強(qiáng)化代數(shù)推理教學(xué) 提高學(xué)生核心素養(yǎng)*

?南京市江寧區(qū)教學(xué)研究室 黃秀旺

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱《2022年版課標(biāo)》)首次提出了“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，并指出推理能力是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一.雖然我國的數(shù)學(xué)教學(xué)歷來都十分重視對學(xué)生推理能力的培養(yǎng)，但在具體實施過程中，卻過分依賴“幾何”知識培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，而忽視了利用“代數(shù)”知識培養(yǎng)學(xué)生推理能力.本文中首先闡述對“代數(shù)推理”的認(rèn)識，然后分析代數(shù)教學(xué)中在培養(yǎng)推理能力方面存在的主要問題，最后指出代數(shù)推理教學(xué)的三個階段.

1 對代數(shù)推理的認(rèn)識

早在1963年，在前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育體系影響下，教育部頒布了《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(草案)》，從此我國數(shù)學(xué)教育體系初步形成.該大綱首次明確提出了“培養(yǎng)學(xué)生正確而迅速的計算能力、邏輯推理能力和空間想象能力”的目標(biāo)，這個階段邏輯推理能力的培養(yǎng)主要體現(xiàn)在幾何知識的教學(xué)中.

義務(wù)教育之前，初中數(shù)學(xué)教材一直按《代數(shù)》與《幾何》分別編寫，其中《代數(shù)》4本，《幾何》2本.有很多學(xué)校的數(shù)學(xué)教師只教《代數(shù)》，有的只教《幾何》，于是出現(xiàn)了張三是代數(shù)老師，王五是幾何老師的中國特色“稱謂”.這個時候“自上而下”人為地把原本一體的數(shù)學(xué)知識分為代數(shù)、幾何兩部分.大部分教師認(rèn)為主要通過幾何教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，這勢必削弱了對學(xué)生推理能力的培養(yǎng)力度.

2001年《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿)》頒布后，課程內(nèi)容分為“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計與概率”“實踐與綜合應(yīng)用”四個領(lǐng)域，相應(yīng)的教材便采用“混編”的形式，從根本上結(jié)束了義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教材“分科”的歷史.這樣一來，培養(yǎng)推理能力的“載體”理所當(dāng)然地包含“代數(shù)”內(nèi)容，但是仍然沒有引起教師們的足夠重視，在推理能力培養(yǎng)上還是以幾何教學(xué)為主.

目前隨著《2022年版課標(biāo)》的頒布，教師應(yīng)徹底轉(zhuǎn)變主要依賴幾何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的觀念，重視代數(shù)推理在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)方面的作用.

(1)培養(yǎng)推理能力是整個數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)

《2022年版課標(biāo)》指出:“推理能力主要是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力.”[1]從推理能力的界定上看，推理能力不是幾何“獨屬”的一個名詞.在整個數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，都要把培養(yǎng)學(xué)生的推理能力作為首要的任務(wù).在實際教學(xué)中，無論講授的內(nèi)容屬于哪個領(lǐng)域，我們都要充分發(fā)揮具體知識所承載的培養(yǎng)推理能力的作用，既要讓學(xué)生掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識，又要利用這些知識來培養(yǎng)、發(fā)展和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力.

(2)新課標(biāo)對代數(shù)推理提出了明確的要求

在以往的數(shù)學(xué)《教學(xué)大綱》或《課程標(biāo)準(zhǔn)》中都沒有出現(xiàn)“代數(shù)推理”的字樣，《2022年版課標(biāo)》在“課程內(nèi)容”中明確提出了“了解代數(shù)推理”[1]的要求，特別強(qiáng)調(diào)了代數(shù)推理問題.新課標(biāo)表述“推理”的詞有很多“散現(xiàn)”于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，例如“能利用乘法公式進(jìn)行簡單的推理”“通過基于符號的運(yùn)算和推理，建立符號意識，感悟數(shù)學(xué)結(jié)論的一般性，理解運(yùn)算方法與運(yùn)算律的關(guān)系，提升運(yùn)算能力”[1]等.因此加強(qiáng)代數(shù)推理教學(xué)符合《2022年版課標(biāo)》的要求.

代數(shù)推理是以代數(shù)知識為背景，通過邏輯推理解決數(shù)學(xué)問題的過程.它比幾何論證更加抽象，對思維能力、邏輯論證能力要求更高，更能“反映”學(xué)生抽象思維能力的層次.在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容的教學(xué)中，“計算”是核心，這種計算要依據(jù)一定的“原理”(公式、法則、運(yùn)算律等)，在計算中處處含有推理(算理)的過程.現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系往往有其自身的規(guī)律，用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)刻畫這種數(shù)量關(guān)系或變量關(guān)系的過程中，也不乏分析、判斷和推理.這是一個經(jīng)歷觀察、猜想、歸納、證明的過程，是一個既有合情推理又有演繹推理的過程[2].

代數(shù)推理同幾何推理一樣，也包括演繹推理、歸納和類比推理.例如，從若干運(yùn)算結(jié)果中歸納出有關(guān)運(yùn)算規(guī)律，就是歸納；根據(jù)運(yùn)算法則推演出運(yùn)算的規(guī)律或者公式，就是演繹；而根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則得到無理數(shù)的運(yùn)算法則、實數(shù)的運(yùn)算法則等就是類比[3].

2 代數(shù)推理教學(xué)的現(xiàn)狀

自2001年課程改革以來，教師沒有發(fā)揮好“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容在學(xué)生推理能力培養(yǎng)方面“應(yīng)有”的作用，突出表現(xiàn)在兩個方面.

(1)教師研讀教材的力度不夠

《2022年版課標(biāo)》指出:“數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、知識結(jié)構(gòu)和基本線索，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源.”[1]在教材的編寫過程中，由于受篇幅的限制，教材隱去了很多知識的產(chǎn)生過程或利用知識解決問題的過程，其實這些過程中蘊(yùn)含著大量的推理思想.教師在研讀教材時，應(yīng)該把這些“省略”的推理過程“挖掘”出來.而在教學(xué)中是否“補(bǔ)充”給學(xué)生，要根據(jù)學(xué)生的實際接受能力而定，即使不能“補(bǔ)充”，教師也要在心中整體把握這個完整的推理過程.

例1(青島版教材中的例題)在下列各題中的空格處，分別填上大于號或小于號(“>”或“<”)，并說明理由.

(1)2.50； (2)-10；

(3)1-100； (4)-3-2.

解：(1)2.5>0(正數(shù)大于0)；

(2)-1<0(負(fù)數(shù)小于0)；

(3)1>-100(正數(shù)大于一切負(fù)數(shù))；

(4)-3<-2(在數(shù)軸上，右邊的點所表示的數(shù)比左邊的點所表示的數(shù)大).

設(shè)計意圖：設(shè)置此例題，一是利用法則比較兩個有理數(shù)的大小，二是培養(yǎng)學(xué)生的說理意識.由于學(xué)生剛升入初中，說理能力比較弱，因此教材采用了“把比較兩數(shù)大小的依據(jù)填在結(jié)論后面的括號內(nèi)”的處理方式，這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生的說理意識.

教師在講課時，可以按照上面的過程進(jìn)行.但是教師在研讀本課教材時，應(yīng)該明確本題實質(zhì)上完整地體現(xiàn)了“三段論”的推理模式.以第(3)小題為例說明如下：因為正數(shù)大于負(fù)數(shù)(大前提)，-100<0，1>0(小前提)，所以-100<1(結(jié)論).

有些大學(xué)師范生初到教學(xué)崗位時，總覺得初中數(shù)學(xué)太簡單，課堂上需要講的內(nèi)容太少.果真如此嗎？

(2)教學(xué)過程過于簡略

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，過程教學(xué)意義重大.由于揭示知識發(fā)生、發(fā)展的過程“費時費力”，因此很多教師往往直接給出結(jié)果，這樣容易導(dǎo)致學(xué)生對知識的理解不深刻，同時也失去了培養(yǎng)學(xué)生推理能力的“機(jī)會”.

=2×14=28.

設(shè)計意圖：很多教師在研讀教材時沒下功夫，教學(xué)中又不重視過程，就直接按照上面的解法講給學(xué)生，這樣就錯過了培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力的一次“機(jī)會”.

本題的解答過程其實隱含了涉及二次根式性質(zhì)的兩步推理過程：

在課堂教學(xué)中必須把推理過程“還原”給學(xué)生，按照上面的兩步推理過程書寫，這樣就能幫助學(xué)生養(yǎng)成解答數(shù)學(xué)問題時做到步步有據(jù)的習(xí)慣，有助于學(xué)生代數(shù)推理能力的形成與提高.

從這個角度看，這不僅僅是一個計算題，同時也是一道推理題.學(xué)生通過解答既加深了對二次根式的性質(zhì)、二次根式乘法的理解，又增強(qiáng)了運(yùn)算能力，還能“感悟”到代數(shù)推理的過程，久而久之，學(xué)生的推理能力自然得到提升.

3 代數(shù)推理教學(xué)的實施

《2022年版課標(biāo)》指出：“數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生形成抽象能力、推理能力和模型觀念，發(fā)展幾何直觀和運(yùn)算能力.”[1]初中階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域包括“數(shù)與式”“方程與不等式”和“函數(shù)”三個主題，這些內(nèi)容是學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號，以及感悟用數(shù)學(xué)符號表達(dá)事物的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律的關(guān)鍵內(nèi)容，是學(xué)生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界的重要載體.教師在教授這些內(nèi)容時，既要傳授好這些基礎(chǔ)知識，還要以這些內(nèi)容為“載體”培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).代數(shù)推理能力的培養(yǎng)可以劃分為三個階段.

(1)以探索發(fā)現(xiàn)為主，旨在培養(yǎng)合情推理能力

在規(guī)范學(xué)習(xí)幾何“證明”之前，代數(shù)推理表現(xiàn)為“合情推理”的方式.在這個階段的教學(xué)中，教師以“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的知識點為載體，創(chuàng)設(shè)問題情境，開展觀察、實驗、猜想(類比與歸納)等活動；在活動的過程中，學(xué)生能憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果，提高合情推理能力.

例3(蘇科版教材中的一道復(fù)習(xí)題)3個朋友在一起，每兩人握一次手，他們一共握了幾次手？4個朋友在一起呢?n個朋友在一起呢？

學(xué)生合情推理能力的提升過程不同于一般數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與技能的獲取過程，需要在問題的引導(dǎo)下“悟”出來.根據(jù)“引導(dǎo)學(xué)生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題”[1]的要求，教師要在第一階段的教學(xué)中認(rèn)真研讀“數(shù)與代數(shù)”方面的內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，設(shè)計系列問題串，以引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)，不斷發(fā)展合情推理能力.

(2)以演繹推理為主，旨在培養(yǎng)推理論證能力

學(xué)生在學(xué)習(xí)了幾何“證明”后，掌握了幾何證明的基本模式，在敘述證明的過程中能使用“∵……，∴……”的符號語言.推理進(jìn)入邏輯推理階段，以培養(yǎng)推理論證能力為主.這時在“數(shù)與代數(shù)”方面內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，也要利用這種推理模式培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力.

因為x10，x1-x2<0．

所以，當(dāng)x<0時,y隨x的增大而減小.

同理可證，當(dāng)x>0時,y也是隨x的增大而減?。?/p>

設(shè)計意圖：初中階段都是通過分析函數(shù)表達(dá)式和函數(shù)圖象來探究函數(shù)性質(zhì)的(是合情推理)，沒有對性質(zhì)進(jìn)行證明(是基于課程標(biāo)準(zhǔn)的要求).事實上，學(xué)生已具備證明所需的知識及能力，因此教學(xué)中可適度拓寬要求，加強(qiáng)演繹推理以滿足部分學(xué)生發(fā)展的需求．

例5已知函數(shù)y=x2+2mx-2m-1(m為常數(shù))．

(1)當(dāng)m=-1時，此函數(shù)的圖象與x軸有幾個交點？

(2)求證：不論m為何值，該二次函數(shù)的圖象與x軸總有公共點．

解：(1)當(dāng)m=-1時，y=x2-2x+1．

由Δ=(-2)2-4×1×1=4-4=0，可知一元二次方程x2-2x+1=0有兩個相等的實數(shù)根．

所以，此函數(shù)的圖象與x軸只有1個交點.

(2)證明：因為方程x2+2mx-2m-1=0的根的判別式Δ=4m2-4(-2m-1)=4(m+1)2≥0，所以方程x2+2mx-2m-1=0有實數(shù)根．

因此，不論m為何值，該二次函數(shù)的圖象與x軸總有公共點．

設(shè)計意圖：本題的第(1)問雖然是解答題，但是解答過程離開演繹推理是沒法進(jìn)行的；本題的第(2)問要按照“幾何”證明的格式寫出證明過程.本題表面看是考查學(xué)生對一元二次方程根的判別式、拋物線與x軸的交點等知識的掌握情況，深層看是以這些知識為“載體”，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

(3)合情與演繹推理相融合，旨在提升推理能力

經(jīng)過第二個階段，學(xué)生具備了按照演繹推理形式對有關(guān)“數(shù)與代數(shù)”的結(jié)論進(jìn)行證明的技能，此階段的代數(shù)教學(xué)宜采用“合情推理和演繹推理相輔相成”的方式，讓學(xué)生經(jīng)歷從合情推理到演繹推理的閉環(huán)，有利于提高學(xué)生的代數(shù)推理能力.

例6(蘇科版教材中的一道復(fù)習(xí)題)計算下列各式，你得到什么結(jié)論?試用字母表示數(shù),并說明結(jié)論的正確性.

8×8-7×9；11×11-10×12；80×80-79×81.

設(shè)計意圖：本題包含“探索—證明”兩個環(huán)節(jié)，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生先觀察幾個算式的結(jié)構(gòu)特點，然后再計算.如果學(xué)生直接按運(yùn)算順序計算，教師暫不評論，在得到結(jié)果后(都為1)再引導(dǎo)學(xué)生觀察算式的特征，在此基礎(chǔ)上利用合情推理進(jìn)行大膽猜想，并引入符號，將猜想表示為“n2-(n-1)(n+1)=1”,然后利用演繹推理對結(jié)論進(jìn)行證明.因為左邊=n2-(n-1)·(n+1)=n2-(n2-1)=1，右邊=1，所以左邊=右邊，因此結(jié)論是正確的.

這樣的教學(xué)，學(xué)生能體會到“合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論”.合情推理和演繹推理相輔相成，進(jìn)一步提高了學(xué)生的推理能力.