初中數(shù)學(xué)中三角下放的探索
——張景中教育數(shù)學(xué)思想的實踐研究

周國飛

（甘肅省敦煌市第二中學(xué)，甘肅 敦煌）

數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、天文等息息相關(guān)，并為其提供基礎(chǔ)思維方式。數(shù)學(xué)發(fā)展的滯后會影響科技的進步和社會的發(fā)展，而數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)教育。近年來，在教學(xué)教育方面的改革此起彼伏，從教育理念、教學(xué)內(nèi)容、課程設(shè)計、素養(yǎng)評價方面都做了大量卓有成效的嘗試，其中數(shù)學(xué)家張景中的教學(xué)思想便是著眼數(shù)學(xué)前沿發(fā)展和基礎(chǔ)教學(xué)結(jié)合視角的典型，對初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要指導(dǎo)意義。

一、張景中的教學(xué)思想

張景中院士提出的教育數(shù)學(xué)思想促進了中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革。張景中院士是我國著名的數(shù)學(xué)家、教育家，早年曾是一名中學(xué)教師，多年的教學(xué)經(jīng)歷讓張院士既可以以一名教師的角度思考數(shù)學(xué)，又有數(shù)學(xué)家的高度研究教育。結(jié)合一線教師的教學(xué)實際，不斷完善數(shù)學(xué)教材改革方案，又不斷創(chuàng)作科普讀物，用生動、通俗的故事和數(shù)學(xué)家的眼光普及數(shù)學(xué)知識。在《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》中，張先生提出數(shù)學(xué)教育改革要注重教育成果的再創(chuàng)造，從而形成方向和學(xué)科，特別是將平面幾何的面積法下放到七年級，可以提高學(xué)生解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習興趣，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)的困惑

筆者從事數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)21年，使用過的版本有人教版、華東師大版和北師大版，對比近幾年教材的變化，筆者發(fā)現(xiàn)在教材體系中幾何的占比大大減少：重心、平行線分線段成比例定理、射影定理、相交弦定理、圓與圓的位置關(guān)系等在初中階段已全部刪減；幾何中的例題越來越簡單，大部分是基礎(chǔ)證明題，對技巧性的要求比較低；個別定理、例題是利用驗證、比對和實驗的結(jié)論得出的，沒有嚴格的推理論證，學(xué)生知其然，不知其所以然，沒有體現(xiàn)出思想方法，不利于學(xué)生思維的培養(yǎng)。

張景中院士的教育數(shù)學(xué)思想，將數(shù)學(xué)思想滲透到數(shù)學(xué)實踐中，使數(shù)學(xué)知識和思想在數(shù)學(xué)課堂中有了相輔相成之效。初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)有意識地挖掘知識背后的思想，從而使數(shù)學(xué)學(xué)習充盈思維自身的活力，學(xué)生能夠運用思維轉(zhuǎn)化的力量，將較為復(fù)雜而生疏的問題逐漸轉(zhuǎn)化為簡單而熟悉的內(nèi)容，這樣就能切實提高其解決實際問題的能力，并取得數(shù)學(xué)學(xué)習方面的進展。聯(lián)系生活實際引出數(shù)學(xué)問題，解答初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的疑惑，這恰恰是張景中院士在數(shù)學(xué)教學(xué)中所倡導(dǎo)的思想，學(xué)生學(xué)會了主動地分析，利用畫圖或自我糾正巧妙解決數(shù)學(xué)問題?，F(xiàn)階段的教材采用的是歐幾里得的《幾何原本》。而近些年以來，數(shù)學(xué)教育在歐美、亞洲等地區(qū)都遇到困難，學(xué)生學(xué)習的興趣降低，解題能力下滑，優(yōu)秀的學(xué)生不再喜歡數(shù)學(xué)，連奧林匹克優(yōu)勝者都不肯學(xué)習數(shù)學(xué)了。張院士根據(jù)教學(xué)實踐指出：“數(shù)學(xué)教育面臨的困難是多方面的，其中最重要的原因就是數(shù)學(xué)本身就難?！?/p>

面對這樣的困境，張院士指出：“如果數(shù)學(xué)教育面臨的困難來自數(shù)學(xué)知識本身的不足，這個困難就不可能由數(shù)學(xué)教育的努力而從根本上加以克服，只有數(shù)學(xué)上的創(chuàng)造活動，才能解決問題?！睘榇耍瑥堅菏刻岢鼋逃龜?shù)學(xué)的概念。教育數(shù)學(xué)就是遵循教育的普遍規(guī)律，針對不同的教育目的和功能，對數(shù)學(xué)成果再創(chuàng)造，讓每個學(xué)生都能得到不同的發(fā)展。數(shù)學(xué)教育只注重數(shù)學(xué)本身，著眼于數(shù)學(xué)的輸出和輸出的技巧，即教學(xué)的方法；而教育數(shù)學(xué)是對數(shù)學(xué)成果的再創(chuàng)造，需要數(shù)學(xué)創(chuàng)新。教育數(shù)學(xué)是對數(shù)學(xué)教程的再優(yōu)化：優(yōu)化教材內(nèi)容、優(yōu)化呈現(xiàn)方式、優(yōu)化測評內(nèi)容。為了詮釋這個宗旨，張院士提出了“把數(shù)學(xué)變?nèi)菀住钡目谔枴?/p>

三、三角下放在教學(xué)中的應(yīng)用

基于教育數(shù)學(xué)優(yōu)化教程的思想，張景中院士提出將三角形下放的建議。三角在幾何中處于核心位置，它是解決數(shù)學(xué)圖形的基本工具，三角形全等和三角形相似的相關(guān)定理貫穿了四邊形、圓的計算和證明；它也是將代數(shù)與幾何緊密地聯(lián)系到了一起；一次函數(shù)、二次函數(shù)、平面坐標系等重要的數(shù)學(xué)概念、計算都在運用三角知識；國旗的測量、燈塔有多高等實際問題的解決也需要三角的相關(guān)知識。

為了解決數(shù)學(xué)學(xué)習中的難題，優(yōu)化建議是在數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的突破口，教師一定要采用更多的教學(xué)方法，讓學(xué)生有新穎的解題思路，原有的教學(xué)方法如果過于刻板應(yīng)逐漸改善，幫助學(xué)生判斷數(shù)學(xué)問題的基本要素，找出數(shù)與數(shù)之間的數(shù)量或空間關(guān)系，滲透初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)之間連貫性的內(nèi)容，克服原有的思維定式。在現(xiàn)有的思維過程中解決實際問題，完善思維過程，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，實現(xiàn)新概念的理解，才能夠使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維瞬間被打通，防止學(xué)生將錯誤的理解帶入新知識中。張院士提出優(yōu)化的具體建議：“教育數(shù)學(xué)追求的目標是：簡單明快的邏輯結(jié)構(gòu)，平易直觀的概念和有力通用的解題方法?！痹趲缀晤I(lǐng)域，他利用面積法重新定義了三角，從根本上優(yōu)化了幾何的架構(gòu)，從概念的定義、邏輯結(jié)構(gòu)、解體思路進行創(chuàng)新。面積是基礎(chǔ)，三角是手段，創(chuàng)新解題思路、讓幾何變簡單是目的。面積法是張院士教育數(shù)學(xué)思想的結(jié)晶，三角是數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”思想的體現(xiàn)，是聯(lián)系幾何代數(shù)的橋梁，為初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的溝通搭建平臺。張院士打破常規(guī)，以面積為基礎(chǔ)，以三角入手，拋開在直角三角形中研究正弦的框架，提出了正弦的新概念。

他利用將正方形壓扁成小菱形的過程，形象地給出了正弦的概念：“我們將有一個角為∠A的單位菱形（邊長等于1）的面積，叫作∠A的正弦。記作：sin∠A或sinA。”邊都等于1的四邊形叫作單位菱形。單位菱形面積是度量平行四邊形面積的“工具”，其面積由夾角的大小確定。新的定義簡單、直觀，讓學(xué)生眼前一亮，豁然開朗。張奠宙先生曾這樣評價：“張景中先生建議在小學(xué)用菱形面積引入正弦是一項重大的創(chuàng)新?！闭壹热贿@樣定義，那么離開直角三角形余弦怎么定義？張院士巧妙地利用正弦與余角的概念進行定義：“一個角的余角的正弦，叫作這個角的余弦?！奔榷x了余弦，又推導(dǎo)出了正余弦之間的關(guān)系：cosα=sin（90°-α）。

在其他版本的數(shù)學(xué)教材中，正弦定理是三角相似之后才出現(xiàn)的，是解決直角三角形的邊角關(guān)系，沒有參與幾何證明。張景中先生不束縛于歐幾里得的幾何體系，利用正弦定理建立了一套學(xué)生更容易掌握的數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)。

（一）正弦定理與直角三角形的邊角關(guān)系

在直角三角形ABC中，我們利用直角三角形的面積算兩次的方法，通過簡單推理就可以得到銳角正弦的定義：在直角三角形中，銳角的正弦等于這個角的對邊與斜邊之比。

也可以進一步驗證正余弦之間的關(guān)系：cosA=sinB。

（二）正弦與三角形全等和三角形相似

在證明三角形全等的判定定理中共有五個定理：邊邊邊、邊角邊、角邊角、角角邊和直角三角形的斜邊直角邊定理。這五個定理在七年級學(xué)生學(xué)習時，既是重點也是難點。在七年級教學(xué)時，主要通過尺規(guī)作圖來對比驗證定理的存在性，也是尺規(guī)作圖的依據(jù)。

幾何入門，畫圖理解定理是基本方法。在北師大三角形全等判定定理教學(xué)時，我們要求學(xué)生以邊邊邊定理作為尺規(guī)作圖依據(jù)，按照條件：ASA、SAS、HL，畫出符合條件的兩個三角形，剪下這兩個三角形，它們重合。

先學(xué)正弦定理，我們可以嚴密證明SSS、ASA、AAS、HL，間接證明SAS。這對學(xué)生邏輯思維能力和推理能力的培養(yǎng)是一個很大的改進。當然，在七年級教學(xué)中，直觀畫圖理解與三角法證明要相結(jié)合。

在相似中，對于相似判定定理的教學(xué)，要借助三角形相似的性質(zhì)：“相似三角形，三邊對應(yīng)成比例?！睌?shù)學(xué)家項武義將其稱為“相似形基本定理”（見《古典幾何學(xué)》第25頁）。“重建三角”的優(yōu)越性就在于：我們利用正弦定理，可以簡明證明這一定理。學(xué)生提前掌握這一定理，奠定了三角形相似的學(xué)習基礎(chǔ)。順理推出相似三角形的概念。那么，利用兩角相等判定三角形相似就可以被“發(fā)現(xiàn)”了。事實上，基本定理“兩角對應(yīng)相等的三角形相似”是初中幾何應(yīng)用頻率最為廣泛的定理之一。

對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，可以在七年級滲透“相似形基本定理”，但相似三角形的相關(guān)知識可以不出現(xiàn)。

（三）正弦定理與共高定理、共邊定理、共角定理

對于三角下放的思想中，張景中先生提出“三共”方案。

共高定理是七年級必講的內(nèi)容，學(xué)生比較容易理解，可以在七年級開始進行滲透。特別是結(jié)合函數(shù)面積問題進行有針對性訓(xùn)練。對于共邊定理、共角定理，部分省市中考題也有涉及，可以在平時練習中進行針對性訓(xùn)練。

四、結(jié)語

在廣州等地嘗試性的課堂教學(xué)實踐表明，用面積定義正弦具有可行性。教育數(shù)學(xué)重新定義了正弦，又利用正弦定理貫穿了三共定理、三角形相似與全等、直角三角形邊角關(guān)系，搭建起了新的幾何體系。張院士的正弦概念已經(jīng)在科學(xué)性方面證明了合理性，但教學(xué)效果需要一線教師來實踐。我校實驗教師首先在七年級的一個普通班進行了角的正弦的教學(xué)實驗課。課堂教學(xué)表明，用“面積”“折扣”的方式比較直觀，符合七年級學(xué)生認知心理，降低了教學(xué)臺階，學(xué)生掌握新概念比較順利。又在生源不同的另外兩個班做了六個課時更深入的教學(xué)實驗。實驗表明，在初中七年級用菱形面積引入正弦是可行的，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維。直面教育難題，根據(jù)數(shù)學(xué)教育的目標，將三角下放，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，對數(shù)學(xué)進行概念重構(gòu)與體系重建，將會翻開數(shù)學(xué)教育改革的新篇章。