小中見大 高屋建瓴
——2022年全國數(shù)學新高考Ⅰ卷第7題的探究與感悟

高玉良, 陳 潔

(1.平湖中學,浙江 平湖 314200；2.臺州市雙語高級中學，浙江 臺州 318000)

在近幾年的高考中，頻繁出現(xiàn)以指數(shù)、對數(shù)和冪為載體，考查實數(shù)的比較大小問題.此類題目往往與函數(shù)、不等式、方程、導數(shù)等代數(shù)知識相互關(guān)聯(lián)，融入眾多數(shù)學思想與方法的考查，注重知識本質(zhì)與思維能力的考查，要求學生有較強的學科素養(yǎng).2022年全國數(shù)學新高考Ⅰ卷第7題正是這樣的一道好題．

1 題干雖小，立意高遠

( )

A．a(chǎn)

C．c

(2022年全國數(shù)學新高考Ⅰ卷第7題)

本題答案為C.試題短小精悍，簡潔明了，全題只有兩個中文文字，以指數(shù)、對數(shù)和冪為載體，看似考查比較大小問題，實則以小見大，貫穿高中函數(shù)知識“主軸”，為我們展示了如何利用函數(shù)工具研究“數(shù)值估算”問題的一般原理與方法．本題解題入口寬闊，思維方法多樣，涉及的知識點有基本初等函數(shù)比較大小問題、基本初等函數(shù)的導數(shù)、復合函數(shù)的導數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系、不等式的證明與放縮等，突出了數(shù)學本質(zhì)，重視理性思維，有機滲透了數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了解決數(shù)學高考試題所需要的思維特點“想得少一點，算得多一點；想得多一點，算得少一點”，以此區(qū)分學生的思維層次．因此，這又是一道有“大素養(yǎng)”的數(shù)學試題．

2 策略探尋，靈動多樣

要比較a，b，c這3個數(shù)的大小，我們可以循序漸進，先從兩個數(shù)的比較入手，進而得出3個數(shù)的大小關(guān)系．

2.1 比較a與b的大小

思路1由于a=0.1e0.1是以e為底數(shù)的指數(shù)形式呈現(xiàn)，不便直接與b比較大小，因此可以根據(jù)教材所學內(nèi)容將指數(shù)轉(zhuǎn)化為對數(shù)，進而比較大?。?/p>

方法1利用切線放縮lnx≤x-1(當且僅當x=1時取等號)．

即

亦即

從而

于是

故

a

比較a與b的大小等價于比較lna與lnb的大小，即

亦即

lna

故

a

取n=9，得

故

a

方法4構(gòu)造函數(shù)直接作差比大小.

令p(x)=(x-1)2ex-1，則p′(x)=(x2-1)ex<0成立，從而p(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞減，于是

p(x)

即h′(x)<0成立.因此，h(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞減，即

h(x)

故

a

方法5作商比較.

m′(x)=-xex<0，

從而m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，于是

m(x)

故

a

評注作差和作商是比較大小最常見的兩種方法.由于當0

方法6作商后利用ex≥ex(當且僅當x=1時取等號)放縮.

當0

故

a

方法7取對數(shù)作差.

兩式相減，得

(也可以求導證明).故a

評注涉及導數(shù)背景下的比較大小問題，利用指數(shù)和對數(shù)運算的性質(zhì)，指數(shù)作商即為對數(shù)作差，同時利用常見切線不等式ex≥ex，ln(1+x)≤x進行放縮.先觀察后放縮，可以有效減少計算量，實現(xiàn)小題小做，在考場上節(jié)省考生的答題時間，這需要高水平的邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)．

方法8當0

從而

故

a

2.2 比較a與c的大小

本題的難點是比較a=0.1e0.1與c=-ln 0.9這兩個數(shù)的大小(一個指數(shù)、一個對數(shù))，初看這兩個數(shù)風馬牛不相及，實則需要扎實的數(shù)學功底.試題“思維梯度”設(shè)置精巧，發(fā)揮了數(shù)學高考的選拔功能．

思路1利用不等式將指數(shù)與對數(shù)放縮到多項式直接進行估算．

a-c=0.1e0.1+ln 0.9

故

c

a-c=0.1e0.1+ln 0.9

故

c

方法3利用對數(shù)均值不等式

令x1=1，x2=0.9，則

即

又a-c=0.1e0.1+ln 0.9

故

c

評注可以發(fā)現(xiàn)方法3與方法2的放縮精度是一致的.事實上,這兩種方法是等價的，將對數(shù)均值不等式

齊次化得

思路2類比比較a與b的大小關(guān)系.注意到a=0.1e0.1，c=-ln 0.9=-ln(1-0.1)，根據(jù)結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex+ln(1-x)(其中0≤x≤0.1)，則a-c=f(0.1)，以導數(shù)為工具，利用函數(shù)性質(zhì)比較兩個數(shù)的大?。?/p>

方法4二次求導.

當0

(x+2)ex>x+2>2,

又

0.81≤(x-1)2<1,

從而

即f″(x)>0成立，則f′(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，從而

f′(x)>f′(0)=0，

于是f(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，即

f(x)>f(0)=0，

故

c

方法5局部求導.

令g(x)=(x2-1)ex+1(其中0

g′(x)=(x2+2x-1)ex<0

成立，從而g(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞減,即

g(x)

又因為當0

x-1<0，

所以

f′(x)>0，

從而f(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，于是

f(x)>f(0)=0，

故

c

評注在分母確定為負的前提下，判斷導函數(shù)的正負問題很自然過渡到分子的正負問題，只需對分子部分進行重新求導即可，體現(xiàn)了思維的直觀性.這是求導后最自然的方法，也體現(xiàn)了高考真題重視通性通法的特點，也需要高水平的邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模素養(yǎng)．

方法6導函數(shù)局部放縮.

當0

故f(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增,從而

f(x)>f(0)=0，

故

c

評注函數(shù)思維實際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式.既然是因為超越方程的問題無法求f′(x)的零點，那么利用不等式ex≥x+1將指數(shù)放縮成多項式進行求解就水到渠成了，這需要高水平的邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)．

思路3既然可以通過導數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性進而得出a與c的大小關(guān)系，那么直接通過指對數(shù)不等式將f(x)轉(zhuǎn)變成多項式問題也就值得嘗試了．

故

c

f(x)=xex+ln(1-x)

因為(x+1)2(1-x)=x2+2x+1-(x3+2x2+x)=1+x(1-x-x2)>1，所以c

評注將上述各種放縮辦法的精確度進行比較，可以得到以下情況：

事實上,當自變量發(fā)生變化時，會存在如下的不等式：

這需要更高水平的邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)．

由高等數(shù)學中的泰勒展開式，可以先估算a，c的大小，進而根據(jù)估算值比較這3個數(shù)的大?。?/p>

泰勒公式若函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，在x0處存在n階導數(shù)，則在x0附近有

麥克勞林展開式若x0=0，則上述泰勒公式即為

對于函數(shù)f(x)=ex，g(x)=ln(1+x)，在x0=0處的麥克勞林展開式如下

c=-ln 0.9=-ln(1-0.1)

故

c

評注數(shù)學家波利亞曾說過：“沒有任何問題是可以解決得十全十美的，總剩下一些工作要做．經(jīng)過充分的探討與鉆研，我們能夠改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平．”該法借助泰勒展開，抓住問題的本質(zhì)，作為單項選擇壓軸題.該題具有高等數(shù)學的知識背景，若我們適當了解一些泰勒展開的有關(guān)知識，則可以“高觀點”地分析問題、解決問題，真正做到“想得多一點，算得少一點”，這需要高水平的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．

3 反思教學，回歸本質(zhì)

《中國高考評價體系》指出：高考要求學生能夠觸類旁通、融會貫通，既包括同一層面、橫向的交互融合，也包括不同層面之間、縱向的融會貫通[1]．要實現(xiàn)這樣的要求，僅靠概括題型和刷題訓練是難以實現(xiàn)的，數(shù)學教學必須回歸學科本質(zhì)．

3.1 切實貫徹單元教學的理念，構(gòu)建數(shù)學體系

從以上對高考問題的解題策略的分析可知，多樣性的解法都源于知識之間的關(guān)聯(lián)與聯(lián)系，而這正是知識的來龍去脈的體現(xiàn)，是數(shù)學結(jié)構(gòu)的體現(xiàn).因此，數(shù)學教學必須打破數(shù)學概念之間、命題之間的壁壘，幫助學生構(gòu)建良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，這是提高數(shù)學問題解決能力的關(guān)鍵，也正是單元教學的主要目的.

促進數(shù)學概念之間的聯(lián)系的本質(zhì)就是促進概念理解．這種聯(lián)系正好對應3種數(shù)學推理形式——歸納、演繹和類比．因此，促進概念理解就是培養(yǎng)數(shù)學推理能力．

另外，所有定理、公式和性質(zhì)的表現(xiàn)形式都是命題，它們的來龍去脈都是數(shù)學推理的體現(xiàn)．掌握數(shù)學命題的推出過程，獲得推出過程中蘊涵著的與這些命題相關(guān)的信息，如命題成立的條件、使用功能等，掌握這些信息是對這些命題達到深入理解的標志，是正確、靈活地使用這些命題并解決問題的前提條件．

3.2 培養(yǎng)數(shù)學思想方法，習得基本活動經(jīng)驗

“立意新穎，不為題海戰(zhàn)術(shù)開方便之門；界定明確，對一線教師的教學有導向功能；有效區(qū)分，讓不同水平的學生高低立顯”是這道高考試題最大的特點，也是課程改革的大趨勢，即破除題海戰(zhàn)術(shù)，加大對學生探究能力、創(chuàng)新能力、思維能力的考查．做題不在多，關(guān)鍵是有思想和方法引領(lǐng)才行，注重通性通法，培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好的學習習慣，經(jīng)常對所學的知識和題型進行總結(jié)歸納，尋找規(guī)律和突破口，引導學生多方法、多視角思考問題和發(fā)現(xiàn)問題.通過對典型題目進行“一題多解、一題多變、多題同解”的訓練，幫助學生建構(gòu)和完善知識網(wǎng)絡，培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)．但是我們盲目追求題目的解法有多少種是遠遠不夠的，更多地要思考這些解法的共性、本質(zhì).題目是千變?nèi)f化的，但問題的本質(zhì)是不變的，只有真正理解數(shù)學的本質(zhì)，在平時注重習得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗，才能洞察數(shù)學問題的核心，抓住數(shù)學的靈魂，這才是教學所要追求的最高境界[2]．

3．3 切實將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)滲透在教學細節(jié)中

數(shù)學核心素養(yǎng)不是獨立于知識、技能、思想、經(jīng)驗值外的“神秘”概念，它們綜合體現(xiàn)了對數(shù)學知識理解、對數(shù)學技能方法的掌握、對數(shù)學思想的感悟、對數(shù)學活動經(jīng)驗的積累．數(shù)學六大核心素養(yǎng)相互關(guān)聯(lián)、互為促進，是一個有機的整體．其中，數(shù)學抽象素養(yǎng)主要在數(shù)學概念的學習過程中、數(shù)學思想方法以及基本活動經(jīng)驗的獲得中培養(yǎng)；邏輯推理素養(yǎng)主要在命題證明、問題解決中培養(yǎng)；直觀想象與數(shù)學運算更是幾乎伴隨著全部的數(shù)學學習；在大量的實際問題解決過程中滲透著數(shù)學建模與數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng).教師在教學中要突出核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，注重知識的形成過程，實現(xiàn)學生對知識的主動構(gòu)建[3]．

本文在分析例1的解答策略中，有意地在評注中剖析了其中所蘊涵的主要數(shù)學思想，這些都是教師應該認識到、并有意識地觀測平時的教學行為.

2022年數(shù)學新高考Ⅰ卷注重考查學生對數(shù)學概念、定理等的本質(zhì)理解，強調(diào)基礎(chǔ)，基本概念清晰、基本運算過關(guān)的考生都能較好解答，展示了數(shù)學測試與評價的方向，引導中學數(shù)學教學注重提高學生的思維能力、發(fā)展應用意識和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)，對課程改革的有效實施和深入推進、促進中學數(shù)學教學質(zhì)量的提高有十分積極的作用．數(shù)學教學一定要為學生的真正理解而教，為提升學生的思維能力而教,為培養(yǎng)學生的核心數(shù)學素養(yǎng)而教．