轉(zhuǎn)子上的勵(lì)磁繞組、D 阻尼繞組、Q 阻尼繞組、g 阻尼繞組的磁鏈；Id、Iq、Ie、ID、IQ、Ig分 別 為d軸 等 效 繞 組、q軸 等 效 繞組、勵(lì)磁繞組、D 阻尼繞組、Q 阻尼繞組、g 阻尼繞組的電流；Xd和Xq分別為d、q軸同步電抗；Xe、XD、XQ、Xg分別為勵(lì)磁 繞組、D 阻尼繞組、Q 阻尼繞組、g 阻尼繞組的電抗；Xad和Xaq分別為d軸和q軸電樞反應(yīng)電抗。

定子等效繞組的電壓方程表示為：

式中：vd(t)、vq(t)和id(t)、iq(t)分別為d軸、q軸繞組電壓和電流時(shí)域量；ωT(t)為轉(zhuǎn)速時(shí)域量；ra為電樞電阻；φd(t)和φq(t)分別為d軸和q軸磁鏈的時(shí)域量。

定子等效繞組中的電磁動(dòng)態(tài)能快速衰減，故可以忽略定子繞組的變壓器電勢，得到定、轉(zhuǎn)子上繞組的電壓平衡關(guān)系為：

式中：Ve為勵(lì)磁電壓；Vd和Vq分別為d軸等效繞組和q軸等效繞組電壓；ψd0、ψq0、Vd0、Vq0分別為相應(yīng)變量初值，且ψd0=Vq0，ψq0=-Vd0；re、rD、rQ、rg分別為勵(lì)磁繞組、D 阻尼繞組、Q 阻尼繞組、g 阻尼繞組的電阻；ω為轉(zhuǎn)速。

強(qiáng)迫振蕩穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中不含初始項(xiàng)，故式（1）和式（3）中忽略了與初始狀態(tài)量有關(guān)的項(xiàng)。根據(jù)式（1）和式（3），用Id和Ve來表示Ie和ID，并代入式（1）的d軸磁鏈方程中，可得：

式中：Xd(s)為d軸運(yùn)算電抗［14］；Gfd(s)為定子到磁場的傳遞函數(shù)；Xσe、XσD、Xσa分別為勵(lì)磁繞組、D 阻尼繞組、定子繞組的漏抗；Δψd、ΔId、ΔVe分別為相應(yīng)變量的偏差，因?yàn)閺?qiáng)迫振蕩研究時(shí)各變量需用偏差量的形式表示，下同。

類似的，q軸定子繞組磁鏈可表示為：

式中：Xq(s)為q軸運(yùn)算電抗［14］；XσQ和Xσg分別為Q阻尼繞組、g 阻尼繞組的漏抗；Δψq和ΔIq分別為相應(yīng)變量的偏差。

由式（5）和式（8）可見，Xd(s)和Xq(s)可用如圖1 所示等效電路圖來闡釋。

圖1 運(yùn)算電抗的等值電路Fig.1 Equivalent circuits of operational impedances

運(yùn)算電抗根據(jù)發(fā)電機(jī)模型及參數(shù)可以得到，也可以應(yīng)用適當(dāng)?shù)念l率響應(yīng)測試法獲得。根據(jù)運(yùn)算電抗，可以進(jìn)一步定義常用的發(fā)電機(jī)d軸和q軸實(shí)用參數(shù)。例如，d軸同步電抗Xd定義為s→0 時(shí)的Xd(s)，即穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)定子d軸電路呈現(xiàn)的內(nèi)電抗；d軸暫態(tài)電抗X'd定義為D 繞組支路開路（忽略D 繞組）、re=0 時(shí)的Xd(s)；d軸次暫態(tài)電抗定義為rD=0、re=0 時(shí)的Xd(s)；類似的，可以得到q軸實(shí)用參數(shù)。

運(yùn)算電抗的概念將為發(fā)電機(jī)模型響應(yīng)的定義提供理論基礎(chǔ)；在不能直接測量勵(lì)磁電壓時(shí)，間接獲取勵(lì)磁電壓也需要用到運(yùn)算電抗的概念。

1.2 發(fā)電機(jī)模型響應(yīng)

1.2.1 發(fā)電機(jī)模型響應(yīng)的推導(dǎo)

根據(jù)運(yùn)算電抗的概念，可以進(jìn)一步定義發(fā)電機(jī)模型響應(yīng)。將式（3）中的定子電壓寫為增量形式：

式中：Δω、ΔVd、ΔVq分別為相應(yīng)變量的偏差。將式（4）和式（7）代入式（9）可得：

發(fā)電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩偏差ΔTe的拉普拉斯運(yùn)算形式為：

式中：Id0、Iq0、Te0分別為相應(yīng)變量初值。

結(jié)合式（10）和式（11），可以得到：

式中：GTed(s)、GTeq(s)、GTef(s)、GTew(s)為傳遞函數(shù)項(xiàng)，具體表達(dá)式見附錄A。

用Ggov來描述原動(dòng)機(jī)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，調(diào)速器反饋信號(hào)為轉(zhuǎn)速；用Gavr(s)和Gpss(s)分別表示勵(lì)磁調(diào)節(jié)器和電力系統(tǒng)穩(wěn)定器傳遞函數(shù)，電力系統(tǒng)穩(wěn)定器的反饋信號(hào)為轉(zhuǎn)速。假設(shè)原動(dòng)機(jī)輸出的機(jī)械轉(zhuǎn)矩和勵(lì)磁機(jī)輸出的勵(lì)磁電壓中分別存在周期性擾動(dòng)fM和fE，此時(shí)機(jī)械轉(zhuǎn)矩偏差ΔTm和勵(lì)磁電壓偏差ΔVe可以分別描述為：

式中：Pt0和Vt0分別為機(jī)械功率、機(jī)端電壓的初值。

將式（12）至式（14）代入發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程式（15）中，獲得轉(zhuǎn)子角偏差Δδ的表達(dá)式為：

式 中：Hj為發(fā)電機(jī)慣性時(shí)間常數(shù)；Gwd(s)、Gwq(s)、Gfm(s)、Gfe(s)為傳遞函數(shù)項(xiàng)，具體表達(dá)式見附錄A。

由于vd(t)和vq(t)與發(fā)電機(jī)端電壓的幅值和相角有如下關(guān)系：

式中：vt(t)和Θt(t)分別為發(fā)電機(jī)端電壓的幅值和相角時(shí)域量；σ(t)為轉(zhuǎn)子角時(shí)域量。

結(jié)合式（16）和式（17），可得轉(zhuǎn)子角偏差Δδ的表達(dá)式為：

式中：ΔVt和Δθt分別為發(fā)電機(jī)端電壓的幅值和相角的偏差；GdV(s)、Gdθ(s)、Gdm(s)、Gde(s)為傳遞函數(shù)項(xiàng)，具體表達(dá)式見附錄A。

根據(jù)式（18）可得Δω(s)=sΔδ(s)，代入式（14），可得ΔVe的表達(dá)式為：

式 中：GEV(s)、GEθ(s)、GEm(s)、GEe(s)為 傳 遞 函 數(shù)項(xiàng)，具體表達(dá)式見附錄A。

若調(diào)速器和電力系統(tǒng)穩(wěn)定器采用其他信號(hào)作為反饋信號(hào)，推導(dǎo)類似。將式（18）和式（19）中轉(zhuǎn)子角、勵(lì)磁電壓含fM和fE的項(xiàng)稱為強(qiáng)迫項(xiàng)，含電壓分量的項(xiàng)稱為因變項(xiàng)。只有包含周期性擾動(dòng)的Δδ和ΔVe中才會(huì)含fM和fE項(xiàng)，代表由發(fā)電機(jī)2 類不同控制系統(tǒng)產(chǎn)生的周期性擾動(dòng)源。擾動(dòng)源發(fā)電機(jī)響應(yīng)中顯性存在周期性擾動(dòng)相關(guān)的強(qiáng)迫項(xiàng)；而發(fā)電機(jī)不是擾動(dòng)源時(shí)，內(nèi)部不存在擾動(dòng)源fM和fE，故響應(yīng)中不再顯性含有強(qiáng)迫項(xiàng)。強(qiáng)迫項(xiàng)和因變項(xiàng)的分類，在將發(fā)電機(jī)強(qiáng)迫振蕩歸因于內(nèi)部擾動(dòng)源和外部電網(wǎng)影響的歸類中，具有關(guān)鍵作用。

如果發(fā)電機(jī)系統(tǒng)內(nèi)不含有周期性擾動(dòng)，則可以將其轉(zhuǎn)子角偏差和勵(lì)磁電壓偏差分別描述為：

式中：Δδm和ΔVm分別為轉(zhuǎn)子角偏差和勵(lì)磁電壓偏差的模型響應(yīng)。

電壓及其分量即為發(fā)電機(jī)的邊界數(shù)據(jù)。本文將式（20）和式（21）給出的轉(zhuǎn)子角和勵(lì)磁電壓關(guān)于電壓分量（幅值和相角）的關(guān)系式稱為轉(zhuǎn)子角和勵(lì)磁電壓的模型響應(yīng)。模型響應(yīng)表示發(fā)電機(jī)所接入的電網(wǎng)振蕩導(dǎo)致的發(fā)電機(jī)響應(yīng)因變項(xiàng)，是不含周期性擾動(dòng)的機(jī)組根據(jù)數(shù)學(xué)模型就可以確定的響應(yīng)部分。若忽略發(fā)電機(jī)的非線性特性，則不含周期性擾動(dòng)的發(fā)電機(jī)模型響應(yīng)和實(shí)際信號(hào)是相等的；而擾動(dòng)源機(jī)組含有的強(qiáng)迫項(xiàng)，會(huì)導(dǎo)致其模型響應(yīng)和實(shí)際情況不再一致。本文計(jì)算發(fā)電機(jī)響應(yīng)的PSD 來比較模型響應(yīng)和實(shí)際信號(hào)是否吻合。

1.2.2 模型響應(yīng)的狀態(tài)空間計(jì)算法

針對某臺(tái)發(fā)電機(jī)及其控制單元，對其進(jìn)行線性化，可獲得狀態(tài)空間方程為：

式中：xe為狀態(tài)向量；Ae0為系統(tǒng)矩陣；Bdq和Bme為輸入矩陣；FM(t)和FE(t)分別為原動(dòng)機(jī)輸出的機(jī)械轉(zhuǎn)矩和勵(lì)磁機(jī)輸出的勵(lì)磁電壓中分別存在的周期性擾動(dòng)時(shí)域量。

通過式（17）中不同坐標(biāo)系下電壓分量關(guān)系，可以將式（22）表示為：

式 中：Ae為系統(tǒng)矩陣；BVt為輸入矩陣；C為輸出矩陣；ve(t)為勵(lì)磁電壓時(shí)域量。

對式（23）和式（24）進(jìn)行拉普拉斯變換，可得：式（22）用發(fā)電機(jī)電流d軸分量和q軸分量時(shí)域量id(t)、iq(t)描述，類似的，可獲得采用機(jī)端電流幅值時(shí)域量it(t)和相角時(shí)域量βt(t)表示的模型響應(yīng)。

1.3 發(fā)電機(jī)模型響應(yīng)的PSD 預(yù)測

式（18）和式（19）的發(fā)電機(jī)響應(yīng)表明，擾動(dòng)源發(fā)電機(jī)響應(yīng)中除包含模型響應(yīng)外，還含有強(qiáng)迫項(xiàng)，因此，模型響應(yīng)和實(shí)際信號(hào)不相等，但非擾動(dòng)源發(fā)電機(jī)響應(yīng)中不含強(qiáng)迫項(xiàng)，故模型響應(yīng)與實(shí)際信號(hào)相等，從而可以將判斷發(fā)電機(jī)內(nèi)是否含有擾動(dòng)源的問題轉(zhuǎn)換為衡量模型響應(yīng)和實(shí)際信號(hào)是否相等。本文通過計(jì)算信號(hào)的PSD，然后根據(jù)頻域的PSD 判斷模型響應(yīng)和實(shí)際信號(hào)是否匹配，以辨識(shí)發(fā)電機(jī)內(nèi)周期擾動(dòng)源的存在性。強(qiáng)迫振蕩響應(yīng)是周期信號(hào)，是功率信號(hào)，PSD 分析是評估功率信號(hào)在頻域能量分布的恰當(dāng)方法，PSD 的定義可見文獻(xiàn)［15］。

這里將針對式（20）轉(zhuǎn)子角表達(dá)式，利用發(fā)電機(jī)端電壓及其PSD，推導(dǎo)轉(zhuǎn)子角模型響應(yīng)PSD 的預(yù)測值。令GdV(s)和Gdθ(s)的單位沖擊響應(yīng)為gdV(t)和gdθ(t)，將端電壓和單位沖擊響應(yīng)w(t)、g(t)分別表示為：

式中：I為單位矩陣。

式（25）等號(hào)右側(cè)第1 項(xiàng)是Δδ和ΔVe的模型響應(yīng)，與 式（20）和 式（21）相 同，GdV(s)、Gdθ(s)、GEV(s)、GEθ(s)也與式（20）和式（21）相同；等號(hào)右邊與fM和fE有關(guān)的項(xiàng)僅出現(xiàn)在擾動(dòng)源發(fā)電機(jī)中。若

Δδm的時(shí)域表達(dá)式為：

根據(jù)式（27），可得Δσm(t)的自相關(guān)函數(shù)為：

式中：Rδm、RVt、Rθt分別為轉(zhuǎn)子角模型響應(yīng)、機(jī)端電壓幅值、機(jī)端電壓相角的自相關(guān)函數(shù)；RVθ為發(fā)電機(jī)端電壓幅值和相角的互相關(guān)函數(shù)。

根據(jù)PSD 的定義有：

式中：Φδm(Ω)、ΦVt(Ω)、Φθt(Ω)分別為轉(zhuǎn)子角模型響應(yīng)、發(fā)電機(jī)端電壓幅值、發(fā)電機(jī)端電壓相角的PSD；ΦVθ(Ω)為發(fā)電機(jī)端電壓幅值和相角之間的互功率譜密度；Ω為角頻率。

也可將式（29）展開，得到轉(zhuǎn)子角模型響應(yīng)Δδm的PSD 為：

式中：Re（·）為求實(shí)部函數(shù)。

同理，可得勵(lì)磁電壓模型響應(yīng)ΔVm的PSD 為：

式中：ΦVm(Ω)為勵(lì)磁電壓模型響應(yīng)的PSD。

式（31）和式（32）將模型響應(yīng)PSD 表達(dá)為電壓分量PSD 共同決定的形式，建立了電壓各分量與模型響應(yīng)之間的PSD 耦合關(guān)系。根據(jù)式（10）和類似歸納，也可將各變量表達(dá)成ΔId和ΔIq的函數(shù)，最終建立用電流幅值和相角描述的Δδm和ΔVm，從而給出用電流分量表達(dá)的模型響應(yīng)PSD。

對于非擾動(dòng)源發(fā)電機(jī)，δ和Ve的模型響應(yīng)等于實(shí)際信號(hào)，依據(jù)式（31）和式（32），可以預(yù)測出δ和Ve的模型響應(yīng)PSD，且預(yù)測值等于實(shí)際信號(hào)PSD。而對于擾動(dòng)源機(jī)組，以Δδ為例，根據(jù)其響應(yīng)表達(dá)式（18），依據(jù)PSD 推導(dǎo)過程式（26）至式（29）可得此時(shí)Φδ(Ω)的公式如附錄A 式（A12）所示，一部分Φδm(Ω) 是 轉(zhuǎn) 子 角 模 型 響 應(yīng) 的PSD，另 一 部 分Φδf(Ω)是與發(fā)電機(jī)內(nèi)周期性擾動(dòng)源有關(guān)的PSD 分量，其會(huì)造成Φδ(Ω)和Φδm(Ω)不相等。因此，對擾動(dòng)源發(fā)電機(jī)，模型響應(yīng)PSD 和實(shí)際信號(hào)PSD 不會(huì)相同。對于擾動(dòng)源發(fā)電機(jī)，δ和Ve依據(jù)式（20）和式（21）計(jì)算得到的模型響應(yīng)PSD 不再等于δ和Ve的實(shí)際PSD。擾動(dòng)源的存在，導(dǎo)致δ、Ve和機(jī)端電壓的關(guān)系不再如式（20）和式（21）所述，而是如式（18）和式（19）所示，包含了擾動(dòng)源的影響。如果僅用ΔVt、Δθt來表述Δδ和ΔVe，其系數(shù)關(guān)系也不再是式（18）和式（19）中所示的GdV(s)、Gdθ(s)、GEV(s)、GEθ(s)，這些系數(shù)會(huì)隨著擾動(dòng)源fM和fE的變化而變化。

針對所有機(jī)組，依靠機(jī)組模型、電壓分量（或電流）和式（31）和式（32），經(jīng)過計(jì)算得到δ和Ve的模型響應(yīng)PSD，這一過程在本文中稱為“模型響應(yīng)的PSD 預(yù)測”。根據(jù)推導(dǎo)結(jié)論，機(jī)組內(nèi)無周期擾動(dòng)和各種噪聲等干擾時(shí)，模型響應(yīng)PSD 預(yù)測值將會(huì)與實(shí)際信號(hào)PSD 精確相等。反之，如果強(qiáng)迫振蕩頻率處計(jì)算得到的模型響應(yīng)PSD 與實(shí)際信號(hào)PSD 吻合，則印證機(jī)組內(nèi)沒有周期性擾動(dòng)源；兩者若不相等，則印證機(jī)組內(nèi)存在額外的周期性擾動(dòng)源導(dǎo)致兩者不等。計(jì)算信號(hào)PSD 的方法有周期圖法、Bartlett 法和Welch 法等改進(jìn)的周期圖方法等［15］，MATLAB 提供了多種可直接調(diào)用的函數(shù)來計(jì)算信號(hào)的PSD。

在實(shí)際應(yīng)用中，考慮到同步機(jī)的非線性、噪聲、模型不準(zhǔn)確等實(shí)際影響，會(huì)導(dǎo)致不含周期性擾動(dòng)源的機(jī)組模型響應(yīng)PSD 和實(shí)際信號(hào)PSD 不能完全相等。計(jì)及實(shí)際影響，引入判斷預(yù)測的模型響應(yīng)PSD和實(shí)際信號(hào)PSD 不匹配性程度（power spectrum mismatch，PSM）的評估指標(biāo)。轉(zhuǎn)子角和勵(lì)磁電壓的PSM 分別定義如下：

式中：ρPSM，δ，j(Ω)和ρPSM，Ve，j(Ω)分別為第j臺(tái)發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子角和勵(lì)磁電壓在Ω處的PSM；ΦVe(Ω)和Φδr(Ω)分別為Ve和δ的實(shí)際信號(hào)PSD。

若發(fā)電機(jī)內(nèi)不含周期性擾動(dòng)源，則ΦVm(Ω)和Φδm(Ω)與ΦVe(Ω)和Φδr(Ω)對 應(yīng) 吻 合，Ve與δ的PSM 為0。當(dāng)考慮實(shí)際影響因素后，PSM 會(huì)是一個(gè)較小的值。若發(fā)電機(jī)內(nèi)含周期性擾動(dòng)源，則ΦVe(Ω)和Φδr(Ω) 不 僅 含 有 模 型 響 應(yīng)PSD（ΦVm(Ω)、Φδm(Ω)），還 含 有 強(qiáng) 迫 項(xiàng) 引 起 的 附 加PSD，使ΦVm(Ω)、Φδm(Ω)和ΦVe(Ω)、Φδr(Ω)間存在明顯的差異，故包含周期性擾動(dòng)的發(fā)電機(jī)PSM 會(huì)是一個(gè)顯著增大的正值。綜上，較大的PSM 能印證發(fā)電機(jī)內(nèi)含有引起PSM 變大的附加強(qiáng)迫項(xiàng)，說明此發(fā)電機(jī)即為擾動(dòng)源。

ρPSM，δ，j(Ω)和ρPSM，Ve，j(Ω)的定義已經(jīng)消除擾動(dòng)源幅值對PSM 的影響；不同頻率響應(yīng)在頻域是解耦的，顯然各頻率處PSM 不會(huì)受擾動(dòng)源頻率的影響。因此，PSM 的定義不受擾動(dòng)源幅值、頻率等影響。另外，實(shí)際影響因素是隨機(jī)的，不會(huì)產(chǎn)生周期性響應(yīng)，其功率譜在整個(gè)頻段是扁平的，每個(gè)頻率處都較小，當(dāng)考慮實(shí)際因素時(shí)，實(shí)際因素造成的誤差很小，甚至可忽略，在算例部分也會(huì)驗(yàn)證。

1.4 勵(lì)磁電壓的重構(gòu)

本文所提出的定位方法中需要使用發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角和勵(lì)磁電壓等信號(hào)，這些信號(hào)可以從發(fā)電廠獲取?，F(xiàn)代電網(wǎng)廣泛安裝的同步相量測量單元（synchrophasor measurement unit，PMU）也會(huì)對轉(zhuǎn)子角、轉(zhuǎn)速、勵(lì)磁電壓等信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)采集、傳輸和監(jiān)控。對于勵(lì)磁電壓測量單元仍未配備和投入運(yùn)行的機(jī)組，可根據(jù)發(fā)電機(jī)端電壓幅值和相角時(shí)域量vt(t)、Θt(t)，電流幅值和相角時(shí)域量it(t)、βt(t)，轉(zhuǎn)子角σ(t)間接獲取和重構(gòu)勵(lì)磁電壓。結(jié)合式（3）和式（4）有：

根據(jù)vq(t)和id(t)與端電壓和電流的關(guān)系：

根據(jù)式（35）和式（36），可得Ve的頻域重構(gòu)公式如下：

式中：Gθ(s)、G?(s)、GVt(s)、GIt(s)、Gδ(s)為傳遞函數(shù)項(xiàng)，具體表達(dá)式如附錄A 所示；ΔIt和ΔΛt分別為發(fā)電機(jī)端電流幅值和相角的偏差。

vt(t)、Θt(t)、it(t)、βt(t)、σ(t)是發(fā)電機(jī)運(yùn)行監(jiān)測需要重點(diǎn)關(guān)注的數(shù)據(jù)。根據(jù)測量數(shù)據(jù)，利用式(37)可以獲得Ve的頻譜和PSD。

1.5 擾動(dòng)源的控制設(shè)備定位

為實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)消除擾動(dòng)源，應(yīng)該進(jìn)一步定位到產(chǎn)生擾動(dòng)源的控制器。雖然Ve和δ的振蕩是由各自所在的勵(lì)磁系統(tǒng)和原動(dòng)機(jī)系統(tǒng)分別直接驅(qū)動(dòng)的，但這2 個(gè)控制系統(tǒng)中的任一控制系統(tǒng)中存在擾動(dòng)源都必然會(huì)引起Ve和δ中都出現(xiàn)強(qiáng)迫項(xiàng)。然而，不同控制器的周期性擾動(dòng)對Ve和δ強(qiáng)迫項(xiàng)的作用強(qiáng)度差異 明 顯，這 將 決 定ΦVm(Ω)、Φδm(Ω) 和ΦVe(Ω)、Φδr(Ω)的吻合度和PSM 存在差異。原動(dòng)機(jī)系統(tǒng)和勵(lì) 磁 系 統(tǒng) 中 的 周 期 性 擾 動(dòng) 對ρPSM，Ve，j和ρPSM，δ，j作 用程度的差異給辨識(shí)產(chǎn)生擾動(dòng)源的具體控制器提供了信息。以勵(lì)磁系統(tǒng)擾動(dòng)源為例，假設(shè)第j臺(tái)發(fā)電機(jī)的周期性擾動(dòng)位于勵(lì)磁系統(tǒng)中，其會(huì)顯著地作用于Ve強(qiáng)迫項(xiàng)，相比較而言，對δ強(qiáng)迫項(xiàng)的作用強(qiáng)度就很微弱。換而言之，產(chǎn)生周期性擾動(dòng)的第j臺(tái)發(fā)電機(jī)的ρPSM，Ve，j和 其 他 發(fā) 電 機(jī)ρPSM，Ve，k（k=1，…，j-1，j+1，…，n，n為 發(fā) 電 機(jī) 臺(tái) 數(shù)）的 區(qū) 別 將 比ρPSM，δ，j和ρPSM，δ，k的區(qū)別更加顯著。至于周期性擾動(dòng)由原動(dòng)機(jī)系統(tǒng)產(chǎn)生的場合，也有同樣的結(jié)論。因此，定位擾動(dòng)源發(fā)電機(jī)后，根據(jù)Ve和δ的PSM，可以進(jìn)一步根據(jù)以下規(guī)則辨識(shí)產(chǎn)生擾動(dòng)源的控制器：

模型響應(yīng)PSD 預(yù)測法定位擾動(dòng)源流程如圖2 所示。為判斷擾動(dòng)源發(fā)電機(jī)PSM 與非擾動(dòng)源發(fā)電機(jī)PSM 之間的差別，引入系數(shù)α，根據(jù)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，一般取α=3 ～5。α根據(jù)波形完整性、模型準(zhǔn)確性等可以不限于該范圍而適當(dāng)調(diào)整。

圖2 擾動(dòng)源定位流程圖Fig.2 Flow chart for locating oscillation source

2 算例驗(yàn)證

本文基于DIgSILENT PowerFactory 平臺(tái)進(jìn)行仿真，以10 機(jī)39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)［16］和華北電網(wǎng)［12］為算例驗(yàn)證本文的定位方法。

發(fā)電機(jī)采用6 階模型，并都裝有勵(lì)磁調(diào)節(jié)器、電力系統(tǒng)穩(wěn)定器、原動(dòng)機(jī)及調(diào)速器。系統(tǒng)有2 個(gè)弱阻尼模式：一個(gè)是0.64 Hz 的區(qū)域間振蕩模式，阻尼比為1.65%；另一個(gè)是1.31 Hz 的本地振蕩模式，阻尼比為2.82%。本文以0.64 Hz 的強(qiáng)迫振蕩為例，驗(yàn)證本文方法。

2.1 勵(lì)磁系統(tǒng)擾動(dòng)源引發(fā)強(qiáng)迫振蕩

為產(chǎn)生0.64 Hz 強(qiáng)迫振蕩，在發(fā)電機(jī)G6 的勵(lì)磁系統(tǒng)參考信號(hào)（初始值1.49 p.u.）中注入0.15 p.u.、0.64 Hz 的正弦擾動(dòng)。為模擬負(fù)荷波動(dòng)等類噪聲信號(hào)的影響，將各負(fù)荷的1% 用高斯白噪聲代替。圖3（a）給出了所有發(fā)電機(jī)（G1 至G10）的電磁功率振蕩曲線。

圖3 發(fā)電機(jī)電磁功率Fig.3 Electromagnetic power of generators

首先，對本文提出的模型響應(yīng)PSD 預(yù)測的正確性進(jìn)行檢驗(yàn)，計(jì)算Φδm(Ω)和ΦVm(Ω)時(shí)忽略模型不準(zhǔn)確性、噪聲等實(shí)際因素。根據(jù)式（30）和式（31），獲得轉(zhuǎn)子角和勵(lì)磁電壓在所有頻率處預(yù)測的模型響應(yīng)PSD 和實(shí)際PSD。轉(zhuǎn)子角和勵(lì)磁電壓的預(yù)測PSD（Φδm(Ω) 和ΦVm(Ω)）和 其 實(shí) 際PSD（Φδr(Ω) 和ΦVe(Ω)）如圖4 所示。由圖4 可見，除發(fā)電機(jī)G6 外，其他所有發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角和勵(lì)磁電壓的實(shí)際PSD 和模型響應(yīng)PSD 近乎重合，誤差很小，表明對于非擾動(dòng)源機(jī)組，模型響應(yīng)等于其真實(shí)響應(yīng)，非擾動(dòng)源發(fā)電機(jī)響應(yīng)的PSD 可以由機(jī)端電壓預(yù)測。而擾動(dòng)源發(fā)電機(jī)內(nèi)部由于周期性擾動(dòng)的存在，兩者不再相等，如G6 的實(shí)際PSD 和預(yù)測PSD 有很大差別。

圖4 勵(lì)磁系統(tǒng)擾動(dòng)下發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角和勵(lì)磁電壓的PSDFig.4 PSD of rotor angle and excitation voltage of generators with excitation system disturbance

圖5 給出了在0.64 Hz 的振蕩頻率處，實(shí)際響應(yīng)和模型響應(yīng)歸一化的PSD。除擾動(dòng)源發(fā)電機(jī)G6外，其他發(fā)電機(jī)的功角和電壓的預(yù)測PSD 與實(shí)際PSD 高度吻合，只有很小的誤差。很小的誤差是由發(fā)電機(jī)的非線性引起，例如勵(lì)磁機(jī)飽和就是一個(gè)典型的非線性因素。

圖5 振蕩頻率處的PSDFig.5 PSD at oscillation frequency

其次，對所提出的方法在更多影響因素下的有效性進(jìn)行檢驗(yàn)，包括發(fā)電機(jī)模型不準(zhǔn)確性、信號(hào)噪聲等。在模型響應(yīng)PSD 計(jì)算中使用的發(fā)電機(jī)參數(shù)選為含10%以上誤差的參數(shù)?？紤]到噪聲的影響，將發(fā)電機(jī)測量數(shù)據(jù)vt(t)、Θt(t)、it(t)、βt(t)、σ(t)中加入-30 dB 高斯白噪聲。附錄B 給出了發(fā)電機(jī)G10 注入噪聲后的電流信號(hào)。在這些實(shí)際影響因素作用下，計(jì)算出0.64 Hz 處預(yù)測的模型響應(yīng)PSD 和實(shí)際PSD。圖6 給出了歸一化的轉(zhuǎn)子角和勵(lì)磁電壓的PSD 和PSM。

圖6 勵(lì)磁系統(tǒng)擾動(dòng)下各發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角和勵(lì)磁電壓的PSD 和PSMFig.6 PSD and PSM of rotor angle and excitation voltage of generators with excitation system disturbance

2.2 原動(dòng)機(jī)擾動(dòng)源引發(fā)的強(qiáng)迫振蕩

為引發(fā)0.64 Hz 的強(qiáng)迫振蕩，在發(fā)電機(jī)G5 的原動(dòng)機(jī)輸出（基值為598 MW）中注入0.64 Hz、45 MW的正弦機(jī)械功率波動(dòng)。圖3（b）給出了所有發(fā)電機(jī)的電磁功率振蕩曲線。

所考慮的實(shí)際因素同2.1 節(jié)，用不準(zhǔn)確的模型參數(shù)和含噪聲數(shù)據(jù)，計(jì)算所有發(fā)電機(jī)的模型響應(yīng)PSD 和含噪聲信號(hào)的轉(zhuǎn)子角和勵(lì)磁電壓的PSD，在0.64 Hz 處各發(fā)電機(jī)功角和電壓的預(yù)測PSD 和實(shí)際PSD 如 圖7 所 示。

圖7 原動(dòng)機(jī)擾動(dòng)下發(fā)電機(jī)功角和電壓的PSD 和PSMFig.7 PSD and PSM of rotor angle and excitation voltage of generators with prime mover disturbance

本文方法對方波信號(hào)擾動(dòng)源的有效性表明了定位法對其他形式擾動(dòng)源的普遍適用性，具體結(jié)果見附錄B。華北電網(wǎng)算例的結(jié)果進(jìn)一步說明了本文方法的有效性，具體結(jié)果見附錄C。

3 結(jié)語

本文提出了發(fā)電機(jī)模型響應(yīng)的概念，并在此基礎(chǔ)上通過發(fā)電機(jī)模型響應(yīng)PSD 預(yù)測，實(shí)現(xiàn)具體到發(fā)電機(jī)和控制設(shè)備的擾動(dòng)源定位。本文從頻域角度提出了具有清晰、明確理論基礎(chǔ)的擾動(dòng)源定位法，直觀且易于理解。模型響應(yīng)PSD 的計(jì)算中所需的發(fā)電機(jī)邊界數(shù)據(jù)（電壓或電流）和滿足要求的發(fā)電機(jī)模型也較易獲取，重點(diǎn)分析實(shí)際強(qiáng)迫振蕩中振蕩明顯的發(fā)電機(jī)即可，且對實(shí)際影響因素具有一定的魯棒性。

本文的擾動(dòng)源定位是對發(fā)電機(jī)內(nèi)部控制器中擾動(dòng)源引發(fā)的強(qiáng)迫振蕩進(jìn)行定位，負(fù)荷中的周期性擾動(dòng)源造成的強(qiáng)迫振蕩擾動(dòng)源定位是未來工作中需重點(diǎn)研究的問題。如何將擾動(dòng)源定位到更精確的輸入信號(hào)也需要深入研究。

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