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    精創(chuàng)模型建構(gòu)策略 強(qiáng)化模型意識(shí)培養(yǎng)

    2022-03-03 22:07:53蔣小芬
    關(guān)鍵詞:建構(gòu)策略模型建構(gòu)

    蔣小芬

    [摘 要]數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)注重?cái)?shù)學(xué)模型的建構(gòu)。通過“精選問題,挖掘建模素材”“緊扣思維,推進(jìn)建模進(jìn)程”“與‘實(shí)俱進(jìn),延伸模型實(shí)踐”三個(gè)途徑,幫助學(xué)生掌握建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的方法,從而強(qiáng)化學(xué)生模型意識(shí)的培養(yǎng),使學(xué)生養(yǎng)成以數(shù)學(xué)視角看待現(xiàn)實(shí)問題的習(xí)慣。

    [關(guān)鍵詞]模型建構(gòu);模型意識(shí);建構(gòu)策略

    [中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068(2022)35-0011-03

    小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要著重關(guān)注模型意識(shí),而經(jīng)歷模型建構(gòu)的過程才能強(qiáng)化模型意識(shí)的培養(yǎng)。

    模型建構(gòu)可以從學(xué)生熟悉的生活和已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā),引導(dǎo)他們將實(shí)際問題初步抽象成數(shù)學(xué)模型并加以解釋與運(yùn)用。經(jīng)歷模型建構(gòu)過程,學(xué)生將感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界;針對(duì)或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系,進(jìn)行分析、抽象、簡(jiǎn)化,提煉數(shù)學(xué)本質(zhì)特征,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界;學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言,以及采用多種形式的數(shù)學(xué)語言描述世界。

    一、模型建構(gòu)的現(xiàn)狀

    目前,學(xué)生對(duì)模型建構(gòu)存在習(xí)得性問題。筆者在實(shí)際教學(xué)中收集了學(xué)生在應(yīng)用模型時(shí)出現(xiàn)的問題,并從四個(gè)知識(shí)領(lǐng)域進(jìn)行分析歸類(如表1)。

    二、數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的有效策略

    如何結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)與困惑,讓學(xué)生有效地體驗(yàn)?zāi)P徒?gòu)、增強(qiáng)模型意識(shí)?如何促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的深度理解?筆者從以下方面進(jìn)行了有效的嘗試與實(shí)踐。

    1.精選問題,挖掘建模素材

    (1)生活化+沖突化,喚醒建模意識(shí)

    生活背景是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ),用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活情境并發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)。因此,教師可以從學(xué)生熟悉的生活背景中甄選素材作為基本內(nèi)容,讓學(xué)生激活并提取數(shù)學(xué)模型的邏輯雛形,在真實(shí)情境中揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)。選擇思維沖突化的問題情境,更能激發(fā)學(xué)生的思考欲望,使學(xué)生主動(dòng)求變、求通,充分激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性,以此喚醒學(xué)生的模型意識(shí)。

    【案例】減法的性質(zhì)

    學(xué)生學(xué)習(xí)減法的性質(zhì)a-(b+c)=a-b-c和a-(b-c)=a-b+c時(shí)會(huì)產(chǎn)生這樣的認(rèn)知沖突:為什么去掉括號(hào)后加減運(yùn)算就變了呢?教師可借用以下生活實(shí)例喚醒學(xué)生的模型意識(shí)(如表2)。

    通過具體實(shí)例喚醒學(xué)生的建模意識(shí),并使學(xué)生在認(rèn)知沖突中比較兩個(gè)模型,學(xué)生原先的認(rèn)知失衡便會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)檎J(rèn)知平衡。

    (2)直觀性+類比性,助推建模體驗(yàn)

    數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)需要數(shù)學(xué)活動(dòng)作為載體,所以教師要給學(xué)生提供直觀性、結(jié)構(gòu)性、類比性、全方位的材料,助推建?;顒?dòng),增強(qiáng)學(xué)生的建模體驗(yàn)。

    【案例】相交與平行

    筆者收集學(xué)生繪制的兩條直線的關(guān)系圖,有五種情況(如圖1)。

    學(xué)生先分小組討論直線的位置關(guān)系,再記錄分類理由,最后全班聚焦到一個(gè)問題上:①號(hào)作品中的兩條直線究竟有沒有相交?學(xué)生紛紛闡述觀點(diǎn)“不相交,因?yàn)闆]有‘交?!薄皶?huì)相交,因?yàn)橹本€是可以無限延長(zhǎng)的,當(dāng)延長(zhǎng)到一定程度后這兩條直線就會(huì)相交?!睂W(xué)生動(dòng)手展示延長(zhǎng)直線的過程,證明①號(hào)作品中的兩條直線最后會(huì)相交。

    ①號(hào)作品利用看似沒有交點(diǎn)的兩條直線引發(fā)學(xué)生的討論,使學(xué)生經(jīng)歷“推測(cè)—討論—?jiǎng)邮烛?yàn)證”的過程,并由此進(jìn)入深度學(xué)習(xí)的狀態(tài),增強(qiáng)了模型建構(gòu)的體驗(yàn)。

    2.緊扣思維,推進(jìn)建模進(jìn)程

    (1)聚類中抽象,模型螺旋成形

    數(shù)學(xué)模型并非針對(duì)單個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象或者數(shù)學(xué)特征,其本質(zhì)上具有典型的“類”的特征。因此,教師要為學(xué)生呈現(xiàn)豐富的表象,將概念簡(jiǎn)單化、整體化,促進(jìn)模型的建構(gòu)。

    【案例】正比例

    筆者匯聚“差不變”“乘積不變”“比值不變”三類變量實(shí)例,通過抽象、概括、辨析來引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)正比例的概念,將建構(gòu)正比例概念模型分成了三個(gè)層次。(如圖2)

    第一個(gè)層次的認(rèn)識(shí)是“變量”,即能在以上三類變量的具體情境中,體會(huì)兩個(gè)變量存在聯(lián)系。第二個(gè)層次是認(rèn)識(shí)正比例中兩個(gè)變量的變化方向:一個(gè)量增大另一個(gè)量也隨之增大。第三個(gè)層次是最終認(rèn)知節(jié)點(diǎn):兩個(gè)變量變化方向一致的同時(shí),擴(kuò)大或縮小的倍數(shù)也一樣,即兩個(gè)變量的比值不變,從而抽象出正比例的概念。

    通過三類不同的變量類型,學(xué)生經(jīng)歷了“相關(guān)聯(lián)—變化方向—比值一定”的抽象過程,最終順理成章地建構(gòu)正比例的概念。這也為后續(xù)反比例概念的教學(xué)奠定抽象、比較、符號(hào)化等建模基礎(chǔ)。

    (2)思辨中提煉,完善模型建構(gòu)

    課堂教學(xué)只有考慮學(xué)生的立場(chǎng)和整體視角,以及學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)、困惑點(diǎn),才能更有效地幫助學(xué)生在思辨異同的過程中提煉本質(zhì)特征,提高建模意識(shí),逐漸完善模型的建構(gòu)。

    【案例】“平行”的概念教學(xué)

    a.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?c.

    教師出示以上三個(gè)正方體,并提出以下問題。

    ①正方體a,同一個(gè)平面上的直線:

    問題:任選一個(gè)面,你能找到兩條互相平行的直線嗎?

    ②正方體b,異面的直線:

    問題:觀察[l1],[l2],這兩條直線,它們互相平行嗎?為什么?

    ③正方體c,看似異面實(shí)則共面的直線:

    問題:[l3],[l4],這兩條直線互相平行嗎?這兩條直線所在的面隱藏在哪里?

    最后展示平移直線,動(dòng)態(tài)生成第三個(gè)平面:

    此案例中,學(xué)生充分經(jīng)歷同一個(gè)平面、異面的兩條直線位置關(guān)系的辨析過程。在同一個(gè)平面上,不相交的兩條直線互相平行;在異面上,不相交的兩條直線有時(shí)平行,有時(shí)不平行,如果直線[l3]經(jīng)過平移可以與直線[l4]完全重合,那么平移[l3]所掃過的區(qū)域就是這兩條直線共屬的平面。在對(duì)看似異面實(shí)則共面的直線的辨析過程中,學(xué)生實(shí)現(xiàn)了深度思考,逐漸完善“在同一個(gè)平面內(nèi),兩條永不相交的直線互相平行”的數(shù)學(xué)模型。

    3.與“實(shí)”俱進(jìn),延伸模型實(shí)踐

    (1)結(jié)合實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),引導(dǎo)建模應(yīng)用

    學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型后,最終要在生活實(shí)際中驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的可行性,并應(yīng)用數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問題。

    【案例】圓柱的表面積

    問題:有一種圓柱形的茶葉罐,要對(duì)其進(jìn)行包裝,為了盡可能地避免浪費(fèi),應(yīng)該選擇怎樣的包裝方式?

    問題:給一根底面周長(zhǎng)為3.14平方分米、高為3.8米的柱子刷油漆,每平方米要刷0.7千克油漆,共需要多少油漆?

    問題:制作100個(gè)煙囪需要多少平方米的鐵皮?

    學(xué)習(xí)了圓柱的表面積后,學(xué)生已經(jīng)建立了豐富的表象,并初步建立了模型。為了實(shí)現(xiàn)更深刻的認(rèn)知,教師可引入生活實(shí)際問題,強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn),使學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解,體會(huì)數(shù)學(xué)模型的價(jià)值。

    (2)積累數(shù)學(xué)化經(jīng)驗(yàn),養(yǎng)成建模習(xí)慣

    建構(gòu)數(shù)學(xué)模型需要學(xué)生將問題數(shù)學(xué)化,用文字、圖形或者符號(hào)表達(dá)數(shù)量關(guān)系和一般性特征,形成建模的習(xí)慣。比如,在解答圖2中的“樂樂和爸爸的年齡”等問題時(shí),學(xué)生能主動(dòng)地用簡(jiǎn)單的符號(hào)來表達(dá)不同的關(guān)系(如表3)。

    學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)量關(guān)系,不但能養(yǎng)成用數(shù)學(xué)眼光看待問題的習(xí)慣,而且能在知識(shí)的梳理、反思學(xué)習(xí)中領(lǐng)會(huì)模型思想,不僅有效地解決了問題,還為后續(xù)學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),形成了良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

    (3)滲透模型意識(shí),延伸數(shù)學(xué)思維

    學(xué)生在經(jīng)歷建構(gòu)模型的過程中不僅要掌握建模方法,還要主動(dòng)追溯問題的核心和本質(zhì),從形式上、方法上、思想上去延伸數(shù)學(xué)思維。

    針對(duì)圓柱的表面積問題,教師可出示延伸數(shù)學(xué)思維的問題串,以引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的思考:回顧一下,我們已經(jīng)掌握了哪些圖形的表面積計(jì)算方法?你能畫出這些圖形的側(cè)面展開圖嗎?能用公式表示這些圖形的側(cè)面積的計(jì)算方法嗎?它們之間是否存在相同點(diǎn)?

    將學(xué)生思維局限于課堂并不能真正起到培養(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)的作用,所以教師可以將學(xué)生思維延伸到課外,引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)問題,組建項(xiàng)目化學(xué)習(xí)小組,關(guān)注自主學(xué)習(xí)過程,如此才能達(dá)到持續(xù)探究的目的。

    值得注意的是,模型意識(shí)的培養(yǎng)也應(yīng)做到以生為本。教師長(zhǎng)期堅(jiān)持強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)模型意識(shí)的培養(yǎng),使學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去看待問題、分析問題,感受現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著的大量數(shù)學(xué)知識(shí),并能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)將生活問題抽象、建構(gòu)成數(shù)學(xué)模型,從而能從解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題到解決一類數(shù)學(xué)問題,再到解決一般現(xiàn)實(shí)問題,形成模型觀念。

    (責(zé)編 吳美玲)

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