一道課本習(xí)題的溯源、破解與思考

張志剛 (山東省寧陽縣復(fù)圣中學(xué) 271400)

徐章韜教授提出，理想的課堂是“學(xué)術(shù)”“技術(shù)”“藝術(shù)”三“術(shù)”交織的課堂．作為教師，其修為要能“上通數(shù)學(xué)、下達(dá)課堂”，能做“頂天立地”之事．然三“術(shù)”的發(fā)展具有序列性，先要解決一些“技術(shù)”問題，首先表現(xiàn)在教師能深刻研讀教材，能看到教材背后的“微言要義”．課程教材承載的是傳統(tǒng)成熟內(nèi)容，是數(shù)學(xué)工作者集體智慧的結(jié)晶，不僅具備完整的學(xué)科知識(shí)體系，同時(shí)也是教師實(shí)施教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的重要材料，而作為教材重要組成部分的習(xí)題理應(yīng)置于顯著的位置上．眾多高考試題和競賽試題都是從課本例題或習(xí)題出發(fā)，經(jīng)過改編、綜合、拓展、嫁接而來，具體表現(xiàn)為：課本例題、習(xí)題數(shù)據(jù)的變更，課本例題、習(xí)題條件的拓展，課本例題、習(xí)題背景的變換，課本例題、習(xí)題的應(yīng)用等[1]．對(duì)典型習(xí)題的深度挖掘有利于我們發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)涵和本質(zhì)，“揭秘”題目背后的故事與歷史淵源，概括歸納深藏其中的思維主線，以此為中心推而廣之，可以收到以一敵百的良好成效．事實(shí)上，“小題深挖”“一題多法”“一題多變”“多題一法”充分體現(xiàn)了教學(xué)的簡約性功能，能在盡可能短的時(shí)間內(nèi)傳播盡可能多的數(shù)學(xué)思想，對(duì)題海戰(zhàn)術(shù)也是一種“反制”，歷來都是我國習(xí)題課教學(xué)的寶貴經(jīng)驗(yàn)，在繼承與發(fā)展的道路上，我們應(yīng)使其煥發(fā)新的生機(jī)．下面舉例說明．

1 題目再現(xiàn)

圖1

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書必修《數(shù)學(xué)5》(人教版2007年1月第3版，A版)第101頁習(xí)題3.4B組第2題：如圖1，樹頂A離地面am，樹上另一點(diǎn)B離地面bm，在離地面cm的C處看此樹，離此樹多遠(yuǎn)時(shí)視角最大？

2 問題剖析

2.1 問題探源

本題源于歷史上經(jīng)典的米勒問題．1471年，德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家米勒(Johannes Miller)向諾德爾(Christian Roder)教授提出了一個(gè)有趣的問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(即可視角最大)？上述最大視角問題因是米勒首先提出的，故被稱為“米勒問題”．米勒問題廣泛存在于各種實(shí)際問題中，例如探求欣賞一幅畫的最佳角度、足球比賽最佳射門點(diǎn)等．

2.2 數(shù)學(xué)模型

歷史上的米勒問題涉及的范圍是三維空間．作為實(shí)際問題，我們首先要做的是根據(jù)實(shí)物背景抽象出簡化的數(shù)學(xué)模型．相對(duì)于懸桿而言，地球的體積是相當(dāng)大的，我們可視地球表面為平面，為了簡化模型，同時(shí)忽略觀察者身高對(duì)答案的影響，可以設(shè)觀察者的身高為0，且懸桿在地面上的投影也為0，因?yàn)閼覘U垂直于地面，所以距點(diǎn)O相同距離的點(diǎn)所得可視角是相同的(圖2)．

圖2

2.3 問題轉(zhuǎn)化

將上述模型一般化，可得到如下數(shù)學(xué)問題：如圖3，設(shè)M,N是銳角∠AOB的一邊OA上的兩點(diǎn)，試在邊OB上找一點(diǎn)P，使∠MPN最大．

圖3

對(duì)上述米勒問題，我們有如下重要結(jié)論，不妨稱之為米勒定理：

米勒定理 設(shè)M,N是銳角∠AOB的一邊OA上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是射線OB上異于點(diǎn)O的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)△MNP的外接圓與射線OB相切于點(diǎn)P時(shí)，∠MPN最大．

證明如圖4，在射線OB上任取異于P的一點(diǎn)P′，連結(jié)MP′,NP′,NP′與圓相交于點(diǎn)C，易知∠MCN>∠NP′M．又因?yàn)椤螹CN=∠MPN,所以∠MPN>∠MP′N.得證．

圖4

3 問題解答

3.1 幾何視角

解法1由圓的幾何性質(zhì)探求張角最大值.

如圖5，DE是過點(diǎn)C且垂直于AB的直線，D為垂足．當(dāng)DE與過點(diǎn)A,B的圓相切時(shí)，切點(diǎn)記為C，此時(shí)∠ACB=α最大．

圖5

3.2 代數(shù)視角

解法2探索銳角∠ACB正切的最大值.

圖6

4 定理應(yīng)用

以米勒問題為背景的最大張角問題在歷年高考試題中屢見不鮮而又經(jīng)久不衰，如1986年高考全國卷理科第5題、2005年高考浙江卷理科第17題、2010年高考江蘇卷第17題等，若能從題設(shè)中挖掘、識(shí)別出隱含的米勒問題模型，將有效地突破思維瓶頸，大幅減少運(yùn)算量，降低思維難度，從而使問題順利獲解．倘若無法及時(shí)提取該模型，很容易成為考生難以逾越的一道鴻溝．值得關(guān)注的是，米勒問題在競賽數(shù)學(xué)中也頻頻亮相，需要引起足夠的重視.下面列舉幾例．

題1(2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第12題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定點(diǎn)M(-1,2),N(1,4)，點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)∠MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．(參考答案：1)

5 核心素養(yǎng)價(jià)值思考

從以上分析可以看出，米勒問題內(nèi)蘊(yùn)豐富，其解決過程需要直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，具有較高的挖掘價(jià)值．而直觀想象素養(yǎng)是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形來理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)．主要包括：借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析問題；建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路．[2]直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段．在數(shù)學(xué)研究的探索中，通過運(yùn)用直觀手段以及借助直觀展開想象從而發(fā)現(xiàn)結(jié)論、作出猜想的例子比比皆是．直觀想象在數(shù)學(xué)活動(dòng)中是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)．史寧中教授在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)解讀》中提出的案例5-9本質(zhì)上也是典型的米勒問題，他還以此為例說明了直觀想象素養(yǎng)的三個(gè)水平．

案例5-9足球場上豎立一個(gè)電影屏幕，屏幕高為L，底部距離地面為H．設(shè)一人站在足球場上，眼睛距離地面高度為h，r=H-h>0．問：此人應(yīng)該站在足球場上何處觀看電影，眼睛觀察屏幕上下沿形成的視角最大？

圖7

用豎直的線段AB表示屏幕,用EF表示站立的人,E點(diǎn)為眼睛的位置，觀察屏幕的上、下沿，形成視角θ=∠AEB，畫出平面圖(圖7)．學(xué)生能描述和表達(dá)數(shù)學(xué)問題：設(shè)AB=L,BD=H,CD=EF=h，求點(diǎn)F的位置，使得視角θ最大．如此，學(xué)生能夠建立事物的幾何圖形，體會(huì)圖形和數(shù)量的關(guān)系，即達(dá)到了水平一的標(biāo)準(zhǔn)．

圖8

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，直觀想象主要表現(xiàn)為以下四點(diǎn)：建立數(shù)與形的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物．米勒問題的解決過程是直觀想象素養(yǎng)的完美演繹，是數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想應(yīng)用的集中體現(xiàn)，是不可多得的訓(xùn)練素材和載體，極具教育價(jià)值．