信息技術(shù)助力 豐富概念教學(xué)
——以“5.2函數(shù)(1)”為例

?浙江省象山縣大目灣實驗學(xué)校 王 偉

1 問題的提出

有些數(shù)學(xué)概念是抽象邏輯思維的產(chǎn)物，沒有客觀實在與之對應(yīng)，往往由于教學(xué)手段的限制而令學(xué)生“望而卻步”.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》(以下簡稱《課標》)指出：利用信息技術(shù)豐富教學(xué)場景，利用數(shù)學(xué)軟件開展數(shù)學(xué)實驗，從而改進教學(xué)方式，促進學(xué)生學(xué)習方式轉(zhuǎn)變[1].如何將信息技術(shù)融入教學(xué)，改善學(xué)生的學(xué)習方式，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)問題的理解，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)？筆者對此進行了積極的探索.下面以浙教版八年級上冊“5.2函數(shù)(1)”為例，談?wù)劰P者的實踐與思考.

2 教學(xué)過程

2.1 情境創(chuàng)設(shè)，經(jīng)歷概念的產(chǎn)生過程

上節(jié)課我們學(xué)習了常量和變量，知道可以取不同數(shù)值的量叫做變量.那么，現(xiàn)實生活中的這些變量在變化過程中有什么關(guān)系呢？下面來探究一些實例.

實例1小慧的姐姐是一名大學(xué)生，暑假去某餐飲店打工，報酬是15元/h，設(shè)小慧的姐姐這個月工作的間為th，應(yīng)得報酬為m元，填寫表1：

表1 報酬與工作時間關(guān)系

(1)在這個變化過程中，有幾個變量？分別是什么？誰隨著誰的變化而變化？

(2)給定一個t的值，我們可以得到幾個對應(yīng)的m的值？t與m的數(shù)量關(guān)系是什么？

(1)在這個變化過程中，有幾個變量？分別是什么？誰隨著誰的變化而變化？

(2)給定一個v的值，可以算出幾個相應(yīng)的s的值？

實例3按照如圖1的數(shù)值轉(zhuǎn)換器，試任意輸入一個x的值，根據(jù)y與x的數(shù)量關(guān)系求出相應(yīng)y的值.

教師出示VB編程的數(shù)值轉(zhuǎn)換器,如圖2.

圖1

圖2

(1)在這個變化過程中，有幾個變量？分別是什么？誰隨著誰的變化而變化？

(2)任給一個x的值，可以得出幾個相應(yīng)的y的值？

總結(jié)歸納：當變量t，v，x確定時，m，s，y分別隨之唯一確定.

設(shè)計意圖：函數(shù)本質(zhì)屬性的揭示，應(yīng)建立在大量的函數(shù)原型分析的基礎(chǔ)上.此環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)了三個圍繞函數(shù)概念構(gòu)成因素的代表性問題情境.學(xué)生通過觀察、識別、比較等認知行為提取出與概念相關(guān)的關(guān)鍵信息，再進行計算、分析、比較等思考后確定抽象的對象是變量之間的關(guān)系，對函數(shù)的本質(zhì)屬性有了初步理解.信息技術(shù)亮點是在VB編程的數(shù)值轉(zhuǎn)換器的計算活動中，使學(xué)生直觀地感知到函數(shù)的本質(zhì)屬性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣和探究欲望.教師適時給出VB編程的數(shù)值轉(zhuǎn)換器的代碼，并揭示其本質(zhì)是關(guān)系式y(tǒng)=2x-1，讓學(xué)生接觸到信息的核心內(nèi)容“編程語言”，以培養(yǎng)學(xué)生對信息技術(shù)的興趣，反過來學(xué)生也會體會到信息技術(shù)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)知識.

2.2 問題引導(dǎo)，經(jīng)歷概念的抽象過程

根據(jù)上述分析，進行歸納概括.

問題1拋開實際背景，上述三個情境中的變量和變量關(guān)系都有哪些共同特征？

問題2這些特征是否適用于一般的同類型的變量關(guān)系？

教師在聆聽學(xué)生觀點的基礎(chǔ)上對它們的共同特征進行總結(jié)性講解：每組關(guān)系都涉及兩個變量；對于其中一個變量的每一個確定的值，另一個變量都有唯一確定的值與之對應(yīng).這樣的變量關(guān)系在數(shù)學(xué)上稱為函數(shù)(揭示課題).

問題3嘗試用文字語言給函數(shù)下定義.

定義精致化后得到：一般地，在某個變化過程中，設(shè)有兩個變量x，y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，x叫做自變量.

設(shè)計意圖：在明確研究的對象是變量關(guān)系時，學(xué)生通過比較、歸納、概括等復(fù)雜思考提取共性(變量的規(guī)律及變量之間的關(guān)系)后建立清晰的函數(shù)概念表象，感受到了更高層次的數(shù)學(xué)抽象，積累了抽象概括的活動經(jīng)驗.在用數(shù)學(xué)語言對函數(shù)概念加以表征時，八年級的學(xué)生還缺乏相關(guān)的經(jīng)驗和能力，此時需教師加以引導(dǎo).

2.3 交流辨析，內(nèi)化理解概念

活動1：下列關(guān)系式中，y是不是x的函數(shù)？為什么？①y=x；②y=x2；③y2=x.

活動2：再舉一個函數(shù)的實例.(小組合作)

教師舉例：如圖3所示是某城市12個月平均最高氣溫變化圖.

圖3

(1)T是關(guān)于m的函數(shù)嗎？為什么？

(2)該城市4月的平均最高氣溫大約是多少？12月呢？

圖4

設(shè)計意圖：活動1借助希沃白板的課堂活動分組競爭的比賽(如圖4)，學(xué)生完成了對關(guān)系式是不是函數(shù)的辨別.用游戲的方式調(diào)動了學(xué)生學(xué)習的興趣和參與的主動性.①②是正例，③是反例，讓學(xué)生明確概念的外延.追問為什么，進一步加深學(xué)生對函數(shù)的理解.活動2則是通過學(xué)生舉例，體會函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中變量關(guān)系的重要的工具，促進學(xué)生對概念外延的進一步理解.教師舉例，某城市12個月平均最高氣溫變化圖讓學(xué)生產(chǎn)生認知沖突(學(xué)生之前一般只具有表格、等式表示函數(shù)的經(jīng)驗)，進一步拓展了概念的外延，并為學(xué)生了解圖象法做好鋪墊.

2.4 合作探究，感悟概念的衍生過程

問題探究：觀察前面的例子，你認為函數(shù)可以用哪些形式來表示？

歸納總結(jié)得到：列表法、解析法、圖象法.

我們把自變量x取一個確定的值，對應(yīng)的y的值稱為函數(shù)值.從上面的分析，你能告訴大家，對于用不同方法表示的函數(shù)，如何求函數(shù)值？

歸納總結(jié)得到：查表、代入、作圖.

設(shè)計意圖：回顧實例，學(xué)生在探究活動中感悟到歸納思想，提煉出函數(shù)的三種表示方法，即列表法、解析法、圖象法.學(xué)生參與從一般的函數(shù)值定義到三種不同表示方法的函數(shù)值求法的活動，再次體會函數(shù)自變量與因變量“單值對應(yīng)”的關(guān)系，突出函數(shù)的本質(zhì)屬性.

2.5 典例分析，掌握概念的應(yīng)用方法

研究函數(shù)中兩個變量之間的關(guān)系，掌握它們的變化規(guī)律，有利于人們解決日常生活中的實際問題.

例1國內(nèi)投遞快遞需收取快遞費，快遞費價格包括首重價格和續(xù)重價格，其中續(xù)重價格和質(zhì)量關(guān)系如表2.

表2 快遞續(xù)重價格與質(zhì)量關(guān)系

(1)y是x的函數(shù)嗎？為什么？

(2)分別求當x=400，1 200，1 500，2 300時相應(yīng)的函數(shù)值.

(3)若續(xù)重價格為4元，能確定此快遞續(xù)重質(zhì)量嗎？

例2如圖5所示是小明放學(xué)回家的折線圖，其中t表示時間(單位：min)，s表示離開學(xué)校的路程(單位：m).請根據(jù)圖象回答下面的問題：

(1)這個函數(shù)反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？

(2)求當t=2時的函數(shù)值，并說明它的實際意義.

(3)小明回家途中有沒有停留？停留了多長時間？

圖5

圖6

設(shè)計意圖：學(xué)生在快遞運費、路程兩個具有代表性問題的解決中，經(jīng)歷概念的“具體—一般—具體”的過程，形成利用函數(shù)的觀點認識現(xiàn)實世界的意識，體會蘊含在應(yīng)用過程中的函數(shù)思想和方法.快遞運費問題改編自課本平信郵資問題，更符合學(xué)生的生活經(jīng)驗.信息技術(shù)的亮點是借助希沃白板的功能，手機拍攝學(xué)生解題過程并將其迅速上傳到屏幕，便于學(xué)生觀看、互評，起到及時反饋的作用.計時器(圖6)提高學(xué)生的注意力，培養(yǎng)學(xué)生時間管理能力，增強解題效果.

2.6 梳理提煉，歸納概念的學(xué)習套路

本節(jié)課大家學(xué)到了函數(shù)的哪些知識？

師生交流后梳理出本節(jié)課的知識框圖(圖7).

圖7

設(shè)計意圖：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過梳理、交流，重組相關(guān)知識點，厘清函數(shù)的來龍去脈，將函數(shù)扎實地納入已有的認知結(jié)構(gòu)中，完善了知識體系.知識框圖揭示了概念學(xué)習的基本套路，即概念抽象、概念辨析、概念應(yīng)用、下位概念.掌握概念學(xué)習的基本套路，有助于學(xué)生進行自主學(xué)習和研究，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3 教學(xué)思考

3.1 遵循規(guī)律，形成函數(shù)概念

概念教學(xué)的一般思路：問題引入—抽象概念—概念辨析—概念應(yīng)用—概念梳理[2].從教學(xué)過程看，筆者緊緊圍繞函數(shù)概念展開建構(gòu)，從變量關(guān)系的視角出發(fā)探究實例，注重啟發(fā)學(xué)生歸納提煉其中蘊含的共同特征，再逐步抽象出概念，形成初步的抽象能力；通過正反例、學(xué)生舉例、教師舉例進行概念辨析；通過概念衍生，獲得函數(shù)的三種表示方式及函數(shù)值的意義；通過概念應(yīng)用，初步形成模型觀念；通過概念梳理，形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系；學(xué)生在學(xué)習過程中自然積累概念學(xué)習的經(jīng)驗.

3.2 技術(shù)助力，改善學(xué)習方式

《課標》指出：注重信息技術(shù)與教學(xué)的融合，改進教學(xué)方式，促進學(xué)生學(xué)習方式轉(zhuǎn)變[1].在教學(xué)活動中，創(chuàng)設(shè)多個融入信息技術(shù)的學(xué)習活動.如數(shù)值轉(zhuǎn)換器問題，學(xué)生通過程序，直觀地感受到任意輸入一個數(shù)，由關(guān)系式得到一個對應(yīng)的數(shù)；借助希沃白板的拖動功能得到函數(shù)的完整定義；以游戲PK賽的形式完成關(guān)系式是不是函數(shù)的辨別；學(xué)生在操作中理解函數(shù)的定義.在知識應(yīng)用環(huán)節(jié)，借助手機拍照，將學(xué)生解題過程迅速上傳到屏幕，為學(xué)生自主學(xué)習提供更快捷的平臺.上述活動，使學(xué)生感受到多媒體技術(shù)的創(chuàng)新，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習的興趣，提高了學(xué)生參與的主動性，最終為數(shù)學(xué)學(xué)習形式帶來新的氣象和新的內(nèi)涵.

3.3 設(shè)置問題鏈，培養(yǎng)抽象思維

史寧中教授認為抽象有兩個層次，一是從感性具體到理性具體，二是符號化，這既要求學(xué)生能將現(xiàn)實的問題數(shù)學(xué)化，又要求學(xué)生能從提取到的數(shù)學(xué)要素中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系、概念、命題等.筆者首先創(chuàng)設(shè)了三個圍繞函數(shù)概念構(gòu)成因素的代表性問題情境并設(shè)置類似的問題鏈，(1)在這個變化的過程中，有幾個變量？分別是什么？誰隨著誰的變化而變化？(2)給定一個變量的值，我們可以得到幾個對應(yīng)的變量的值？(3)一個變量確定，另一變量是否隨之唯一確定？接著在此基礎(chǔ)上再提問，(4)拋開實際背景，上述三個情境中的變量和變量關(guān)系都有哪些共同特征？這些特征是否適用于一般的同類的變量關(guān)系？問題(1)從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題“變量及變量之間的變化規(guī)律”.問題(2)和問題(3)通過對變量的分析建立了兩個變量之間的依賴關(guān)系.問題(4)通過對不同背景之間的變量關(guān)系進行比較、抽象出函數(shù)概念的本質(zhì)屬性.在這一過程中學(xué)生經(jīng)歷了函數(shù)概念螺旋式上升的抽象過程，不僅促進其思維由直覺思維向抽象思維轉(zhuǎn)變，而且提升了其數(shù)學(xué)抽象思維的層次.