HPM視角下“三角形內(nèi)角和定理”的教學設計

200336 上海市仙霞高級中學 許 意

HPM是指數(shù)學史在數(shù)學教學中的滲透.筆者通過查閱三角形內(nèi)角和定理的相關資料，采用HPM視角開展教學，重組教學內(nèi)容，重構教學過程，借助數(shù)學史重現(xiàn)數(shù)學問題發(fā)現(xiàn)和解決的過程，幫助學生領悟數(shù)學問題解決的一般規(guī)律.

一、 歷史材料及其運用

公元前6世紀，古希臘數(shù)學家泰勒斯通過拼圖發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理.古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯、歐幾里得采用過三角形一個頂點作對邊的平行線的方法，將三個內(nèi)角轉化為一個平角.現(xiàn)行教材(如滬教版七下教材、蘇科版七下教材、滬科版八上教材)也大多采用這樣的方法.除添平行線法以外，法國數(shù)學家克萊羅在《幾何基礎》中給出了證明三角形內(nèi)角和定理的另一種方法.德國數(shù)學家提波特首次利用旋轉方法證明了三角形內(nèi)角和定理.查閱資料后，筆者認為證明方法大致可以分為添平行線法與不添平行線法.平行線的添加原理大致相同，學生較易理解，可以作為學生論證的基本方法.不添平行線的方法較難講解，可通過視頻資源和幾何畫板等現(xiàn)代教育技術手段輔助講解.本節(jié)課結合HPM的理論框架，運用附加式、順應式這兩種數(shù)學史教學方式，呈現(xiàn)知識形成的自然過程，幫助學生理解三角形內(nèi)角和定理.

二、 教學設計與實施

(一)三角形內(nèi)角和定理的發(fā)現(xiàn)

問題1三角形的三個內(nèi)角有怎樣的數(shù)量關系？

如圖1，教師邊講解邊使用幾何畫板演示三角形內(nèi)角和計算結果，使學生對三角形內(nèi)角和等于180°有直觀感受.

圖1

設計意圖：在小學階段，學生已認識三角形，并了解三角形內(nèi)角和為180°.通過幾何畫板的操作演示，學生直觀感受到隨著三角形形狀的改變，三角形三個內(nèi)角的大小也會改變，不變的是三個內(nèi)角和始終為180°.演示過程符合該階段平面幾何學習以實驗幾何為主的學習方式.

問題2是誰首先發(fā)現(xiàn)了三角形內(nèi)角和定理？

相傳，公元前6世紀，古希臘數(shù)學家泰勒斯在觀察工人裝修的過程中，通過觀察瓷磚的鋪設，發(fā)現(xiàn)了三角形內(nèi)角和為180°.

教師邊講述泰勒斯的故事，邊播放小視頻(視頻來源網(wǎng)站：嗶哩嗶哩，網(wǎng)址：https://www.bilibili.com/video/BV1j64y1Z7xk，圖2顯示了視頻的某一片刻).

圖2

設計意圖：有資料顯示，泰勒斯通過拼圖發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理.為使學生直觀感受泰勒斯的證明方法，筆者選用視頻資料演示證明過程.問題2中的證明采用實驗論證的方法.該種證明方式還可以討論將六個同樣大小的等邊三角形轉化為六個同樣大小的等腰三角形，或者將其替換成不等邊三角形來拼圖的情況.泰勒斯的證明方法不作為重點，可以啟發(fā)學生課后思考與研究.

泰勒斯是西方思想史上第一位有記載有名字留下來的思想家，他曾利用日影測量金字塔的高度，泰勒斯定理以他命名……在視頻網(wǎng)站中，可以找到泰勒斯在數(shù)學方面劃時代貢獻的相關介紹，且有些視頻以動畫形式呈現(xiàn)，在課堂上播放小視頻使數(shù)學史不再只是書本上的文字，真正實現(xiàn)搭建數(shù)學與人文、數(shù)學教學與學生探究的橋梁.

(二)三角形內(nèi)角和定理的證明

活動1歷史上有多位數(shù)學家對三角形內(nèi)角和為180°進行了研究.1809年，德國數(shù)學家提波特通過旋轉法證明了三角形的內(nèi)角和為180°.

教師通過視頻(圖3顯示了視頻的某一片刻)，演示旋轉法的證明過程：固定筆的中心，順時針或逆時針依次轉動圖中∠1、∠2和∠3的相應度數(shù).觀察三次轉動后筆尖的方向，即可發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和為180°.

圖3

設計意圖：活動1基于提波特的證明法，該法符合學生實驗幾何的學習經(jīng)歷，即通過平移、旋轉、翻折等運動方式，結合生活經(jīng)驗和幾何圖形經(jīng)驗，直觀感受幾何圖形的某些特性，并總結相關規(guī)律，從而引導學生對結論進行演繹推理，激發(fā)學生探究的興趣.

活動2關于三角形內(nèi)角和為180°的證明，不得不提起一個人，大家對他并不陌生，他就是畢達哥拉斯.我們今天就來研究一下他的證明方法.

教師介紹，學生完成證明過程:

如圖4，在△ABC的頂點A作直線EF∥BC，由平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”證得.

圖4

∵EF∥BC(已知)，∴∠EAB=∠B,∠FAC=∠C(兩直線平行，內(nèi)錯角相等).∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角的意義),∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代換).

設計意圖：泰勒斯從拼圖的實踐中發(fā)現(xiàn)了三角形內(nèi)角和，這樣的發(fā)現(xiàn)是實驗性的，但他并未證明該定理.畢達哥拉斯學派在泰勒斯的基礎上發(fā)現(xiàn)了更多的幾何定理，如“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”及其逆定理.知道平行線的上述性質(zhì)，再證明內(nèi)角和定理就是水到渠成的事了.滬教版教材也采用了該方法進行證明.同時，詳細講解畢氏證明法可以幫助學生理解歐幾里得、克萊羅的證明方式.

畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了奇數(shù)、偶數(shù)、素數(shù)、合數(shù)、完美數(shù)等，他證明了三角形內(nèi)角和定理，他還發(fā)現(xiàn)了黃金分割.畢達哥拉斯在幾何、代數(shù)領域的卓越成就值得學生了解和學習.在活動2中，學生自主完成證明過程，融入古人的發(fā)現(xiàn)旅程，提升對數(shù)學史研究的興趣，感受與偉人同行的成就感.

活動3畢達哥拉斯證明法的再探究

師：同學們，畢達哥拉斯的證明方法是過三角形的頂點作平行線，將三角形三個內(nèi)角轉化成平角，證得三角形內(nèi)角和為180°.請思考，如果將過三角形一個頂點改為過三角形邊上的任意一點添平行線，還能證明三角形內(nèi)角和為180°嗎？

學生以小組為單位，討論過三角形一邊上的任意一點作平行線，口述證明過程.

已知：如圖5，點M為AB上的一點，請說明∠A+∠B+∠C=180°.

圖5

過AB邊上的一點M作EF∥AC,GH∥BC.∵EF∥AC，∴∠A=∠2，∵GH∥BC，∴∠B=∠GMB.又∵∠GMB=∠3，∴∠B=∠3.同理可得∠C=∠1.∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.

師：通過同學們的討論，我們發(fā)現(xiàn)過三角形邊上的任意一點作平行線，也能將三角形三個內(nèi)角轉化為平角，證得三角形內(nèi)角和為180°.我們是否可以進一步將三角形三邊上的任意一點改為平面內(nèi)的任意一點進行證明呢？

學生再次嘗試，并證得結論.

已知：如圖6，點M為平面內(nèi)的一點，請說明∠A+∠B+∠C=180°.

圖6

過平面內(nèi)任意一點M作EF∥AC,GH∥BC，PQ∥AB.∵GH∥BC，∴∠3=∠4，∵PQ∥AB，∴∠B=∠4，∴∠B=∠3.同理可得∠C=∠1,∠A=∠2.∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.

設計意圖：活動3是整節(jié)課探究的重點.通過對畢達哥拉斯證明方法的再探究，學生感受化歸數(shù)學思想的魅力.畢達哥拉斯證明法的再探究使學生感受從特殊到一般的研究方法.從特殊到一般的研究過程符合人類認識事物的過程.數(shù)學學習的過程中，無論是公式還是定理，往往都是從特殊開始形成一般結論，解決其他相關問題.活動3中，從特殊點的添平行線法到平面內(nèi)任意一點添平行線的研究，學生對三角形內(nèi)角和定理產(chǎn)生更深層次的理解.

活動3的設計使學生有更強的成就感.牛頓曾說：“我比別人看得遠是因為我站在了巨人的肩膀上.”如果數(shù)學課堂僅停留在對歷史證明方法的介紹上，這節(jié)課只能稱為數(shù)學史拓展課.HPM視角下的數(shù)學教學強調(diào)知識產(chǎn)生的歷史動機與學生學習的動機.融入數(shù)學史的數(shù)學教學意義在于教授學生如何學以及怎么學.通過這節(jié)課的學習，學生對古代數(shù)學問題產(chǎn)生濃厚的興趣.從特殊到一般的證明過程也進一步激發(fā)了學生學習數(shù)學的積極性，所學即所用的方法使學生以數(shù)學獨有的嚴謹態(tài)度研究數(shù)學問題.

(三)三角形內(nèi)角和定理的形成

教師板書三角形內(nèi)角和定理，并將定理轉化為數(shù)學語言.

設計意圖：在學生認識到三角形內(nèi)角和為180°后，教師自然地給出三角形內(nèi)角和定理，至此學生完成了概念的建構和形成過程.

(四)三角形內(nèi)角和定理的鞏固與內(nèi)化

例題在△ABC中，∠B=35°，∠C=55°，求∠A的度數(shù)，并判斷△ABC的形狀.

練習五邊形ABCDE的內(nèi)角和等于多少度？你能運用三角形內(nèi)角和定理加以證明嗎？

設計意圖：設置例題的目的是為學生進行示范，有利于學生的參與和探索，感受數(shù)學學習的完整性；有利于培養(yǎng)學生的語言表達能力，使學生體會數(shù)形結合的思想.

練習題的設計建立在學生已有的認知水平及知識經(jīng)驗的基礎上，具有一定的挑戰(zhàn)性.引導學生通過聯(lián)結對角線，將五邊形的內(nèi)角和轉化為三角形內(nèi)角和進行探究.將一個問題由難化易、由未知化已知的解題策略，旨在激發(fā)學生探究的欲望，讓學生體會化歸的數(shù)學思想.

三、 教學設計立意解析

(一)HPM視角下教學內(nèi)容的再整合

三角形內(nèi)角和定理是平面幾何中最重要的定理之一.教材強調(diào)實驗幾何中的操作部分，強調(diào)演繹推理，忽視結論發(fā)現(xiàn)的曲折過程，忽視數(shù)學知識產(chǎn)生的類比與歸納過程.數(shù)學本身在不斷發(fā)展(不斷發(fā)現(xiàn)問題并解決問題)的過程中得到完善.三角形內(nèi)角和定理本身有著悠久的歷史，有著眾多精彩的證明方法.在這節(jié)課中，筆者改變思路，將數(shù)學史融入三角形內(nèi)角和定理教學，與學生一同經(jīng)歷三角形內(nèi)角和定理的發(fā)現(xiàn)，探究不同的論證方法以及該定理的應用，體驗豐富的人文與歷史底蘊.

(二)HPM視角下教學手段的再整合

融入數(shù)學史的課堂需要學生知識體系的整合，還需要學生認知體系的整合.因此，現(xiàn)代教育技術的加入改變了傳統(tǒng)授課模式，以動態(tài)的形式精準地表現(xiàn)數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程.

例如，在對三角形三個內(nèi)角的數(shù)量關系的探究中，選用幾何畫板度量三角形三個內(nèi)角的大小，既能使學生有直觀的感受，又能達到數(shù)形結合的目的.在介紹畢達哥拉斯生平故事時，筆者播放了網(wǎng)絡上查找到的動畫視頻.視頻的播放使學生視覺與聽覺得以整合，增加書面材料的感染力，同時突破時間、空間上的局限，激發(fā)學生在課堂中的參與度與心理上的認同感.又如，介紹1809年德國數(shù)學家提波特提出的旋轉法時，視頻資源使原本晦澀難懂的證明原理變得清晰易懂，將抽象的過程以簡單準確的方式呈現(xiàn)，幫助學生理解該種方法的簡便性與可操作性.

筆者通過對數(shù)學史資料的查閱、網(wǎng)絡資源的查找，在三角形內(nèi)角和定理教學中，借助多媒體技術將數(shù)學史與教學內(nèi)容緊密結合，學生參與度高，學習的主體地位得到尊重.學生學習興趣高漲、學習氛圍濃厚，課堂教學效果顯著.與數(shù)學史相結合的課堂教學對教師自身素養(yǎng)的要求較高，在今后的教學中，如何將隱形的歷史融入顯性的數(shù)學學習中，將是筆者繼續(xù)努力的方向.