基于深度學(xué)習(xí)的“勾股定理的應(yīng)用”課堂設(shè)計

?青島經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)第四中學(xué) 孔祥騫

所謂深度學(xué)習(xí)，是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程[1].深度學(xué)習(xí)是改變傳統(tǒng)的一言堂、滿堂灌，突出學(xué)生為主體，側(cè)重思維發(fā)展的新型學(xué)習(xí)方式.下面就基于深度學(xué)習(xí)的一節(jié)課的課堂設(shè)計展開討論.

1 教學(xué)分析

1.1 教材分析

本節(jié)是人教版八年級數(shù)學(xué)下冊第17章第二節(jié)的內(nèi)容，主要是在前面已學(xué)過探究和證明勾股定理的基礎(chǔ)上對勾股定理進行簡單的應(yīng)用.

1.2 教學(xué)目標

根據(jù)教材內(nèi)容及學(xué)情，對本節(jié)課制定以下教學(xué)目標：

(1)經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型的過程，能用勾股定理解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識；

(2)在解決實際問題的過程中，體驗解決問題的策略，養(yǎng)成獨立思考和質(zhì)疑的習(xí)慣.

2 教學(xué)過程

2.1 情境設(shè)置

首先回顧勾股定理的主要內(nèi)容：

師：上一節(jié)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角三角形中三條邊的關(guān)系，請大家回憶勾股定理的主要內(nèi)容.

生：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于第三條邊的平方.

師：請同學(xué)們嘗試用勾股定理解決下面的問題.

課件呈現(xiàn)：

(1)求圖1所示的直角三角形的斜邊AB的長度；

圖1

(2)求圖2所示的Rt△ABC中BC的長度；

圖2

(3)求圖3所示的等腰三角形底邊BC上的高.

圖3

小組內(nèi)討論并思考：在解決問題時，(1)(2)(3)三者之間的異同點.

小組A：都需要用勾股定理去解決.

師：非常好，找到了解決問題的關(guān)鍵點.那三個問題解決方法一樣嗎？

師：說得非常準確，理解也非常透徹！本節(jié)課我們就利用勾股定理直接求解，已知直角三角形某兩邊關(guān)系列方程求解和沒有直角三角形構(gòu)造直角三角形求解這三種情況開始學(xué)習(xí).

設(shè)計意圖：利用三個簡單的基本三角形簡潔明了地展示了本節(jié)課的整體的設(shè)計脈絡(luò)，同時為學(xué)生利用勾股定理解決實際問題打開了思路，初步獲得解題經(jīng)驗，有利于學(xué)生更深刻地理解勾股定理的應(yīng)用.小組討論有利于學(xué)生思維的碰撞，提高合作意識，共同進步.

2.2 問題驅(qū)動

模塊一：直接應(yīng)用，鞏固定理

教師出示問題：

在一次臺風(fēng)的襲擊中，小明家房前的一棵大樹在離地面6 m處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部8 m處，如圖4.你能告訴小明這棵樹折斷之前有多高嗎？

圖4

生：由勾股定理可得樹原來有16 m.

師：你是如何得出的？

生：可以抽象出一個直角三角形，且兩直角邊分別為6 m和8 m，類似圖1，由勾股定理直接求折斷部分的長，然后與下半部分加起來即原樹高.

設(shè)計意圖：本模塊的設(shè)置正是前面情境設(shè)置中的第(1)題的變式，賦予實際背景之后，學(xué)生只需將實際問題抽象成數(shù)學(xué)圖形，進而解決.這里不僅要求學(xué)生對勾股定理透徹理解，還需要具有將實際圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形的能力.

模塊二： 變換條件，探究變化

如果變換條件，得到如下問題：

在一次臺風(fēng)的襲擊中，小明家房前的一棵16 m的大樹被風(fēng)刮斷，如圖5，樹的頂部落在離樹根底部8 m處.你能告訴小明這棵樹是在多高處折斷的嗎？

圖5

師：請同學(xué)們先自己思考，再小組內(nèi)交流，最后以小組為單位解決問題.

小組C：先由實際圖形抽象出一個直角三角形，由已知條件可得，一條直角邊邊長為8，另外兩邊都不知道，但是知道它們兩個的和為16.可以設(shè)另一條直角邊邊長為x，那么斜邊長就可以用16-x來表示，應(yīng)用勾股定理可得x2+82=(16-x)2，解出x即可.

師：這一問題變化在哪？

生：與圖2對應(yīng)的問題類似，已知直角三角形中確定一條邊以及另外兩條邊的關(guān)系，可以依據(jù)勾股定理列方程求解.

設(shè)計意圖：本模塊在模塊一的基礎(chǔ)上條件稍作改變，依據(jù)情境設(shè)置中第(2)問的解題思路去解決，加深學(xué)生對勾股定理的理解，發(fā)展學(xué)生的方程思想.

模塊三：鞏固提升，深度學(xué)習(xí)

師：如圖6，在模塊一、二問題的基礎(chǔ)上，樹干A處有一知了，大樹折斷落地后同時從離地面3 m高的位置落到地面，且距離樹的的頂部4 m，你能求出知了原來在樹的多高處嗎？

圖6

要利用勾股定理解決此問題，需要找出所在的直角三角形，那么利用前面構(gòu)建的直角三角形可以解決嗎？需要將這一問題放在哪個直角三角形中呢？

學(xué)生：可以考慮從A處向地面做一條垂線段AB，構(gòu)造出一個直角三角形.如圖7，在Rt△ABC中，兩直角邊分別為3和4，由勾股定理可得斜邊為5 m.也就是說知了離樹的頂端5 m，所以知了在樹的11 m高處.

圖7

設(shè)計意圖：基于模塊一和模塊二的實際背景，繼續(xù)探討沒有直角三角形時，如何構(gòu)造直角三角形去解決問題.

2.3 遷移應(yīng)用

(1)如圖8，長方形ABCD中 ，AB=3,AD=1,AB在數(shù)軸上，若以點A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧，交數(shù)軸的正半軸于點M，則點M表示的數(shù)為________.

圖8

(2)如圖9，印度數(shù)學(xué)家什迦邏(1141-1225)曾提出過“荷花問題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風(fēng)吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”請用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識回答這個問題.

圖9

(3)如圖10，有兩棵樹，一棵高12 m，另一棵高6 m，兩樹相距8 m.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少飛行______m.

圖10

小結(jié)：今天你有哪些收獲？

設(shè)計意圖：在前面三類問題的基礎(chǔ)上設(shè)置同樣類型的題目進行練習(xí)，加以鞏固，最后小結(jié)，學(xué)生針對不同類型題目總結(jié)出不同解題策略，加強對勾股定理的應(yīng)用的學(xué)習(xí)深度.

3 設(shè)計思考

3.1 提煉模型，理解本質(zhì)

“勾股定理的應(yīng)用”這一節(jié)先用三個有層次的簡單問題(知道直角三角形的兩邊，直接利用勾股定理計算第三邊；已知直角三角形中一條邊和另兩條的關(guān)系，利用勾股定理列方程計算；沒有直角三角形需構(gòu)造直角三角形)調(diào)動學(xué)生思考、探究的積極性，引導(dǎo)學(xué)生體會不同問題的解題方法，提升學(xué)生的思維能力，并積累解題經(jīng)驗，形成解題思路，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

3.2設(shè)計變式，分析模型

教學(xué)過程中的三個模塊是在同一個實際背景下分別對應(yīng)情境設(shè)置中三個模型進行的變式，由淺入深，逐層遞進.在經(jīng)歷了情境設(shè)置中的三個問題后，學(xué)生已經(jīng)有了解題思路，但需要深度加工，抽象出幾何圖形；同時，變式也促進了學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

3.3 滲透思想，提升能力

在變式中，學(xué)生進一步深刻理解三類問題的解題方法，隨堂練習(xí)更是加深了學(xué)生對本節(jié)課的思想方法的理解.通過不斷地對知識歸納總結(jié)，并對所學(xué)知識有新的認識，進一步達到深度學(xué)習(xí).

4 寫在最后

深度學(xué)習(xí)是理解性的教學(xué)，不是灌輸性的教學(xué)；是反思性的教學(xué)，不是接受性的教學(xué)[2].深度學(xué)習(xí)是追求提升學(xué)科內(nèi)涵、發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué).

深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計是建立在學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)上，以學(xué)生為主體的設(shè)計.若不能深入地開展教學(xué)，只能認為是教師一堂精彩的自我表演.因此，雙減教育形勢下，教學(xué)設(shè)計要考慮本節(jié)課的目標是什么，重難點是什么，應(yīng)當采用什么樣的教學(xué)手段讓學(xué)生構(gòu)建新的知識體系.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該研究知識本質(zhì)，深挖知識點之間的聯(lián)系，盡量將知識點進行有機整合，促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí)[3].

蘇格拉底說:“教育不是灌輸,而是點燃火焰.”深度學(xué)習(xí)就是點燃學(xué)生、點燃課堂的火焰.期待深度學(xué)習(xí)的星星火焰，在數(shù)學(xué)課堂上日漸燎原.