聚焦學(xué)科素養(yǎng) 凸顯“三性”教學(xué) 指向深度學(xué)習(xí)
——有感于浙江省2021年中小學(xué)正高級評審之“弧度制”說課環(huán)節(jié)

馮 斌, 劉次律

(1.寧波市教育局教研室，浙江 寧波 315000；2.夢麟中學(xué)，浙江 余姚 315400)

“說課”是促進教師專業(yè)水平提升的重要途徑，被廣泛用于各級評優(yōu)活動、教師職稱評審環(huán)節(jié).“弧度制”是高中數(shù)學(xué)公認的“難教、難學(xué)”的內(nèi)容之一.本文根據(jù)浙江省2021年中小學(xué)正高級評審之說課環(huán)節(jié)的“弧度制”說課內(nèi)容，在新課程、新教材“雙新”背景下，結(jié)合平時的教學(xué)調(diào)研基礎(chǔ)上加以提煉的成果.在此談?wù)劰P者的體會與感悟，以拋磚引玉.

1 對“說課”的認識

“說課”顧名思義，對象是“課”，方式是“說”，是在備課的基礎(chǔ)上，面對同行或?qū)＜翌I(lǐng)導(dǎo)，在規(guī)定的時間內(nèi)，針對具體課題，根據(jù)課程標準、教學(xué)理論、學(xué)生學(xué)情等，采用講述為主的方式，闡述自己的教學(xué)設(shè)計及理論依據(jù).“說課”不僅要說清“為什么學(xué)”“學(xué)什么”“怎么學(xué)”,還要說清“為什么這么學(xué)”“學(xué)得怎樣”.說課的基本內(nèi)容有：說教材內(nèi)容、說學(xué)習(xí)目標、說學(xué)情、說學(xué)法、說教學(xué)過程、說目標檢測、說教學(xué)反思等，其中“說教學(xué)過程”是務(wù)實部分，其他為務(wù)虛部分，務(wù)虛與務(wù)實的時間一般按“三七”或“二八”分配.

2 對“弧度制”一課的教學(xué)思考

2.1 “弧度制”一課的育人價值

本節(jié)課是人教A版新教材普通高中教科書《數(shù)學(xué)(必修1)》第五章中“任意角與弧度制”的第二課時，內(nèi)容包括：“1弧度”的定義、弧度與角度的互化、弧度制下的弧長公式與扇形面積公式.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版2020年修訂)》對此內(nèi)容的要求是：了解弧度制，能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性[1].本節(jié)課的重點是：弧度制含義的理解、弧度與角度的互化.弧度制不僅豐富了角的度量方法，還是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的預(yù)備知識，也為高等數(shù)學(xué)微積分的研究奠定了基礎(chǔ).弧度制的本質(zhì)是用線段長度度量角的大小，弧度制下角的集合與實數(shù)集合建立了一一對應(yīng)關(guān)系，為數(shù)學(xué)研究帶來優(yōu)越性和更廣泛的應(yīng)用性.本節(jié)課蘊涵著豐富的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，如類比、特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理素養(yǎng)的良好載體.

2.2 “弧度制”一課的教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生對本節(jié)課的認知基礎(chǔ)主要有：

1)關(guān)于度量制度，學(xué)生在初中階段學(xué)過兩類，即十進制和六十進制，積累了如度量長度、質(zhì)量的經(jīng)驗，初步認識到不同的度量制度能給解決問題帶來方便.

2)對角的度量，學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)了角度制、角度制下的弧長公式和扇形面積公式，對學(xué)習(xí)的路徑、方法具有初步的體驗.

3)上節(jié)課學(xué)習(xí)了任意角的概念，知道角有正角、負角和零度角，為弧度制下角的集合與實數(shù)集合建立一一對應(yīng)關(guān)系奠定了基礎(chǔ).

學(xué)生戲稱“弧度制”為“糊涂制”，究其原因：一是學(xué)習(xí)弧度制的目的不清楚；二是定義“1弧度角”的原因不明了.為此，讓學(xué)生經(jīng)歷“弧度制”概念的形成過程，體會研究過程所蘊涵的類比、特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等思想方法.

2.3 “弧度制”說課的重點與難點

說課如同上課一樣是有重點的.筆者認為“弧度制”一課是一節(jié)典型的概念課，本節(jié)課的說課重點是：說清楚弧度制建構(gòu)的“三性”，即必要性、合理性、優(yōu)越性.

2)合理性：弧度制的理論基礎(chǔ)是弧長與半徑比值的不變性.在同一量的不同度量方式中，需要滿足一一對應(yīng)、同增同減的基本關(guān)系，一般情況下需要滿足正比例關(guān)系或線性關(guān)系.教學(xué)時在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計適合學(xué)生思維水平的數(shù)學(xué)問題鏈，使得知識的形成自然而合理.

3)優(yōu)越性：在中學(xué)階段，建立弧度制的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在兩個方面：一是統(tǒng)一進制，“角度制”的度、分、秒里的數(shù)并用了十進制與六十進制，“弧度制”下統(tǒng)一用十進制，給數(shù)學(xué)研究帶來方便；二是簡化公式，弧度制下弧長與扇形面積公式非常簡潔，這符合數(shù)學(xué)追求簡潔美的需求.

本節(jié)說課的難點是弧度制的建構(gòu)，主要內(nèi)容包括：弧度制的度量單位是什么？弧度制的本質(zhì)是什么？弧度制的進位制是什么？角度與弧度有何換算關(guān)系？突破難點的主要教學(xué)策略是：類比學(xué)生已有的認知基礎(chǔ)“角度制”來建構(gòu)，以“問題引領(lǐng)學(xué)習(xí)”，通過學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的方式逐步推進，并結(jié)合多媒體輔助教學(xué).

3 “弧度制”一課的說課片段分享

本輪課改是以學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的，數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標是“三會”.筆者的教學(xué)主張是“學(xué)習(xí)即研究，教學(xué)即研究指導(dǎo)”，以研究一個數(shù)學(xué)對象的基本套路為依據(jù)，以問題引領(lǐng)學(xué)習(xí)，通過主干問題驅(qū)動，用問題分解學(xué)習(xí)目標，在問題研究與解決的過程中達成學(xué)習(xí)目標.本節(jié)是典型的概念學(xué)習(xí)課，學(xué)習(xí)方式按概念的形成來進行，教學(xué)過程包括：背景—概念—表示—深化—應(yīng)用.以下就“說教學(xué)過程”環(huán)節(jié)中的“弧度制的引入”“弧度制概念的建構(gòu)”“角度制與弧度制的換算”這3個部分的說課與同行們分享.

3.1 弧度制的引入——說“必要性”

度量是人類生產(chǎn)生活、科學(xué)研究不可缺少的內(nèi)容，要進行度量必須要確定度量單位.由于不同的需要，同一個量可能有多個度量單位，如度量長度可以用米、英尺、碼等不同的單位制，度量質(zhì)量可以用千克、磅等不同的單位制.不同的單位制能給解決問題帶來方便.對角的度量，初中階段已經(jīng)學(xué)過“角度制”及“角度制”下的度、分、秒里的數(shù)并用了十進制與六十進制，角度制會對研究帶來很多不便(如60°+1=？)，自然要問：能否像度量長度那樣，用十進制的實數(shù)來度量角的大小呢？

設(shè)計意圖學(xué)生在初中階段已學(xué)過角度制，習(xí)慣了用角度制度量角的大小，“引言”制造學(xué)生認知上的沖突，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，體現(xiàn)了弧度制學(xué)習(xí)的必要性.美國著名教育心理學(xué)家奧蘇柏爾曾說過：“要我將教育心理學(xué)的規(guī)律總結(jié)為只有一條就是：‘要知道學(xué)生已經(jīng)知道了什么，探究它，并據(jù)此進行教學(xué)’.”[2]筆者認為這也是教學(xué)的一條基本原則.

3.2 弧度制概念的建構(gòu)——說“合理性”

弧度制概念的建構(gòu)是本節(jié)說課的重點也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點.通過教師設(shè)計“問題串”與追問，以問題引領(lǐng)學(xué)習(xí)，通過主干問題驅(qū)動，通過學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的方式逐步推進，結(jié)合多媒體輔助教學(xué)，突出重點，突破難點.

情境1如圖1，自行車的大齒輪與小齒輪通過鏈條相連，當鏈條移動一定的長度時，大齒輪轉(zhuǎn)過的角度比小齒輪轉(zhuǎn)過的角度小.為什么？

圖1 圖2

情境2如圖2，用直扳手扳動螺母時，螺母轉(zhuǎn)過相同的角度，扳手臂上手握點越近則轉(zhuǎn)過的弧長越??；手握點越遠則轉(zhuǎn)過的弧長越長.為什么？

設(shè)計意圖弧度制的建構(gòu)需要經(jīng)歷一個過程，不能急于求成.從學(xué)生身邊的實例出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的好奇心與學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象，分析現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考問題.同時激活舊知，聯(lián)想初中建立的圓心角與圓心角所對的弧長、半徑這三者的制約關(guān)系，為弧度制的建立奠定基礎(chǔ).

問題1利用幾何畫板作出多個同心圓，并設(shè)定一個固定大小的圓心角α，對每個畫出的圓度量出角α所對的弧長與半徑，得到一組組數(shù)對(li，ri)，并將這些數(shù)對放在直角坐標系中，觀察有怎樣的關(guān)系？

追問1初中角度制的研究經(jīng)歷了“定義單位角—命名單位角—用單位角度量其他角”的過程，類比角度制的研究，我們?nèi)绾魏侠矶x十進制下的單位角？如何給它命名？如何用單位角度量其他角？

師生活動教師給出問題后，借助多媒體輔助教學(xué)，先讓學(xué)生獨立思考，再小組交流，然后讓學(xué)生閱讀教材：“1弧度”的規(guī)定、記號、表示、讀法，弧度數(shù)的絕對值公式，特別地，當r=1時，可以直接用弧長度量角.

追問2依照以前概念研究的套路，接下來我們應(yīng)該進行怎樣的研究？

設(shè)計意圖讓學(xué)生通過從定性到定量、特殊到一般，經(jīng)歷“1弧度角”概念的形成過程，體會定義的合理性.追問1、追問2的設(shè)計是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動與經(jīng)驗的再梳理，明確研究的路徑，局部范圍內(nèi)滲透單元學(xué)習(xí)的理念，凸顯系統(tǒng)思維視角，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)[3]，從而進一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理核心素養(yǎng).

3.3 角度制與弧度制的換算——說“優(yōu)越性”

關(guān)于單位換算，學(xué)生在義務(wù)教育階段學(xué)過同一度量制下兩種單位的換算，例如米、厘米、毫米的換算，度、分、秒的換算等；也學(xué)過兩種不同度量制的換算，如公頃與平方米的換算等.角度制與弧度制是角的兩種度量制，它們也必有內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)這種內(nèi)在聯(lián)系是數(shù)學(xué)研究的一個基本任務(wù).為此，通過設(shè)計以下3個問題引導(dǎo)學(xué)生探究換算公式及簡單應(yīng)用，并從中體會引進弧度制的優(yōu)越性.

問題3學(xué)習(xí)了角的度量的兩種制度，請同學(xué)們對弧度制與角度制做個比較.

師生活動通過生生、師生互動，從兩種制度的“名稱、單位、進制、本質(zhì)”等維度形成共識，進一步深化對“弧度制”的認識，使學(xué)生對“弧度制”不再“糊涂”.

問題4弧度制、角度制都是角的度量制，它們之間應(yīng)該可以換算，如何換算？填寫特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表(如表1所示)：

表1 特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)

問題5利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式：

其中R是圓的半徑，α(其中0<α<2π)為圓心角，l是扇形的弧長，S是扇形的面積.

設(shè)計意圖體會弧度制下角的集合與實數(shù)集R建立的一一對應(yīng)關(guān)系，體會弧度制下弧長、扇形的面積公式的簡潔性，建立弧度制的優(yōu)越性，從而進一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

4 結(jié)束語

“雙新”背景下的關(guān)鍵詞是學(xué)科核心素養(yǎng)，“說課”的內(nèi)容必然圍繞核心素養(yǎng)組織和展開，并最終指向?qū)W生核心素養(yǎng)的生成和發(fā)展，如“說教材內(nèi)容”應(yīng)站在單元教學(xué)視角揭示內(nèi)容本質(zhì)、研究方法、育人價值；“說學(xué)習(xí)目標”應(yīng)圍繞“四基、四能、核心素養(yǎng)”展開；“說教學(xué)過程”應(yīng)以“研究一個數(shù)學(xué)對象的基本套路”為指導(dǎo)設(shè)計說課內(nèi)容.以上弧度制概念建構(gòu)的說課環(huán)節(jié)體現(xiàn)“必要性、合理性、優(yōu)越性”，筆者認為一般數(shù)學(xué)概念教學(xué)的說課都應(yīng)該以這3個屬性為主線展開，充分體現(xiàn)概念的形成過程、思維的層次性與深刻性.