高中生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)

祁君英

（福建省莆田市第五中學(xué) 福建莆田 350007）

引言

當前，社會快速發(fā)展，科技水平不斷提高，數(shù)學(xué)是計算機和人工智能領(lǐng)域的關(guān)鍵學(xué)科。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，所以，新課標當中將建模列入核心素養(yǎng)范疇。自新版數(shù)學(xué)教材投入使用以后，內(nèi)部增設(shè)諸多與建模關(guān)聯(lián)的教學(xué)內(nèi)容，對此，教師應(yīng)該在把握教材的基礎(chǔ)之上，尋找高效的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，不斷提高學(xué)生創(chuàng)新、實踐和解決問題等能力，通過對數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)化學(xué)習(xí)，逐漸提高建模素養(yǎng)。

一、數(shù)學(xué)建模內(nèi)涵介紹

高中數(shù)學(xué)課標明確提出，數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵是學(xué)生從實際問題當中提煉抽象模型，并且使用數(shù)學(xué)語言進行表達的能力，通過建模思想，解決實際問題，提高應(yīng)用能力，為將來生活和職業(yè)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。課標要求教學(xué)環(huán)節(jié)需注重學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，建模素養(yǎng)屬于核心素養(yǎng)內(nèi)容之一，學(xué)生具備此項能力以后，能夠運用數(shù)學(xué)知識發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實世界，提出具體問題，感受數(shù)學(xué)知識、現(xiàn)實生活之間的聯(lián)系，能夠運用數(shù)學(xué)模型將實際問題解決，積累更多實踐經(jīng)驗。因為數(shù)學(xué)模型能夠應(yīng)用于諸多領(lǐng)域，建模能力的培養(yǎng)有助于學(xué)生科學(xué)精神、創(chuàng)新意識、實踐能力的不斷提高。課標當中對于高中生建模能力劃分具體包括函數(shù)領(lǐng)域、統(tǒng)計領(lǐng)域、向量領(lǐng)域、數(shù)列領(lǐng)域等方面的建模知識。在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)對應(yīng)知識，感受數(shù)學(xué)建模方法與思想的運用，逐漸形成解決問題能力[1]。

二、數(shù)學(xué)教材中的模型內(nèi)容分布

以人教2019版必修1數(shù)學(xué)教材為例，其中專門設(shè)立了兩個建模模塊知識，除此之外，建模內(nèi)容也出現(xiàn)在了引言部分、閱讀與思考當中，還有部分例題也是通過建模情境方式呈現(xiàn)。整本教材當中重點描述了函數(shù)模型，該模型屬于根據(jù)世界的變化規(guī)律呈現(xiàn)的重要模型之一。在教材當中分別出現(xiàn)函數(shù)概念性質(zhì)、指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)等不同的模型內(nèi)容，指數(shù)和對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的后面還單獨設(shè)計建?；顒?，旨在幫助學(xué)生形成解決問題的能力。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該對學(xué)生進行指導(dǎo)，使其能夠經(jīng)歷建模過程，利用函數(shù)將實際問題解決。對于以上函數(shù)性質(zhì)、變化規(guī)律全面掌握以后，學(xué)生能夠在實際情境中，合理選擇數(shù)學(xué)模型，探索事物變化規(guī)律，并尋求問題解決方法。

教材引言部分介紹了函數(shù)的基本性質(zhì)，還有幾種初等函數(shù)內(nèi)容，在教學(xué)過程中，教師需要重點引導(dǎo)學(xué)生感受函數(shù)當中蘊含的現(xiàn)實問題，并將問題化為函數(shù)模型，對于具體問題展開探究，將函數(shù)學(xué)習(xí)目標和方法向?qū)W生介紹，提高其解題能力。

教材第三章的引言部分描述了客觀世界當中各類運動變化的現(xiàn)象，需要學(xué)生在感受現(xiàn)實情境的前提之下，從變量之間尋找對應(yīng)關(guān)系。在教學(xué)過程中，可以運用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)情境，從中找到變量之間存在的對應(yīng)關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化建立模型，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之前對于函數(shù)模型形成直觀想象[2]。教材第三章主要講述的內(nèi)容是信息技術(shù)的應(yīng)用，由于計算機軟件可以作為重要的工具，輔助學(xué)生研究函數(shù)圖像。通過計算機軟件，向?qū)W生介紹函數(shù)圖像繪制方法，將其置于建模情境當中，體會變量之間關(guān)系的復(fù)雜，了解到手工描點的畫圖方式存在誤差和局限性，因此利用計算機軟件進行建模具有實用價值。

在第四章的引言部分，教材當中給出考古分析良渚遺址當中碳14的含量，從而推導(dǎo)出古城良渚真實存在時間，通過現(xiàn)實事物當中物體的變化規(guī)律，獲得直觀體驗，將物體的變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)變化建模過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型思想在生活當中的實踐應(yīng)用，明確數(shù)學(xué)概念和定理公式的抽象性。在閱讀與思考部分，介紹了放射物質(zhì)衰減規(guī)律，要求學(xué)生查找資料，之后自主建立函數(shù)模型，體現(xiàn)指數(shù)函數(shù)倍增特性，讓學(xué)生直觀體會現(xiàn)實情境向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的過程。

三、高中生建模能力培養(yǎng)策略

1.創(chuàng)設(shè)建模情境

課標當中對于高中生的建模能力培養(yǎng)要求為，可以從現(xiàn)實情境當中選取數(shù)學(xué)模型，將對應(yīng)問題解決。所以，在教學(xué)過程當中，需要教師注重學(xué)生科學(xué)精神、科學(xué)素養(yǎng)等方面的培養(yǎng)，創(chuàng)設(shè)建模情境。具體包括生活情境、科學(xué)情境等。

從生活情境的創(chuàng)設(shè)角度分析，主要包含現(xiàn)實生活當中面臨的各類問題。比如：個人收入，個稅繳納環(huán)節(jié)需要應(yīng)用函數(shù)模型，對于階梯水價的計算需要利用計費模型，在投資方案選擇或者汽車耗油問題當中都含有具體生活背景知識。教師可指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目數(shù)據(jù)，參與建?；顒覽3]。

比如：要求學(xué)生將一年時間內(nèi)，日出和日落相關(guān)時間資料收集起來；調(diào)查生活所在區(qū)域日用電情形，從而制定出“消峰平谷”電價方案。將建模任務(wù)和具體生活情景相關(guān)聯(lián)，轉(zhuǎn)變學(xué)生錯誤的學(xué)習(xí)態(tài)度。因為部分學(xué)生認為數(shù)學(xué)建模就是利用數(shù)學(xué)模型，解決問題。如果是函數(shù)模型，就找出函數(shù)解析式，利用對應(yīng)參數(shù)求出問題答案。鑒于此，需要數(shù)學(xué)教師通過教學(xué)過程的引導(dǎo)，讓學(xué)生在參與建模活動期間，能夠體會到信息收集階段的重要性，樹立正確的學(xué)習(xí)態(tài)度，對于建?；顒有纬烧_認知。

從科學(xué)情境創(chuàng)設(shè)角度分析，還需要融合其他學(xué)科內(nèi)容。比如：利用社會學(xué)科知識，針對人口增長建立模型；利用考古學(xué)知識，通過生物體內(nèi)碳14的衰減建立函數(shù)模型，最終能夠?qū)⒐懦墙ㄔ鞎r間推理出來。這樣的教學(xué)情境對于學(xué)生創(chuàng)新意識、科學(xué)素養(yǎng)提升十分有利。在數(shù)學(xué)教學(xué)階段，側(cè)重于建模情境的建設(shè)，讓高中生體會數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，從而樹立遠大志向，為創(chuàng)新型人才培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。

2.完善建模過程

數(shù)學(xué)建模流程如下：第一，變量和數(shù)學(xué)化識別；第二，建立數(shù)學(xué)模型；第三，求解數(shù)學(xué)模型；第四，檢驗與優(yōu)化數(shù)學(xué)模型；第五，將模型現(xiàn)實化。其中建立模型、求解模型屬于建模重點內(nèi)容。因此，在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)可通過現(xiàn)實情境，要求學(xué)生查閱網(wǎng)站或者資料，選擇數(shù)學(xué)模型，重視模型優(yōu)化與檢驗，深度思考模型思想。為了提高學(xué)生的建模能力，教學(xué)過程需要將學(xué)生的認知能力、發(fā)展特點考慮其中，對于現(xiàn)實生活材料全面收集似乎難度較大，不利于數(shù)據(jù)的處理。同時，在數(shù)學(xué)課堂上，對于學(xué)生的評價結(jié)果性評價為主要內(nèi)容。無論是收集數(shù)據(jù)，還是優(yōu)化模型，對于學(xué)生來講難度較高。在模型優(yōu)化階段，通常會借助計算機方式，部分學(xué)生信息化基礎(chǔ)薄弱，因此模型優(yōu)化過程難度高?？紤]到以上問題，在數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)該重點突出模型情境復(fù)雜性特點，將教學(xué)的側(cè)重點傾向于學(xué)生數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)處理等能力的培養(yǎng)上，讓學(xué)生通過觀察建立模型，掌握計算機技術(shù)，能夠?qū)τ跀?shù)學(xué)模型優(yōu)化、驗證，最終提高建模能力[4]。

3.建模教學(xué)案例

（1）案例內(nèi)容

本研究選擇教材中的建?；顒印疤O果最佳出售時間點”，圍繞此生活化問題展開討論，利用數(shù)學(xué)語言、符號等展開情景描述，明確量的增加與減少，建立模型，確認蘋果最佳的出售時間。由于高中生已經(jīng)具備函數(shù)知識基礎(chǔ)，課堂上通過生活化場景的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，利用建模思想進行求解。結(jié)合建?；顒訉嶋H特點，利用多媒體、討論互動多種形式展開教學(xué)，鼓勵學(xué)生使用計算機軟件，聯(lián)系數(shù)學(xué)問題，尋找解決策略，逐漸形成建模能力。

（2）情境創(chuàng)設(shè)

情境創(chuàng)設(shè)階段，選擇牛頓的故事，利用信息化的方式呈現(xiàn)。通過牛頓思考“蘋果為何會墜地？”這一問題，最終通過研究，提出萬有引力定律。為了啟發(fā)學(xué)生思維，教師需要循序漸進引導(dǎo)。可通過提問的方式完成“牛頓是否單純通過蘋果落地現(xiàn)象就推出萬有引力？”“思考牛頓發(fā)現(xiàn)引力的過程是怎樣的？”通過問題啟發(fā)學(xué)生思維，使其明確萬有引力的發(fā)現(xiàn)并非容易之事，牛頓需站立在哥白尼、開普勒等巨人的肩膀上，建立數(shù)學(xué)模型，從中發(fā)現(xiàn)問題，并且將其解決，最終將萬有引力推導(dǎo)出來。

（3）建模過程

發(fā)現(xiàn)問題階段，學(xué)生通過閱讀問題內(nèi)容，可以知道如果市面上蘋果數(shù)量相對較多，則其價格就會降低，如果選擇技術(shù)手段，將蘋果保鮮儲存，待市面蘋果數(shù)量減少并且價格升高的時候出售，即可獲得更高利潤。需要注意，保鮮儲存需要消耗成本和時間，在時間不斷延長的時候成本也會增加。

提出問題階段，要求學(xué)生通過以上生活現(xiàn)象，對于其中的內(nèi)涵問題進行探討。比如：是什么原因?qū)е绿O果價格出現(xiàn)高低浮動？怎樣才能避免出現(xiàn)這些現(xiàn)象？蘋果保鮮儲存需要利用哪些技術(shù)手段？選擇怎樣的儲存方式消耗的成本最低？

分析問題階段，在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生思考問題之間的數(shù)量關(guān)系，同時還有變量關(guān)系。如果單純利用數(shù)學(xué)方法解決問題還十分困難。因為問題當中涉及數(shù)量增減方面的問題，此時可借助數(shù)學(xué)語言或者符號展開描述。

在建立模型階段，可指導(dǎo)學(xué)生通過如下幾種方法對于問題進行描述，之后建立模型。

第一，利用定性描述的方式建立模型，假設(shè)市面蘋果總量x噸，單價y元，生活現(xiàn)象代表x增加的時候y逐漸減小，將y視作x的函數(shù)，記為f（x），則f（x）為減函數(shù)。相同道理，假設(shè)保存時間是t天，因為蘋果保鮮成本C元，將C視為t的函數(shù)，并記為C=g（t），可知g（t）為增函數(shù)。由于市面蘋果量隨時間變化，也可將x視為t函數(shù)，記x=h（t）。經(jīng)過以上描述，假設(shè)蘋果在第t天出售，單位數(shù)量蘋果得到的收益（z）可使用關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式表達出來，z=y-C=f（x）-g（t）=f（h（t））-g（t）。獲得函數(shù)關(guān)系式即可解決z是否有最值問題。

第二，通過合理假設(shè)的方式，建立模型。為了讓學(xué)生明確f（x），h（t），g（t）等函數(shù)之間的關(guān)系，可運用假設(shè)法，認定f（x）和g（t）均為一次函數(shù)，并且f（x）=k1x+l1；g（t）=k2x+l2。同時假設(shè)h（t）是二次函數(shù)，h（t）=at2+bt+c，

第三，收集信息，確認參數(shù)，利用數(shù)據(jù)收集方法，得到x=8.4的時候y=0.8，x=7.6的時候y=1.2；t=1的時候，C=0.11，t=2的時候，C=0.12；t=1的時候，x=9.462；t=2的時候，x=9.328，t=3的時候，x=9.198。按照待定系數(shù)法，能夠分別表示出各個函數(shù)之間的等量關(guān)系，整理得到z=-0.001t2+0.06t＋0.1。所以z=f（h（t））-g（t）=k1at2+（k1b-k2）t+k1c+l1-l2，a≠0，k1＜0，k2＞0。

解決問題階段，可利用配方法，將z=-0.001t2+0.06t＋0.1整理變?yōu)閦=-0.001（t-30）2＋1。當t=30的時候，z有最大值，等于1。也就是將蘋果保鮮儲存30天的時候，能夠獲得最高的利潤。通過以上教學(xué)流程，以敘述的方式讓學(xué)生經(jīng)歷建模過程。通過建模活動，從數(shù)學(xué)語言描述過程當中，建立數(shù)學(xué)模型，感受函數(shù)在生活中的應(yīng)用價值。教育階段，針對學(xué)生在不同階段的表現(xiàn)進行評價，適時對學(xué)生采取啟發(fā)引導(dǎo)，使其明確建模思路。在利用模型解題階段，感受建模方法，形成科學(xué)精神，提高應(yīng)用能力，強化創(chuàng)新意識，提高建模能力和素養(yǎng)。

四、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生建模能力培養(yǎng)思考

通過上文分析函數(shù)部分的建模知識，筆者認為，為了將學(xué)生建模能力提升，需要對課標中的建模內(nèi)容有所了解，并且能夠從數(shù)學(xué)教材當中尋找模型知識，充分梳理教材習(xí)題、閱讀和引言部分的建模內(nèi)容，讓教師從多角度出發(fā)，突出建模教學(xué)內(nèi)容，提高學(xué)生的建模能力。與此同時，教材中的大部分建模情境與學(xué)生的實際生活聯(lián)系緊密，在教學(xué)期間，情境的設(shè)置還需要將學(xué)生興趣愛好和生活需求全面考慮，保證模型情境的創(chuàng)設(shè)能夠調(diào)動學(xué)生生活經(jīng)驗，還能細致觀察、思考生活問題。通過教學(xué)，讓學(xué)生深入理解日常生活，建立和生活聯(lián)系緊密的數(shù)學(xué)模型，激發(fā)學(xué)生興趣，使其深度思考，形成邏輯、辯證思維。除此之外，數(shù)學(xué)課堂建模教學(xué)應(yīng)該注重全程訓(xùn)練，切勿單純追求求解結(jié)果，豐富評價方式，適當運用貼近生活的實例，引領(lǐng)學(xué)生獨立思考，將問題解決。可以從教材當中的數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用角度出發(fā)，調(diào)動學(xué)生編程興趣，不斷提高軟件操作能力，為其建模能力提升奠定基礎(chǔ)[5]。

結(jié)語

綜上分析，數(shù)學(xué)教學(xué)建模能力的培養(yǎng)重點在于啟發(fā)學(xué)生關(guān)注生活現(xiàn)象，鼓勵學(xué)生建立模型，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)興趣，對于生活進行深度思考，強化學(xué)生邏輯思維、辯證思維能力的培養(yǎng)。在建模教學(xué)階段，需要教師充分運用多媒體手段，注意建模過程訓(xùn)練，依托生活內(nèi)容，為學(xué)生搭建學(xué)習(xí)橋梁，適當運用輔助材料，注意因材施教，循序漸進引導(dǎo)學(xué)生觀察生活，尋找問題解決之策。